7.4. Средние показатели ряда динамики

Для получения обобщающей характеристики динамики социально-экономических явлений используют следующие средние величины: средний уровень, средний абсолютный прирост, средний темп или коэффициент роста и прироста (снижения).

Средний уровень ряда динамикихарактеризует типичную величину абсолютных уровней. Исчисляется средний уровень ряда по-разному для моментных и интервальных рядов динамики.

Для интервального ряда динамики абсолютных показателей средний уровень за период определяется по формуле средней арифметической простой

,

где y – уровни ряда;

n– число уровней ряда.

Так, среднегодовая продажа мяса и мясопродуктов за 1–6-й периоды по данным табл. 27 будет равна:

тыс. т.

Для моментного динамического ряда средний уровень определяется иначе.

Когда промежутки времени между датами одинаковы, средний уровень рассчитывается по формуле средней хронологической

,

где у₁, у₂, …, у_n – уровни ряда в последовательные моменты времени;

n– число дат (уровней).

Когда промежутки времени между датами не равны, средний уровень ряда вычисляется по средней арифметической взвешенной.

В качестве весов принимается продолжительность промежутков времени между моментами, в которые происходит изменение уровней:

,

где t – количество дней (месяцев) между смежными датами.

Средний абсолютный прирост (снижение) рассчитывается по средней арифметической простой из цепных абсолютных приростов за последовательные и равные по продолжительности периоды:

,

где n – число цепных абсолютных приростов (снижений) уровней.

При преобразовании предыдущей формулы можно выйти на следующую:

,

где у_n и у₀ – соответственно конечный и базисный уровни динамического ряда;

n– число уровней ряда.

Так, средний абсолютный прирост (снижение) продажи мяса и мясопродуктов по данным табл. 27 равен:

тыс. т;

тыс. т.

Средний коэффициент роста вычисляется по формуле средней геометрической

,

где – цепные коэффициенты роста;

n– число коэффициентов под корнем.

Если преобразовать подкоренное выражение, используя взаимосвязь между цепными и базисными коэффициентами роста, то формула примет следующий вид:

,

где у_п и у₀ – соответственно конечный и базисный уровни динамического ряда;

п– число уровней динамического ряда, не считая базисного.

Средний темп роста представляет собой средний коэффициент роста, выраженный в процентах:

.

Средний темп прироста вычисляется по следующей формуле:

.

Вычислим средний темп роста и прироста (снижения) мяса и мясопродуктов по данным табл. 27:

;

%;

.

7.5. Методы выявления общей тенденции развития

Одной из задач, решаемых с помощью рядов динамики, является выявление закономерностей изменения явления, определение общей тенденции его развития (тренда). Это может быть тенденция к росту, стабильности или снижению. Общая тенденция не всегда четко прослеживается в исходном динамическом ряду с первичными данными, особенно в тех случаях, когда уровни ряда сильно колеблются, то повышаясь, то понижаясь. Поэтому ряд динамики обрабатывают таким образом, чтобы сгладить колеблемость его уровней.

Выявление основной тенденции развития (тренда) называется в статистике также выравниванием временного ряда, а методы выявления основной тенденции – методами выравнивания.

Методы, применяемые для выявления основной тенденции развития, можно разделить на две группы:

 методы «механического сглаживания»;

 методы «аналитического выравнивания».

К первой группе относят простые приемы укрупнения временных интервалов и расчета скользящей средней.

Ко второй – более сложные методы, основанные на геометрическом представлении динамических данных и использовании надежных теоретических моделей тренда.

Самым простым приемом является укрупнение интервалов времени, к которым относятся уровни динамического ряда (суточные в декадные или месячные; месячные – в квартальные или годовые; квартальные – в годовые и т. д.), и исчисление по ним средних уровней. Новый динамический ряд, состоящий из средних уровней, даст возможность проследить общую тенденцию развития.

Другим приемом выявления общей тенденции развития является сглаживание с помощью скользящей средней. Для определения скользящей средней формируются интервалы, состоящие из одинакового числа уровней. Каждый последующий интервал получают, постепенно сдвигаясь от начального уровня динамического ряда на один уровень. Тогда первый интервал будет включать уровни у₁, у₂, …, у_m; второй – уровни у₂, у₃, …, у_m+1 и т. д. Таким образом, интервал сглаживания как бы скользит по динамическому ряду с шагом, равным единице.

Таблица 28

Периоды (годы)		Исходные уровни ряда (товарооборот в сопоставимых ценах млн р., уi)	Сумма значений уровней, на основе которых рассчитывают скользящие средние	Скользящие средние уровни	Сглаженный сред- ний уровень (с центрированием, )
	I квартал	175
1	II квартал	263	1061 1133 1168 1208 1252 1425 1568 1655 1713 1719 1727 1756 1817	265,25 283,25 292,0 302,0 313,0 356,25 392,0 413,75 428,25 429,75 431,75 439,0 454,25
	III квартал	326			274,25
	IV квартал	297			287,6
	I квартал	247			297,0
2	II квартал	298			307,5
	III квартал	366			334,6
	IV квартал	341			374,1
	I квартал	420			402,9
3	II квартал	441			421,0
	III квартал	453			429,0
	IV квартал	399			430,75
	I квартал	426			435,37
4	II квартал	449			446,62
	III квартал	482
	IV квартал	460

По сформированным укрупненным интервалам определяют сумму значений уровней, на основе которых рассчитывают скользящие средние. Полученные средние относятся к серединам соответствующих укрупненных интервалов. Поэтому при сглаживании скользящей сред- ней технически удобнее интервалы составлять из нечетного числа уровней ряда. Если скользящую среднюю находят по четному числу уровней, то необходимо производить центрирование средних, так как середина интервала скольжения приходится между двумя уровнями, находящимися в центре интервала. Центрирование означает расчет средней из двух соседних скользящих средних.

