ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Эконометрика. Учебник продвинутый (2005)

18.4. Упражнения и задачи

Упражнение 1

ВТаблице 18.1 приведены данные о продаже лыж в США: SA — продажа лыж

вСША, млн. долл., PDI — личный располагаемый доход, млрд. долл.

1.1.Оценить регрессию SA по константе и PDI. Построить и проанализировать автокорреляционную функцию остатков.

1.2.Оценить регрессию с добавлением квартальных сезонных переменных Q1 , Q2 , Q3 , Q4 . Константу не включать (почему?). Оценить ту же регрессию, заменив Q4 на константу. Построить и проанализировать автокорреляционную функцию остатков в регрессии с сезонными переменными.

1.3.Проверить гипотезу о том, что коэффициенты при сезонных переменных равны одновременно нулю. Есть ли сезонная составляющая в данных?

Таблица 18.1. (Источник: Chatterjee, Price, Regression Analysis by Example, 1991, p.138)

Таблица 18.2. (Источник: M.Pokorny, An Introduction to Econometrics. Basil Blackwell, 1987, p.230)

1.4.Оценить ту же регрессию, считая, что коэффициент при Q1 равен коэффициенту при Q4 («зимние» кварталы) и коэффициент при Q2 равен коэффициенту при Q3 («летние» кварталы).

1.5.Мы предполагали выше, что константа меняется в зависимости от квартала. Теперь предположим, что в коэффициенте при PDI также имеется сезонность. Создать необходимые переменные и включить их в регрессию. Меняется ли коэффициент при PDI в зависимости от квартала? Проверить соответствующую гипотезу.

Упражнение 2

В Таблице 18.2 приведены данные о добыче угля в Великобритании: X — общая добыча угля (млн. тонн), L — общая занятость в добыче угля (тыс. чел.), K — основные фонды в угледобывающей отрасли (восстановительная стоимость в ценах 1975 г., млн. фунтов), D — потери рабочих дней в угледобывающей отрасли из-за забастовок (млн. дней).

2.1.Оценить уравнение регрессии X = const + bK + cD. На основе графиков остатков по времени и по расчетным значениям сделать выводы относительно гетероскедастичности, автокорреляции и функциональной формы.

2.2.Провести вручную с помощью соответствующих регрессий тесты: а) на гетероскедастичность, б) тест Годфрея на автокорреляцию остатков, в) тест Рамсея на функциональную форму.

2.3.Провести Чоу-тест (тест на постоянство коэффициентов регрессии) с помощью умножения на фиктивную переменную. Данные разбить на 2 части: с 1965 по 1972 и с 1973 по 1980 гг. Сделать выводы.

2.4.Провести тест на добавление фактора L. Оценить уравнение регрессии

X = const + bK + cD + aL.

2.5.Правильно ли выбрана функциональная форма регрессии? В случае, если она выбрана неправильно, попробовать исправить ее путем добавления квадратов переменных K и L.

Упражнение 3

В Таблице 15.3 на стр. 520 приведены данные о совокупном доходе и потреблении в США в 1953–1984 гг.

3.1.Оценить потребительскую функцию (в логарифмах) ln Ct = β + α ln Yt + εt.

3.2.Проверить гипотезу α = 1 с помощью: а) теста Вальда, б) преобразованной модели ln Yt = β + (α − 1) ln Yt + εt, в) теста отношения правдоподобия.

3.3.Проверить гипотезу об отсутствии автокорреляции первого порядка.

3.4.Предположим, что ошибка подчинена авторегрессионному процессу первого порядка εt = ρεt−1 + ut. Оценить соответствующую модель.

3.5.Модель с авторегрессией в ошибке можно записать в следующем виде:

ln Ct = β(1 − ρ) + α ln Yt − αρ ln Yt−1 + ρ ln Ct−1 + ut.

Эта же нелинейная модель представляется в виде линейной регрессии:

ln Ct = β + α ln Yt + γ ln Yt−1 + δ ln Ct−1 + ut,

где α = α, β = β(1 − ρ), γ = −αρ, δ = ρ. Оцените модель как линейную регрессию.

3.6.Для той же нелинейной модели должно выполняться соотношение между коэффициентами линейной регрессии: α δ = −γ . Проверить данную гипотезу.

3.7.Оценить нелинейную регрессию. Использовать тест отношения правдоподобия для проверки той же гипотезы, т.е. α δ = −γ .

Задачи

1.Оценивается функция Кобба—Дугласа (в логарифмическом виде) с ограничением однородности первой степени. Запишите матрицы (R и r) ограничений на параметры регрессии.

2.Запишите матрицы (R и r) ограничений на параметры регрессии в случае проверки того, что 1-й и 3-й коэффициенты регрессии X = Zα + ε совпадают, где матрица наблюдений

3.Запишите матрицы (R и r) ограничений на параметры регрессии в случае проверки значимости j-го коэффициента регрессии.

