kotrolnaya_teoreticheskaya_mekhanika_dinamika

3.6. Пример выполнения курсового задания Д 2

Рассмотрим подробно пример выполнения этого задания.

Условие задания.

Шарик М, рассматриваемый как материальная точка, перемещается по прямолинейному цилиндрическому каналу движущегося тела А (рис. 3.7).

Рис. 3.7

Найти уравнение относительного движения шарика x = f(t), приняв за начало координат точку О. Тело А равномерно вращается вокруг вертикальной неподвижной оси O1Z1.

Найти также координату x(t1) и давление N(t1) шарика на стенку канала при заданном значении времени t1.

Дано: масса шарика m = 0,09 кг; угловая скорость вращения тела ω = π рад/с; начальная координата х0 = 0, 2 м; проекция начальной относительной скорости Vr0 на координатную ось ОХ подвижной системы отсчета х0= 0,3 м/с; значение времени, для которо-

го определяются искомые величины t1 = 0,1 c; коэффициент жесткости пружины с = 0,20 Н/см = 20 Н/м; длина свободной недеформированной пружины l0 = 0,1 м; коэффициент трения скольжения шарика о стенки канала f = 0.

94

Решение.

Шарик в канале совершает сложное движение, поэтому необходимо рассматривать его движение как сумму относительного и переносного движений. Введем подвижную (ПСО) и неподвижную (ИСО) системы отсчета (рис. 3.8).

Рис. 3.8

ИСО выбираем так, чтобы ось O1Z1 являлась осью вращения тела А. ПСО закрепляем на теле А таким образом, чтобы ось ОХ совпадала с траекторией относительного движения точки. ПСО вместе с телом А совершает вращательное движение с переносной угловой скоростью ωе = ω, вектор которой расположен на оси O1Z1 и направлен вверх.

Изобразим точку М на траектории относительного движения в произвольный момент времени (x = f(t) > 0). При этом текущие значения относительной скорости Vr и относительного ускорения ar направлены в сторону возрастания координаты х. Изобразим на рис. 3.8 начальную координату х0 и начальную относительную скорость Vr0. Так как по условию задания х0 > 0, то вектор Vr0 направлен в сторону возрастания координаты х.

95

Траекторией переносного движения является окружность с центром О на оси O1Z1 вращения и радиусом r = OM = x = f(t). Переносная скорость Vе направлена так, как это показано на рис. 3.8 – параллельна координатной оси OY подвижной системы отсчета. Поскольку переносное вращение является равномерным (ωe = const), то переносное ускорение

ae = aМ = aMω,

где aMω – центростремительное ускорение точки М тела А. aMω = (ωе)2ОМ = (ωе)2x.

Согласно правилу векторного произведения (или правилу Жуковского) ускорение Кориолиса (ac = 2ωе×Vr) направлено так же, как и вектор Vе переносной скорости. Модуль ускорения Кориолиса равен

ac = 2ωe·Vr·sin(ωе,Vr) = 2ωe·Vr·sin900 = 2ωe·Vr.

Деформация пружины в произвольный момент времени определяется формулой

= х – l0.

На рис. 3.8 приведены только кинематические характеристики точки М при ее относительном движении.

Запишем основное уравнение динамики относительного движения.

mar = ΣFi + ΣRi + Фе + Фс.

Определим силы, действующие на материальную точку, и покажем их на рис. 3.9.

Кориолисова сила инерции Фс направлена противоположно переносному ускорению aс, а модуль равен

Φс = m ac = m(2ωe·Vr).

Переносная сила инерции Фе направлена противоположно пе-

реносному ускорению aе, а модуль равен

Φе = m ae = m(ωe)2x.

К реакциям внешних связей Ri относятся силы: Fyn – сила упругости пружины; N1, N2 – реакции гладкой поверхности канала, по которому перемещается точка М.

Fyn = c·Δ = c(x – l0).

Реакция N1 направлена вертикально вверх (навстречу вектору G силы тяжести точки). Реакция N2 расположена в горизонтальной плоскости OXY и направлена противоположно вектору Фс кориолисовой силы инерции.

