ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Эконометрика. Учебник продвинутый (2005)
.pdf494 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA
б) xt = µ + εt + θ1εt−1 + θ2εt−2 + . . . + θq εt−q ;
в) xt = µ+ϕ1xt−1 +ϕ2xt−2 +. . .+ϕpxt−p +εt +θ1εt−1 +θ2εt−2 +. . .+θq εt−q .
2. Вывести формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии
∞
и ковариаций случайного процесса xt = µ + εt + ϕiεt−i при условии его
i=1
слабой стационарности, если εt — белый шум с дисперсией σ2 и математического ожидания E(εtxt−k ) = 0, |k| 1.
3.Вывести формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии
и ковариаций случайного процесса xt = µ + ϕ1xt−1 + εt при условии его слабой стационарности, если εt — белый шум с дисперсией σ2 .
4.Обосновать утверждение о том, что модель авторегрессии является частным случаем модели линейного фильтра.
5.Записать случайный процесс xt = 0.2 + 0.6xt−1 + εt с использованием лагового оператора и виде процесса скользящего среднего бесконечного порядка.
6.При каких условиях процесс AR(1) стационарен и обратим?
7.Задана модель: xt = 0.25xt−1 +εt, где εt — белый шум. Дисперсия процесса xt равна единице. Вычислить дисперсию белого шума.
8.Чему равна дисперсия Марковского процесса xt = 0.5xt−1 +εt , если дисперсия белого шума равна 1? Изобразить график автокорреляционной функции данного процесса.
9.Для процесса xt = −0.7 − 0.7xt−1 + εt , где εt — белый шум, рассчитать частную автокорреляционную функцию, вычислить первые 6 значений автокорреляционной функции и начертить ее график.
10.Для модели AR(1): xt = µ + 0.5xt−1 + εt показать, что частная автокорреляционная функция ϕ1,1 = 0.5, ϕk,k = 0 при k 2.
11.Даны два марковских процесса:
xt = 0.5xt−1 + εt; yt = 0.2yt−1 + εt.
Дисперсия какого процесса больше и во сколько раз?
12.Найти математическое ожидание, дисперсию и ковариации случайного процесса xt, если εt — белый шум с единичной дисперсией.
а) xt = 0.1 + 0.9xt−1 + εt ; б) xt = −0.2xt−1 + εt.
13. Найти спектр процесса xt = εt + 0.1εt−1 + 0.01εt−2 + . . . .
14.10 Упражнения и задачи |
495 |
14.Корень характеристического уравнения, соответствующего процессу Маркова, равен 2, остаточная дисперсия равна 1. Найти значение спектра на частоте 0.5.
15. Имеется ли разница в графиках спектра для процессов xt = 0.9xt−1 + εt
и xt = 0.2xt−1 + εt? Если да, то в чем она выражается?
16.Корни характеристических уравнений, соответствующих двум марковским процессам, равны +1.25 и −1.25. В чем отличие процессов и как это различие отражается на графиках спектра и автокорреляционной функции?
17.Пусть εt — белый шум с единичной дисперсией. Найти математическое ожидание, дисперсию и ковариации случайного процесса:
а) xt = 1 + 0.5xt−1 + εt ; б) xt = 0.5xt−1 + εt.
18. Проверить на стационарность следующие процессы:
а) xt − 0.4xt−1 − 0.4xt−2 = εt; б) xt + 0.4xt−1 − 0.4xt−2 = εt ; в) xt − 0.4xt−1 + 0.4xt−2 = εt .
Изобразить схематически графики автокорреляционной функции этих процессов. Проверить правильность выводов с помощью точного вычисления автокорреляционной функции для каждого из процессов.
19.Корни характеристического уравнения для процесса Юла равны, соответственно, 5 и −5. Изобразить график автокорреляционной функции. Дать обоснование.
20.Корни характеристического уравнения, соответствующего процессу Юла, равны 1.9 и −1.3. Изобразить график автокорреляционной функции этого процесса. Ответ обосновать.
21.Коэффициенты автокорреляции первого и второго порядка в процессе Юла равны, соответственно, 0.5 и 0.4. Оценить параметры процесса. Найти дисперсию белого шума, если дисперсия процесса равна 1.
22.При каких значениях ϕ2 следующие случайные процессы являются стационарными в широком смысле?
