2.3. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, при решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности. Целесообразнее пользоваться некоторыми количественными показателями, которые давали бы в сжатой форме достаточную информацию о случайной величине. Такие показатели называют числовыми характеристиками случайной величины. Основными из них являются математическое ожидание, дисперсия, моменты различных порядков.

Математическим ожиданием M(x) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

. (43)

Дисперсией D(x) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

. (44)

Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины X^k:

. (45)

Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию v₁ = M(X).

Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины [X – M(X)]^k:

. (46)

Центральный момент второго порядка равен дисперсии D(X):

.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1) математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной: M(C) = C;

2) постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX) = C · M(X);

3) математическое ожидание отклонения равно 0: M[X – M(X)] = 0;

4) M(X+Y) =M(X) +M(Y);

5) M(X·Y) =M(X) ·M(Y).

Математическое ожидание – это среднее значение данной случайной величины, центр ее распределения.

Другой важной характеристикой случайной величины является дисперсия, которая служит мерой рассеивания данной случайной величины по отношению к ее математическому ожиданию.

Дисперсия случайной величины обладает свойствами:

1) дисперсия постоянной равна 0: D(С) = 0;

2) постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D(CX) = C²D(X);

3) если X и Y независимые случайные величины, тогда

D(X + Y) = D(X) + D(Y); D(X – Y) = D(X) + D(Y);

4) дисперсия случайной величины X равна математическому ожиданию ее квадрата без квадрата ее математического ожидания:

D(X) = M(X²) – [M(X)]².

Среднее квадратическое отклонение () вычисляется по формуле

. (47)

Пример 2.6. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины Х, заданной следующим законом распределения:

X	1	2	3	4
P	0,3	0,1	0,4	0,2

Решение. Найдем дисперсию случайной величины двумя способами.

1. Математическое ожидание (начальный момент первого порядка) равен M(X) = ₁ = 1 · 0,3 + 2 · 0,1 + 3 · 0,4 + 4 · 0,2 = 2,5.

Вычислим начальный момент третьего порядка: ₃ = M(X³) = 1³ · 0,3 + + 2³ · 0,1 + 3³ · 0,4 + 4³ · 0,2 = 24,7.

Рассчитаем дисперсию (центральный момент второго порядка): D(X) = ₂ = (1 – 2,5)² · 0,3 + (2 – 2,5)² · 0,1 + (3 – 2,5)² · 0,4 + (4 – – 2,5)² · 0,2 = 1,25.

2. Второй способ вычисления дисперсии основан на свойстве 4:

D(X) = M(X²) – [M(X)]².

Так как M(X²) = 1 · 0,3 + 2² · 0,1 + 3² · 0,4 + 4² · 0,2 = 7,5 то D(X) = = 7,5 – (2,5)² = 1,25.

Используя формулу (46) определим центральный момент третьего порядка: ₃ = (1 – 2,5)³ · 0,3 + (2 – 2,5)³ · 0,1 + (3 – 2,5)³ · 0,4 + (4 – – 2,5)³ · 0,2 = 17,425.

Найдем числовые характеристики дискретной случайной величины, подчиняющейся биномиальному распределению. В этом случае возможными значениями случайной величины X являются 0, 1, 2, …, n, а вероятности вычисляются по формуле Бернулли. Запишем биномиальный закон в виде следующей таблицы:

X	0	1	2	…	k	…	n
P	qn			…		…	pn

Запишем выражение начального момента первого порядка (математическое ожидание):

.

Дисперсия (центральный момент второго порядка) может быть вычислена по следующей формуле:

D(X) = ₂ = M(X²) – [M(X)]² = npq. (48)

Распределение Пуассона, задается в виде следующего закона распределения:

X	0	1	2	…	k	…
P	e–	e–	2e– / 2!	…	ke– / k!	…

Отличительной особенностью распределения Пуассона является равенство математического ожидания и дисперсии:

M(X) =D(X) ==np. (49)

Пример 2.7. Два стрелка стреляют в цель, выбивая очки от 0 до 5. Определить, какой стрелок стреляет лучше, если:

• для первого стрелка величина X (число выбиваемых очков) задается следующим законом распределения:

X	0	1	2	3	4	5
P	0,1	0,2	0,1	0,3	0,1	0,2

• для второго стрелка величина X задается законом распределения:

X	0	1	2	3	4	5
P	0,1	0,1	0,3	0,2	0,2	0,1

Решение.Для определения лучшего стрелка нужно найти средние значения выбиваемых очков, с учетом соответствующих вероятностей, для каждого стрелка:

• для первого стрелка:

M(X₁) = 0 · 0,1 + 1 · 0,2 + 2 · 0,1 + 3 · 0,3 + 4 · 0,1 + 5 · 0,2 = 2,7.

• для второго стрелка:

M(X₂) = 0 · 0,1 + 1 · 0,1 + 2 · 0,3 + 3 · 0,2 + 4 · 0,2 + 5 · 0,1 = 2,6.

Так как первый стрелок выбивает в среднем 2,7 очка, а второй 2,6, следовательно, первый стрелок стреляет лучше.

Для того, чтобы оценить у какого стрелка рассеяние меньше, рассчитаем дисперсию каждого стрелка:

D(X₁) = 1 · 0,2 + 4 · 0,1 + 9 · 0,3 + 16 · 0,1 + 25 · 0,2 – 2,7² = 9,9 – 7,29 = = 2,61.

D(X₂) = 1 · 0,1 + 4 · 0,3 + 9 · 0,2 + 16 · 0,2 + 25 · 0,1 – 2,6² = 8,8 – 6,76 = = 2,04.

Следовательно, второй стрелок стреляет более “кучно”, так как его дисперсия меньше.

Пример 2.8. В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартные. Наудачу отобраны 2 детали. Найти начальный момент первого и третьего порядка и центральные моменты второго и третьего порядка дискретной случайной величины X (число нестандартных деталей среди отобранных).

Решение. Закон распределения может быть задан в виде следующей таблицы:

X	0	1	2
P	21/45	21/45	3/45

; ;

;

;

.

Пример 2.9. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Z = 2X + Y, если известно, что M(X) = 2, M(Y) = 5.

Решение. Согласно свойствам математического ожидания

M(Z) = M(2X + Y) = M(2X) + M(Y) = 2M(X) + M(Y) = 2 · 2 + 5 = 9.

Пример 2.10. Производятся независимые опыты, в каждом из которых событие A наступает с вероятностью p. Опыты продолжаются до первого появления события A. Найти математическое ожидание случайной величины X (число произведенных опытов).

Решение. Возможные значения этой случайной величины x_n = n, n = 1, 2, 3, … . Событие X = n означает, что в первых n – 1 опытах событие A не наступит, а в n-ом опыте наступит. Вероятность такого исхода равна

.

Следовательно, закон распределения случайной величины X можно представить в виде таблицы

X	1	2	3	…	n	…
P	p	pq	pq2	…	pqn–1	…

M(X) = 1 · p + 2pq + 3pq² + … + npq^n–1 + … = p(1 + 2q + 3q² + … + + nq^n–1 + …).

Ряд, записанный в скобках, получается дифференцированием геометрического ряда .

Следовательно, .