Задачи для самостоятельного решения

1. Установлено, что в течение 15 дней процент выполнения плана магазином составлял: 110, 113, 110, 115, 109, 114, 110, 112, 115, 109, 112, 113, 111, 114, 113. Определить относительную частоту дней, в которые план выполняется не менее, чем на 112 %.

Ответ: .

2. При стрельбе по мишени относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,75. Найти число попаданий, если всего произвели 100 выстрелов.

Ответ:75.

1.4. Геометрическое определение вероятности

Пусть каждый элементарный исход испытания можно рассматривать как попадание в точку некоторой области меры S. Событие A – попадание в точку области S_A. Вероятность события A определяется по формуле

. (12)

Пример 1.13. Капсула с космонавтами должна приземлиться в круг радиусом 2 км. Вероятность приземления в любое место круга одинаковая. Определить, какова вероятность приземления космонавтов:

1) от центра круга на расстоянии меньше 1 км;

2) в заданном секторе, составляющем 0,1 площади этого круга.

Решение. Область C₁ – круг радиусом 2 км. Площадь этого круга S = 4. Область C₂ – круг радиусом 1 км и площадью S₁ = .

Событие A – приземление в область C₂. Следовательно, вероятность приземления капсулы в круг радиусом 2 км равна:

.

Событие B – приземление в сектор, площадь которого S₂ = 0,1S. Поэтому .

Пример 1.14. Велосипедист прибудет в город С обязательно в течение суток. Вероятность прибытия в любой момент одинакова. Найти вероятность того, что он прибудет в течение данного часа.

Решение. Обозначим событие «велосипедист прибудет в город в течение данного часа» через A. Областью S является промежуток 24 часа, а S_A = 1 час. Поэтому .

Задачи для самостоятельного решения

1. В круг вписан квадрат. В круг наудачу поставлена точка. Какова вероятность того, что эта точка попадет в квадрат?

Ответ: P = 0,636.

2. Стержень длиной l = 100 см ломается на три части. Какова вероятность того, что каждая часть будет не меньше 20 см?

Ответ:0,6.

1.5. Действия над событиями

Суммой (объединением) нескольких событий A₁, A₂, …, A_n называется событие C, состоящее в появлении хотя бы одного из событий:

. (13)

Произведением (пересечением) нескольких событий A₁, A₂, …, A_n называется событие C, состоящее в совместном появлении всех этих событий:

. (14)

Сложение и умножение вероятностей. Теоремы сложения вероятностей

Вероятность суммы n несовместных событий A₁, A₂, …, A_n равна сумме вероятностей этих событий:

P(A₁ + A₂ + … + A_n) = P(A₁) + P(A₂) + … + P(A_n). (15)

Сумма вероятностей A₁, A₂, …, A_n, образующих полную группу, равна единице:

P(A₁) +P(A₂) + … + P(A_n) = 1. (16)

Сумма вероятностей противоположных событийравна единице:

P(A) +P() = 1. (17)

Если обозначить P(A) = p, а P() = q, тогда

p+q= 1. (18)

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB). (19)

Вероятность суммы трех совместных событий равна:

P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – – P(AB) – P(AC) – P(BC) – P(ABC). (20)

При использовании формул сложения вероятностей совместных событий следует иметь в виду, что события могут быть как независимы, так и зависимы.

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из событий не зависит от того, появилось или не появилось другое событие. События A₁, A₂, …, A_n называются независимыми в совокупности или независимыми, если они попарно-независимы, а также независимы каждое из них и любая комбинация, составленная из остальных (части или всех) событий.

Пусть события A₁, A₂, …, A_n – независимы в совокупности, причем P(A₁) = p₁, P(A₂) = p₂, …, P(A_n) = p_n и в результате испытания могут наступить все события либо часть из них, либо одно из них, тогда вероятность появления хотя бы одного из них определяется по формуле:

P(A₁ + A₂ + … + A_n) = 1 – P() · P() · … · P() = = 1 – q₁ · q₂ · … ·q_n, (21)

где .

Если все события имеют одинаковую вероятность, равную p, то

P(A) = 1 – qⁿ, (22)

гдеA=A₁ + A₂ + … + A_n.