а) xt = xt−1 + ϕ2xt−2 + εt; б) xt = −xt−1 + ϕ2xt−2 + εt.
Вывести автокорреляционные функции данных случайных процессов при
ϕ2 = −0.5.
23.Параметры ϕ1 и ϕ2 процесса AR(2) равны, соответственно, 0.6 и −0.2. Каковы первые три значения автокорреляционной функции?
14.10 Упражнения и задачи |
497 |
36.Является ли случайный процесс, автокорреляционная функция которого имеет следующий вид: ρ1 = 0.5, ρk = 0, k 2, обратимым?
37.Для каждого из случайных процессов:
а) xt = εt + 0.5εt−1 ; б) xt = εt − 0.5εt−1 ; в) xt = −1 + εt + 0.8εt−1 ;
рассчитать частную автокорреляционную функцию, вычислить первые 6 значений автокорреляционной функции и построить ее график.
38.Показать, что частные автокорреляционные функции следующих слабо стационарных случайных процессов совпадают:
а) xt = µ + εt + θ1εt−1 и zt = υt + θ1υt−1 ,
б) xt = µ + εt + θ1εt−1 + θ2εt−2 + . . . + θq εt−q
и zt = υt + θ1υt−1 + θ2υt−2 + . . . + θqυt−q ,
где εt и υt — процессы белого шума с дисперсиями σε2 и σv2 , соответственно.
39.Имеется следующий обратимый процесс : xt = εt +θ1εt−1 +θ2εt−2 , где εt — белый шум с дисперсией σ2. Рассчитать коэффициенты автоковариации. Записать автокорреляционную функцию для этого процесса.
40.Построить график автокорреляционной функции процесса:
а) xt = εt + 0.5εt−1 − 0.3εt−2 ; б) xt = 1 + εt − 0.4εt−1 + 0.4εt−2 .
41.Переписать случайный процесс
xt = 0.5xt−1 + 0.5xt−2 + εt − εt−1 + 3εt−2
с использованием лагового оператора, где εt — белый шум. Проверить процесс на стационарность и обратимость.
42.Найти математическое ожидание, дисперсию и ковариации случайного процесса xt = 0.5xt−1 + εt − 0.7εt−1 , если εt — белый шум. Построить график автокорреляционной функции.
43.На примере процесса ARMA(1, 1) продемонстрировать алгоритм оценивания его параметров методом моментов.
44.Найти параметры модели ARMA(1, 1), если ρ1 = 3141 , ρ2 = 20593 .
45.Проверить на стационарность и обратимость процесс
xt = 0.6 + 0.3xt−1 + 0.4xt−2 + εt − 0.7εt−1 ,
где εt — белый шум с дисперсией σ2 . Представить процесс в виде AR(∞), если это возможно.
498 |
Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA |
46.Определить порядок интегрирования процесса xt = 1.5xt−1 + 0.5xt−2 + εt − − 0.5εt−1 . Ответ обосновать.
47. Для модели (1 − L)(1 + 0.4L)xt = (1 − 0.5L)εt определить параметры p, d , q. Является ли процесс стационарным?
48.Записать формулу расчета коэффициента автоковариации первого порядка для процесса ARIMA(2, 2, 2).
49.Какую роль выполняет оператор скользящего среднего в прогнозировании процессов ARMA(p, q)? Ответ обосновать.
50.Построить точечный прогноз на один шаг вперед, если известно, что процесс
xt = 0.1xt−1 + εt + 0.2εt−1 , xT = 10, εT = 0.1.
51.Построить доверительный интервал для прогноза на два шага вперед для случайного процесса xt = 0.5xt−1 +εt, если известно, что xT = −1.6 и εt — белый шум с единичной дисперсией.
52.Построить интервальный прогноз на 2 шага вперед для случайного процесса:
а) |
xt = 1 |
+ εt + 0.7εt−1 , если εt — белый шум с единичной дисперсией |
|
и εT = |
−6.7; |
б) |
xt = 1 |
+ 1.3xt−1 + εt , если εt — белый шум с единичной дисперсией |
иxT = 7.1, xT −1 = 6.7, εt = 0.5.
53.Записать в компактной и развернутой формах уравнение процесса ARIMA(1, 2, 2), привести формулу доверительного интервала для прогноза на 4 шага вперед с выводом формул для параметров ψj и дисперсии белого шума.
