Программа курса

1. Случайные события и вероятность

Случайные события и соотношения между ними. Частота и вероятность. Геометрическая вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. Независимость событий. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступления события. Формула полной вероятности. Формула Бейеса. Элементы теории нечетких множеств. Понятие инциденции, нечеткой матрицы, матрицы инциденций. Примеры использования матриц инциденций при исследовании скрытых воздействий в финансовой и производственной областях.

2. Случайные величины и законы их распределения

Случайные величины и законы их распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Мода и медиана. Равномерное распределение. Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона. Показательное распределение. Функция надежности.

3. Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения. Функция Лапласа. Моменты, асимметрия и эксцесс случайной величины. Закон больших чисел и его частные случаи. Усиленный закон больших чисел. Теорема Колмогорова. Предельные теоремы. Центральная предельная теорема. Определение характеристик и нахождение законов распределения случайных величин на основе опытных данных.

1. События и вероятности

1.1. Классификация событий

Испытание – осуществление определенной совокупности условий.

Событие – результат испытания. Обозначается большими буквами латинского алфавита (А, В, С и т. д.).

Исходы испытаний – события, каждое из которых может произойти в результате испытания.

Исход, благоприятствующий событию – исход, появление которого влечет за собой появление события.

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет при данном испытании и обозначается латинской буквой Е.

Невозможным называется событие, которое не произойдет при данном испытании и обозначается латинской буквой U.

Случайным называется событие, которое может как произойти, так и не произойти при данном испытании.

Совместные события – это события, для которых наступление одного из них сопровождается наступлением других в данном испытании.

Несовместные события – события, для которых появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Если при реализации совокупности условий, когда происходит событие A, происходит и событие B, то говорят, что A влечет за собой (благоприятствует) B и обозначают этот факт: . Если имеет место одновременно и , то события A и B называются равносильными.

Равновозможные события – это события, для которых ни одно не является более возможным, чем другие в данном испытании.

Единственно возможные события – это события, для которых появление одного и только одного из них в данном испытании является достоверным событием.

Противоположные события – это два единственно возможных несовместных события. Событие, противоположное A, обозначают через . Появление одного из событий равносильно непоявлению другого (например, противоположные события «герб» и «цифра» при одном подбрасывании монеты).

События A₁, A₂,…, A_n называют полной группой событий, если они попарно-несовместны. Появление одного и только одного из них является достоверным событием.

События, образующие полную группу событий и являющиеся несовместными и равновозможными, называются случаями или шансами.

Элементарное событие или элементарный исход испытания – событие, которое нельзя представить в виде совокупности других исходов этого испытания.

Составное событие или составной исход испытания – событие, которое можно представить в виде совокупности элементарных событий (всех или части) этого испытания.