Сглаживание ряда динамики товарооборота по четырехчленной скользящей средней рассмотрим на примере (табл. 28).

Пример 3. Для ряда внутригодовой динамики с сезонными циклами развития явления по одноименным кварталам года применяют четырехчленные скользящие средние.

Сумма значений уровней, на основе которых рассчитывают скользящие средние, определяются следующим образом, в млн р.:

175 + 263 + 326 + 297 = 1061;

263 + 326 + 297 + 247 = 1133 и т. д.

Скользящие средние уровни исчисляются следующим образом, в млн р.:

;

;

и т. д.

Центрированные скользящие средние (сглаженные средние уровни) рассчитываются по формулам, в млн р.:

;

и т. д.

Сглаженные средние уровни указывают на довольно отчетливую тенденцию роста товарооборота.

Более совершенным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание (определение тренда). Этот способ состоит в нахождении такой прямой или кривой, ординаты точек которой были бы максимально близкими к фактическим уровням динамического ряда. Форма выравнивания должна устанавливаться на основе теоретического анализа сущности данного явления и закономерностей его развития.

Если теоретический анализ подсказывает, что данное явление развивается с относительно стабильными абсолютными приростами (у), то для выравнивания подходит прямая.

Уравнение тренда прямой можно представить следующим образом:

y_t = a + bt.

Параметры аналитического уровня находят, используя способ наименьших квадратов. Суть этого способа заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических уровней (у) от выравненных (у_t) была бы минимальной.

Параметры a и b, удовлетворяющие методу наименьших квадратов, находятся путем решения следующей системы нормальных уравнений:

где у – фактические уровни ряда;

n– число уровней ряда;

t– порядковый номер периодов или моментов времени.

В найденном уравнении тренда параметр а представляет собой среднее значение уровня динамического ряда, а параметр b – ежегодный абсолютный прирост выравненного уровня, обусловленный изменением фактора времени.

Подставляя в это уравнение соответствующие значения t, находят выравненные (теоретические) уровни (у_t). Правильность расчета выравненных уровней ряда динамики может быть проверена следующим образом: сумма эмпирических (фактических) уровней ряда должна совпадать с суммой выравненных уровней динамического ряда:

Рассмотрим аналитическое выравнивание валового сбора зерна по прямой (табл. 29).

Таблица 29

Годы	Валовой сбор зерна, млн т (эмпирические уровни ряда, у)	Условные обозначения времени (t)	t2	yt	Теоретические уровни ряда динамики уt
1990	99,7	–5	25	–498,5	93,7
1991	98,8	–4	16	–395,2	93,9
1992	86,0	–3	9	–258,0	94,0
Окончание табл. 29
Годы	Валовой сбор зерна, млн т (эмпирические уровни ряда, у)	Условные обозначения времени (t)	t2	yt	Теоретические уровни ряда динамики уt
1993	109,8	–2	4	–219,6	94,2
1994	83,9	–1	1	–83,9	94,3
1995	66,2	1	1	66,2	94,6
1996	96,9	2	4	193,8	94,8
1997	92,2	3	9	276,6	94,9
1998	120,8	4	16	483,2	95,0
1999	90,3	5	25	451,5	95,2
Итого	944,6	0	110	16,1	944,6

Пример 4. Для выявления общей тенденции развития данного ряда динамики произведем аналитическое выравнивание по уравнению прямой:

y_t = a + bt.

Способ наименьших квадратов дает систему двух нормальных уравнений для нахождения параметров а и b:

Упрощаем технику расчета параметров. Для этой цели показателям времени придаем такие значения, чтобы их сумма была равна нулю, т. е.

При условии, что исходные нормальные уравнения принимают следующий вид:

;

откуда

Расчет значений и произведен в табл. 29 (итоговая строка).

По итоговым данным табл. 29 определяем параметры уравнения следующим образом:

В результате получаем следующее уравнение:

у_t = 94,46 + 0,146t.

В нашем примере среднегодовой сбор зерна за 10 лет составил 94,66 млн т, его ежегодный абсолютный прирост – 0,146 млн т.

Подставляя в уравнение у_t = 94,46 + 0,146t принятые обозначения t, вычислим выравненные (теоретические) уровни ряда динамики следующим образом:

1990 г у_t = 94,46 + 0,146 (–5) = 93,7;

1991 г у_t = 94,46 + 0,146 (–4) = 93,9 и т. д.

Для проверки расчета значений у_t используется формула . В нашем примере. Следовательно, значенияу_t определены верно.

Аналитические и средние показатели, характеризующие ряды динамики, параметры уравнений тренда широко используются для интерполяции и экстраполяции динамических рядов.

Интерполяцией называется нахождение недостающих промежуточных уравнений ряда динамики.

Экстраполяциейназывается определение неизвестных уравнений динамического ряда, лежащих за его пределами.

Экстраполяция в рядах динамики носит приближенный характер и является только вспомогательным инструментом при прогнозировании социально-экономических явлений.