54.Записать формулу доверительного интервала для прогноза по модели ARIMA(1, 1, 1), с выводом формул для ψj и дисперсии белого шума.
Рекомендуемая литература
1.Айвазян С.А. Основы эконометрики. Т. 2. — М.: «Юнити», 2001. (Гл. 3).
2.Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. — М.: «Мир», 1976. (Гл. 5).
3.Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. 1. — М.: «Мир», 1974. (Гл. 3–6).
14.10 Упражнения и задачи |
499 |
4.Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. — М.: «Наука», 1976. (Гл. 47).
5.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика — начальный курс. — М.: «Дело», 2000. (Гл. 12).
6.Справочник по прикладной статистике. В 2-х т. Т. 2. // Под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана. — М.: «Финансы и статистика», 1990. (Гл. 18).
7.Chatfield Chris. The Analysis of Time Series: An Introduction... 5th ed. — Chapman & Hall/CRC, 1996. (Ch. 3–5).
8.Enders Walter. Applied Econometric Time Series. — Iowa State University, 1995. (Ch. 5).
9.Judge G.G., Griffiths W.E., Hill R.C., Luthepohl H., Lee T. Theory and Practice of Econometrics. — New York: John Wiley & Sons, 1985. (Ch. 7).
10.Hamilton James D., Time Series Analysis. — Princeton University Press, 1994. (Ch. 3, 4).
11.Mills Terence C. Time Series Techniques for Economists. — Cambridge University Press, 1990. (Ch. 5–8).
12.Pollock D.S.G. A handbook of time-series analysis, signal processing and dynamics. — «Academic Press», 1999. (Ch. 16–19).
Глава 15
Динамические модели регрессии
При моделировании экономических процессов с помощью регрессионного анализа часто приходится наряду с некоторым временным рядом вводить в модель также лаг этого ряда. В экономике практически нет примеров мгновенного реагирования на какое-либо экономическое воздействие — существуют задержки проявления эффектов от капиталовложений, внесения удобрений и т.д., иными словами, при моделировании необходимо учитывать воздействие факторов в предыдущие моменты времени. Выше были введены некоторые из таких моделей: регрессия с распределенным лагом и модели ARIMA. В этой главе рассматриваются различные аспекты подобного рода моделей.
15.1.Модель распределенного лага: общие характеристики и специальные формы структур лага
Напомним, что простейшая модель распределенного лага — это модель регрессии, в которой на динамику исследуемой переменной xt влияет не только какой-то объясняющий фактор zt, но и его лаги. Модель имеет следующий вид:
q
xt = µ + αj zt−j + εt = µ + α(L)zt + εt, |
(15.1) |
j=0 |
|
15.1 Модель распределенного лага |
501 |
q
где α(L) = αj Lj , a q — величина максимального лага.
j=0
Данную модель можно охарактеризовать следующими показателями.
Функция реакции на импульс (impulse response function, IRF) показывает, насколько изменится xt при изменении zt−j на единицу для лагов j = 0, 1, 2, ....
dxt
Таким образом, можно считать, что речь идет о производной dzt−j как функции
запаздывания j. Ясно, что для модели распределенного лага этот показатель совпадает с коэффициентом αj при j q и равен нулю при j > q. При j < 0 (влияние будущих значений переменной z на переменную x) реакцию на импульс можно положить равной нулю.
Накопленная реакция на импульс для лага k — это просуммированные значения простой функции реакции на импульс от j = 0 до j = k. Для модели распределенного лага это сумма коэффициентов:
min{k, q}
αj .
j=0
Долгосрочный мультипликатор является измерителем общего влияния переменной z на переменную x. Он равен
q
αΣ = αj = α(1).
j=0
Это предельное значение накопленной реакции на импульс. Если x и z — логарифмы исходных переменных, то αΣ — долгосрочная эластичность.
Средняя длина лага показывает, на сколько периодов в среднем запаздывает влияние переменной z на переменную x. Она вычисляется по формуле
¯ |
jαj |
|
jαj |
|
|
j=0 |
= |
j=0 |
|
||
j = |
|
|
. |
||
q |
αΣ |
||||
|
|
|
|||
|
αj |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
j=0 |
|
|
|
Заметим, что среднюю длину лага можно записать через производную логарифма многочлена α(L) в точке 1. Действительно,
q |
|
q |
α (v) = |
αj vj = |
jαj vj−1 |
j=0 |
|
j=0 |
