3. Система двух случайных величин

Двумерной называют случайную величину (X; Y), возможные значения которой есть пары чисел (x; y).

Случайные величины X и Y, рассматриваемые совместно, образуют систему двух случайных величин. Каждую из величин X и Y называют составляющей (компонентой).

Общей характеристикой двумерной случайной величины является функция распределения вероятностей, которая представляет собой вероятность события (X < x, Y < y); F(x,y) = P(X < x, Y < y).

Различают дискретные (составляющие этих величин дискретны) и непрерывные (составляющие этих величин непрерывны) двумерные случайные величины.

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины (т. е. пар чисел) (x_i; y_i) и их вероятностей p(x_i; y_j) (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m).

Закон распределения двумерной случайной величины может быть задан в виде таблицы с двойным входом, содержащей возможные значения и их вероятности, а также аналитически, например, в виде функции распределения.

Зная закон распределения двумерной дискретной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих.

Например, события (X = x₁, Y = y₁), (X = x₁, Y = y₂), …, (X = x₁, Y = = y_m) несовместны, поэтому

.

Таким образом, вероятность того, что X примет значение x_i, равна сумме вероятностей столбца x_i. Аналогично, сложив вероятности строки y_j, получим вероятность P(Y = y_j).

Пример 3.1.Найти законы распределения составляющих двумерной случайной величины, заданной законом распределения в виде следующей таблицы:

X Y	x1	x2	x3
y1	0,10	0,30	0,20
y2	0,06	0,18	0,16

Решение. Сложив вероятности по столбцам, получим вероятности возможных значений X: P(x₁) = 0,16; P(x₂) = 0,48; P(x₃) = 0,36.

Запишем закон распределения составляющей X в форме таблицы:

X	x1	x2	x3
P	0,16	0,48	0,36

Проверка: 0,16 + 0,48 + 0,36 = 1.

Сложив вероятности по строкам, получим вероятности возможных значений Y: P(y₁) = 0,60; P(y₂) = 0,40.

Запишем закон распределения составляющей Y в виде следующей таблицы:

Y	y1	y2
P	0,60	0,40

Проверка: 0,60 + 0,40 = 1.

3.1. Условные законы распределения вероятностей составляющих дискретной двумерной случайной величины

Условным распределением составляющей X при Y = y_j называют совокупность условных вероятностей P(x₁y_j), P(x₂y_j), …, P(x_ny_j), вычисленных в предположении, что событие Y = y_j (j имеет одно и то же значение при всех возможных значениях X) уже наступило.

Аналогично определяется условное распределение составляющей Y.

Условный закон распределения X в предположении, что событие Y = y₁ уже произошло, может быть найден по следующей формуле:

. (77)

В общем случае условные законы для составляющей X могут быть представлены в виде формуле

. (78)

Для составляющей Y условные законы определяются формулой

. (79)

Пример 3.2. Найти условный закон распределения составляющей X при условии, что составляющая Y приняла значение y₁ и двумерная случайная величина (Х, Y) задана таблицей:

X Y	x1	x2	x3
y1	0,10	0,30	0,20
y2	0,06	0,18	0,16

Решение. Используя формулу

,

где P(y₁) = 0,10 + 0,30 + 0,20 = 0,60, находим:

;

;

.

Для проверки вычислений просуммируем найденные вероятности:

.

Искомый условный закон распределения X может быть записан в виде таблицы

X	x1	x2	x3

Аналогично найдем условный закон распределения Y, который приведен в виде следующей таблицы:

Y	y1	y2

Проверка: .