2.6. Законы распределения непрерывных случайных величин

Законы распределения непрерывных случайных величин чаще всего задаются их дифференциальными функциями распределения.

Равномерное распределение

Распределение вероятностей случайной величины X называется равномерным на отрезке [a; b], если плотность вероятностей этой величины постоянна на данном отрезке и равно нулю вне этого отрезка.

Найдем значение C: или .

; .

(63)

Найдем интегральную функцию F(x) случайной величины X, имеющей равномерное распределение, используя формулу (52).

Если , то f(x) = 0, следовательно, F(x) = 0.

Если , то .

Если , то .

Интегральная функция распределения имеет вид:

(64)

Графики функций F(x) и f(x) представлены на рис. 2.7 и 2.8.

Рис. 2.7

Рис. 2.8

Пример 2.18. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, имеющей равномерное распределение на отрезке [a; b].

Решение.

;

Следовательно, ; .

Пример 2.19. Найти вероятность того, что случайная величина X, распределенная равномерно в интервале (2; 8), примет значение, принадлежащее интервалу (5; 7).

Решение. Для равномерного распределения

или

.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти плотность распределения P(x) и функцию распределения F(x) случайной величины X, которая равномерно распределена на отрезке [3; 8].

Ответ:

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, равномерно распределенной на отрезке [–3; 3].

Ответ: M(X) = 0; D(X) = 3; .

Нормальное распределение

Нормальным распределением, или распределением Гаусса, называется распределение с плотностью вероятностей

, (65)

где a – математическое ожидание;

–среднее квадратическое отклонение.

График функции P(x) называют нормальной кривой (рис. 2.9) a = 3,  = 1.

Рис. 2.9

Вероятность попадания значений нормальной случайной величины X в интервал определяется формулой

, (66)

где – функция Лапласа.

Функция Лапласа описывается следующей формулой:

. (67)

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа отражается формулой

. (68)

В частности, при а = 0: .

Пусть , . При t = 3, , то

. (69)

Полученная формула выражает правило трех сигм.

При a = 0 и  = 1 плотность распределения примет вид:

. (70)

Распределение вероятностей называется нормированным или стандартным, а график функции – нормированной кривой (рис. 2.10).

Рис. 2.10

Числовые характеристики для нормальной случайной величины Х следующие: M(X) = a, D(X) = ²,.

Пример 2.20. Случайная величина X распределена по нормальному закону, причем M(X) = 10. Найти P(0 < X < 10), если известно, что P(10 < X < 20) = 0,3.

Решение. По условию a = M(X) = 10.

следовательно .

Пример 2.21. Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределения с параметрами a = 375 г,  = 25 г. Найти вероятность того, что вес одной рыбы будет: а) от 300 до 425 г; б) не более 450 г; в) больше 300 г.

Решение:

а) прии  = 425 вероятность равна:

б) при X < 450:

в) при X > 300:

Пример 2.22. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону со средним квадратическим отклонением, равным 10 мм. Какова вероятность того, что измерение произведено с ошибкой, не превосходящей 15 мм?

Решение. Для расчета используем формулу (68) с учетом того, что по условию  = 15 и  = 10.

.

Пример 2.23. Автомат изготавливает подшипники, которые считаются годными, если отклонение X от проектного размера по модулю не превышает 0,77 мм. Каково наиболее вероятное число годных подшипников из 100, если случайная величина X распределена нормально с параметром  = 0,4 мм?

Решение. По условию .

Считая приближенно p = 0,95 и q = 0,05, в соответствии с неравенством , при n = 100 находим:

; .

Отсюда k₀ = 95.

Пример 2.24. Станок-автомат изготавливает валики, контролируя их диаметры X. Случайная величина X распределена нормально, с параметрами a = 10 мм,  = 0,1 мм. Найти интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

Решение. , требуется найти интервал . По таблице значений функции Лапласа находим, что , это вытекает из равенства ,  = 3 = = 3 · 0,1 = 0,3.

Из неравенства получаем следующее:

Следовательно, искомый интервал: 9,7 < X < 10,3.

Пример 2.25. Линия связи обслуживает 1000 абонентов. Каждый абонент разговаривает в среднем 6 минут в час. Сколько каналов должна иметь линия связи, чтобы с практической достоверностью можно было утверждать, что не произойдет ни одной потери вызова?

Решение. Вероятность вызова для каждого абонента равна , q = 1 – p = 0,9, поэтому a = np = 1000 · 0,1,  = = .

Согласно формуле (69), практически достоверно, что

.

Отсюда ; ; .

Для практически безотказной работы линии связи достаточно иметь 130 каналов.