4.Запишите матрицы (R и r) ограничений на параметры регрессии в случае проверки значимости уравнения регрессии в целом.

5.Исходные данные для модели линейной регрессии x = α1z1 + α2z2 + ε неизвестны, известно только, что количество наблюдений N = 100, сумма квадратов остатков равна 196,

а) Используя эту информацию, рассчитайте оценки МНК.

б) Рассчитайте оценки МНК, учитывая ограничение 2α1 −3α2 = 10. Найдите сумму квадратов остатков.

в) Рассчитайте статистику, с помощью которой можно проверить гипотезу 2α1 − 3α2 = 10. Какое распределение имеет эта статистика?

6.Регрессию xi = a0 + a1zi1 + a2zi2 + ei оценили без ограничений на параметры и получили остатки (3, −2, −4, 3), а затем оценили с ограничением a1 + a2 = 1 и получили остатки (2, −1, −4, 3). Найдите F -статистику для

ный член равен нулю, если 5%-ные границы F -распределения равны

F1,1 = 161.5; F1,2 = 18.51; F1,3 = 10.13; F1,4 = 7.71; F1,5 = 6.61.

8.Как с помощью критерия Стьюдента проверить автокорреляцию первого порядка в остатках регрессии X = Z1α1 + ε?

9.Пусть в простой линейной регрессии остатки равны (0; 2; −2; 1; −2; 1). После добавления в исходную регрессию лага остатков (0; 0; 2; −2; 1; −2) текущие остатки оказались равны (0; 0; 0; 1; −1; 0). Проверить гипотезу об отсутствии автокорреляции ошибок, если 5%-ные границы F -распреде-

ления равны F1,1 = 161.5, F1,2 = 18.51, F1,3 = 10.13, F1,4 = 7.71, F1,5 = 6.61.

10.С помощью какой регрессии можно проверить правильность функциональной формы уравнения регрессии?

11.Уравнение регрессии с двумя факторами и константой оценено по временным рядам длиной 10. Сумма квадратов остатков, полученная в регрессии по всем наблюдениям, равна 100, сумма квадратов остатков, полученная в регрессии по первым 5-ти наблюдениям, равна 40, а сумма квадратов остатков, полученная в регрессии по последним 5-ти наблюдениям, равна 20. Найдите F -статистики для гипотезы о постоянстве коэффициентов регрессии. С чем ее следует сравнить? В каком случае гипотеза принимается?

12.В исходной регрессии было 12 наблюдений, 2 фактора и константа. Сумма квадратов остатков была равна 120. Затем выборку разбили на две части, в первой из которых 6 наблюдений. В регрессии по первой части выборки сумма квадратов оказалась равной 25, а по второй части 15. Проверить гипотезу о постоянстве коэффициентов в регрессии, если 5%-ные границы

13.Тест Чоу применили к регрессии, разбив выборку на N1 и N2 наблюдений. Количество факторов равно n. Приведите условия на N1 , N2 и n, при которых невозможно использовать первую форму теста Чоу.

14.Тест Чоу применили к регрессии, разбив выборку на N1 и N2 наблюдений. Количество факторов равно n. Приведите условия на N1 , N2 и n, при которых невозможно использовать вторую форму теста Чоу.

15.Для чего можно использовать информационную матрицу в методе максимального правдоподобия?

16.В регрессии X = Zα + ε матрица

а остатки ε равны (1, 1, 2, −2) . Запишите информационную матрицу.

17.В регрессии X = Zα + ε матрица

а оценка дисперсии, найденная методом максимального правдоподобия, равна 58 . Запишите информационную матрицу.

18.Регрессию x = a0 + a1z1 + a2z2 + e оценили без ограничений на параметры и получили остатки (0, −1, 1, 0) , а затем оценили с ограничением a1 +a2 = 1 и получили остатки (2, −1, −4, 3) . Найдите статистику отношения правдоподобия для проверки ограничений. С чем ее следует сравнить? В каком случае гипотеза принимается?

19.Регрессию x = a0 + a1z1 + a2z2 + e оценили без ограничений на параметры и получили остатки (2, −1, −4, 3) , а затем оценили с ограничением a1 + a2 = 1 и получили остатки (3, −2, −4, 3) . Найдите статистику множителя Лагранжа для проверки ограничений. С чем ее следует сравнить? В каком случае гипотеза принимается?

20.Регрессию x = a0 + a1z1 + a2z2 + e оценили без ограничений на параметры и получили остатки (0, −1, −1, 2), а затем оценили с ограничением

a1 + a2 = 1 и получили остатки (1, −2, −2, 3). Найдите статистику Вальда для проверки ограничений. С чем ее следует сравнить? В каком случае гипотеза принимается?