96

Рис. 3.9

С учетом изложенного основное уравнение динамики относительного движения принимает вид

mar = G + Fyn + N1 + N2 + Фе + Фс.

Запишем дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки. Для этого последнее векторное выражение спроецируем на координатные оси ПСО:

my = N2 – Φc = N2 – m(2ωe·х);

(2)

97

Поскольку относительное ускорение ar на координатные оси OY, OZ не проецируется (y = 0; z = 0), то с учетом исходных дан-

x+ k2x = 0; х** – частное решение дифференциального уравнения

(111).

Приступаем к определению общего решения х* дифференциального уравнения вида x+ k2x = 0. Это решение зависит от знака

величины c/m – (ωe)2 = k2. Если k2 > 0, то x* = Asin(kt + β). Если k2 < 0,

то x* = C1ekt + C2e-kt. Определим значения k2 и k:

k2 = c/m = 20/0,09 – (3,14)2 = 22,540 c-2 > 0; k = 4,747 c-1. Поскольку k2 > 0, то x* = Asin(4,747t + β).

Частное решение х** дифференциального уравнения (111) зависит от вида его правой части. Поскольку его правая часть посто-

янна (b = cl0/m = const), то его частное решение будем искать в виде x**= B = const.

При частном решении уравнение (111) принимает вид

B = (cl0/m)/k2 = (20·0,1/0,09)/22,54 = 0,985 м.

Итак, общее решение дифференциального уравнения (1) имеет вид

х = х* + х** = Asin(4,747t + β) + 0,985,

где А и β – постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий относительного движения.

В нашем случае: x0 = 0,2 м; x0 = 0,3 м/с. Для определения по-

стоянных интегрирования А и β определим проекцию относительной скорости Vr на ось ОХ.

х = dx/dt = Acos(4,747t + β)·4,747.

При t0 = 0 имеем:

98

x0 = 0,2 = Asinβ + 0,985;

x0 = 0,3 = Acosβ·4,747.

Преобразуем эту систему уравнений к виду: 0,2 – 0,985 = A sinβ = – 0,785; 0,3/4,747 = Acosβ = 0,063.

Возведя в квадратную степень левые и правые части уравнений и сложив их, получим:

A = (-0,785)2 +(0,063)2 = 0,787 м; sinβ = – 0,785/A = – 0,785/0,787 = – 0,997; cosβ = 0,063/0,787 = 0,080.

Поскольку sinβ < 0, а cosβ > 0, то величину угла β определим по формуле β = 2π – α, где α = arcsin(0,987) = 1,482 рад или

α= arcсоs(0,080) = 1,482 рад. Тогда

β= 2π – α = 2·3,14 – 1,482 = 4,798 рад.

Вокончательном виде имеем:

x= 0,787sin(4,747t + 4,798);

х= 3,776cos(4,747t + 4,798).

По условиям задания кроме значения координаты x(t1) необходимо определить нормальную реакцию N(t1) в момент времени t1.

N(t1) = (N1)2 +(N2)2 .

С учетом выражений (21), (31) имеем

N(t1) = (mg)2 +(m(ωe)2x(t1))2 .

По результатам решения желательно построить графики зави-

симостей x = f1(t), N = f2(t).

99

Вопросы и задания для самоконтроля

1.Записать основное уравнение динамики относительного движения.

2.Записать формулу для определения переносной силы инерции.

3.Записать формулу для определения кориолисовой силы инерции.

4.Записать основное уравнение динамики относитель-

ного движения точки для случая, когда переносное движение есть неравномерное вращение относительно неподвижной оси, а относительное движение прямолинейное.

5.Записать основное уравнение динамики относитель-

ного движения точки для случая, когда переносное движение есть равномерное вращение относительно неподвижной оси, а относительное движение прямолинейное.

6.Записать основное уравнение динамики относитель-

ного движения точки для случая, когда переносное движение есть поступательное неравномерное криволинейное движение, а относительное движение прямолинейное.

7.Записать основное уравнение динамики относитель-

ного движения точки для случая, когда переносное движение есть прямолинейное и равномерное движение, а относительное движение прямолинейное.

8.Сформулировать принцип относительности классической механики.

100