2.2. Функция распределения

Наиболее общей формой задания случайной величины является функция распределения.

Функцей распределения (интегральной функцией) случайной величины X называется функция действительной переменной х, определяемая равенством

F(x) =P(X<x), (40)

где P(X < x) – вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x.

Основные свойства функции распределения

1. Функция распределения является неубывающей, т. е. если x₁ < x₂, то .

2. .

3. Если возможные значения случайной величины , то при , , .

4. Вероятность того, что значение случайной величины X окажется на заданном интервале (a;b) определяется формулой

. (41)

Функция распределения F(x) для дискретной случайной величины X, которая может принимать значения x₁, x₂, …, x_n с соответствующими вероятностями, имеет следующий вид:

, (42)

где символ означает, что суммируются вероятности тех значений, которые меньше x.

Пример 2.4. Найти функцию распределения случайной величины, если закон распределения дискретной случайной величины задан следующей таблицей:

Х	0	1	2	3
Р	0,2	0,4	0,3	0,1

Решение.

1. При .

, так как величина X не принимает значений меньше 0.

2. При .

.

3. При .

.

4. При .

F(x) == P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,2 + 0,4 + 0,3 = = 0,9.

5. При x > 3.

F(x) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,2 + 0,4 + 0,3 + + 0,1 = 1.

График функции F(x) отражен на рис. 2.2.

Рис. 2.2

Вероятность попадания случайной величины X в интервал (2;5) равна P(2 < X < 5) = F(5) – F(2) = 1 – 0,6 = 0,4.

Пример 2.5. Охотник имеет 4 патрона и стреляет до первого попадания в цель (или пока не израсходуются патроны). Найти функцию распределения числа израсходованных патронов, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,25.

Решение. Вероятность попадания р = 0,25, следовательно q = 0,75.

Случайная величина X (число израсходованных патронов) имеет следующие значения: x₁ = 1 (одно попадание), x₂ = 2 (один промах и одно попадание), x₃ = 3 (два промаха и одно попадание), x₄ = 4 (три промаха и одно попадание или четыре промаха).

Найдем вероятность того, что стрельба закончится при четвертом выстреле, т. е. первые три выстрела дали промахи, а четвертый выстрел – попадание. Так как события независимы, то искомая вероятность p = q · q · q · p = q³ · p. Тогда искомый закон распределения запишем в виде следующей таблицы:

X	1	2	3	4
P	0,25	0,75 · 0,25 = = 0,1875	0,752 · 0,25 = = 0,1406	0,753 · 0,25 + 0,754 = = 0,4219

.

Функция распределения имеет вид:

Задачи для самостоятельного решения

1. Игральную кость подбрасывают 3 раза. Найти закон распределения случайной величины X (число невыпадений единицы).

X	0	1	2	3
P

2. В партии 6 деталей, из которых 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Найти функцию распределения случайной величины X (число стандартных деталей среди отобранных).

X	0	1	2	3
P

3. Две игральные кости бросают 2 раза. Написать закон распределения случайной величины X (число выпадений четного числа очков на двух игральных костях).

X	0	1	2
P

4. Подбрасываются две монеты. Найти функцию распределения случайной величины X (число выпадений герба на верхних сторонах монеты). Построить график этой функции.

5. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на “отлично”, наугад извлекают 3 работы. Найти функцию распределения случайной величины X (число оцененных на “отлично” работ среди извлеченных). Используя функцию распределения, найти вероятность события .