Задачи для самостоятельного решения

1. Из партии товаров, в которой 31 изделие без дефекта, а 6 – с дефектами, товаровед наудачу берет 3 изделия. Чему равна вероятность следующих событий:

1) все 3 изделия без дефекта;

2) по крайней мере, одно изделие без дефекта?

Ответ: 1) P(A) = 0,579; 2) P(B) = 0,9973.

2. Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что:

1) выпадет сумма очков, равная 8-ми;

2) выпадет сумма очков, не превышающая 8-ми;

3) выпадет сумма очков, большая 8-ми;

4) ни на одной из игральных костей не выпадет число очков равное 6-ти;

5) хотя бы на одной из игральных костей выпадет число очков равное 6-ти;

6) хотя бы на одной из игральных костей выпадет четное число очков;

7) на обеих костях выпадет одинаковое число очков;

8) на обеих костях выпадет четное число очков;

9) выпадет произведение очков, равное 8-ми;

10) сумма выпавших очков больше, чем их произведение?

Ответ:1) 0,139; 2) 0,689; 3) 0,311; 4) 0,694; 5) 0,306; 6) 0,583; 7) 0,167; 8) 0,25; 9) 0,055; 10) 0,274.

3. Товаровед осматривает партию игрушек, в которой из 20 штук 2 бракованных. Какова вероятность того, что:

1) одна наугад взятая игрушка бракованная;

2) из трех наугад одновременно взятых игрушек: а) только одна бракованная; б) не более одной бракованной?

Ответ:1) 0,1; 2 а) 0,27; 2 б) 0,98.

4. Из букв слова «ротор», составленного с помощью разной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «тор»?

Ответ:0,067.

5. На шести одинаковых карточках написаны буквы «а», «в», «к», «м», «о», «с». Какова вероятность того, что извлекая все карточки по одной наугад, получим слово «Москва?

Ответ: .

6. В книжной лотерее разыгрываются 20 билетов, из которых 2 выигрышных. Какова вероятность того, что из трех купленных билетов хотя бы на один выпал выигрыш?

Ответ: .

7. Для проверки магазинов нужно 3 ревизора, каждый из которых должен проверить два магазина. Чему равна вероятность того, что при случайном распределении объектов первому ревизору попадут данные 2 магазина?

Ответ:0,0667.

8. Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из трех человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут две женщины и один мужчина.

Ответ: P(A) = 0,087.

1.3. Статистическое определение вероятности

На практике часто классическое определение вероятности неприменимо, так как оно предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно, а результат испытания можно представить в виде совокупности элементарных, равновозможных исходов. Поэтому используют статистическое определение вероятности.

Относительная частота W(A) события A есть отношение числа испытаний, в которых событие A появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний:

, (11)

где n – общее число произведенных испытаний;

m – число появлений события A.

Пример 1.11. Частота нормального всхода семян равна 0,97. Из высеянных семян взошло 970. Рассчитать, сколько семян было высеяно.

Решение. Из формулы (11) . Так как m = 970, W = 0,97, то . Следовательно, было высеяно 1000 семян.

Пример 1.12. В партии из 1000 изделий товаровед обнаружил 15 бракованных. Определить, чему равна относительная частота появления брака.

Решение. Так как m = 15, n = 1000, то .