21.В модели линейной регрессии x = α1z1 + α2z2 + e по некоторому на-

бору данных (N = 100 наблюдений) получены следующие оценки МНК: a = (0.4, −0.7) . Оценка ковариационной матрицы этих оценок равна

0.01 −0.02

Используя общую формулу для статистики Вальда, проверьте следующие гипотезы на уровне 5%:

а) H0 : α1 = 0.5, α2 = −0.5, б) H0 : α1 − α2 = 1,

в) H0 : 3α1 + α2 = 0.

где Y — объем производства, K — капитал, L — труд. В скобках указаны стандартные ошибки коэффициентов. Ковариация оценок коэффициентов при ln K и ln L равна 0.05. Коэффициент детерминации равен R2 = 0.9.

Проверьте следующие гипотезы:

а) как труд, так и капитал не влияют на объем производства;

б) эластичности объема производства по труду и капиталу совпадают;

в) производственная функция характеризуется постоянной отдачей от масштаба (сумма эластичностей равна единице).

24.При каких условиях можно применить критерии Вальда (W), отношения правдоподобия (LR), множителей Лагранжа (LM)?

в) и те и другие оценки.

Для каждого из пунктов (а), (б) и (в) указажите имена тестов, которые можно применить.

Рекомендуемая литература

1.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика — начальный курс. — М.: «Дело», 2000. (Гл. 3, 11).

2.Себер Дж. Линейный регрессионый анализ. — М.: «Мир», 1980.

3.Статистические методы в экспериментальной физике. — М: Атомиздат, 1976. (Гл. 5, 8–10).

4.Цыплаков А.А. Некоторые эконометрические методы. Метод максимального правдоподобия в эконометрии. — Новосибирск: НГУ, 1997.

5.Baltagi, Badi H. Econometrics, 2nd edition, Springer, 1999. (Ch. 7).

6.Davidson, R., and J.G. MacKinnon. Estimation and Inference in Econometrics. Oxford University Press, 1993. (Ch. 1, 3, 8, 13).

7.Engle R. Wald, Likelihood Ratio and Lagrange Multiplier Tests in Econometrics, in Handbook of Econometrics, vol. II, Amsterdam: North Holland, 1984.

8.Greene W.H. Econometric Analysis, Prentice-Hall, 2000. (Ch. 4, 7).

9.Judge G.G., Griffiths W.E., Hill R.C., Luthepohl H., Lee T. Theory and Practice of Econometrics. — New York: John Wiley & Sons, 1985. (Ch. 2, 5).

10.Ruud Paul A. An Introduction to Classical Econometric Theory, Oxford University Press, 2000. (Ch. 4, 11, 17).

Глава 19

Байесовская регрессия

Прежде чем переходить к регрессии, полезно напомнить, в чем заключается байесовский подход. Он основан на теореме Байеса (см. Приложение A.3.1)

которая следует из определения вероятности совместного события:

p(A ∩ B) = p(A|B)p(B) = p(B|A)p(A).

Пусть теперь

Mi, i = 1, . . . , k — гипотезы, модели, теории, суждения об изучаемом предмете; они являются взаимоисключающими и образуют исчерпывающее множество возможных объяснений изучаемого феномена;

p(Mi) — априорные (доопытные, субъективные) вероятности, выражающие совокупность априорных (доопытных, субъективных) знаний об изучаемом предмете; p(Mi) = 1;

D — результат наблюдения, опыта;

p(D|Mi) — правдоподобия, вероятности того, насколько правдоподобен результат, если правильна i-я теория изучаемого предмета, считаются известными.

где p(D) = p(D|Mi)p(Mi),

p(Mi|D) — апостериорные (послеопытные) вероятности.

Это соотношение показывает, как априорные знания о предмете меняются в результате получения опытных данных, т.е. как накапливаются знания.

Пример трансформации представлений преподавателя об уровне знаний студента.

M1 — студент знает предмет,

M2 — студент не знает предмет.

Преподаватель имеет априорные оценки вероятностей этих состояний: p(M1) = 0.2,

p(M2) = 0.8.

Наблюдение, опыт — в данном случае это экзамен. Результат опыта:

D1 — студент сдал экзамен,

D2 — студент не сдал экзамен. Правдоподобия преподавателя:

p(D1|M1) = 0.9 p(D2|M1) = 0.1 p(D1|M2) = 0.4 p(D2|M1) = 0.6

Пусть студент сдал экзамен. Тогда априорные оценки преподавателя корректируются следующим образом:

0.9 · 0.2

p (M1|D1) = 0.9 · 0.2 + 0.4 · 0.8 = 0.36,

0.4 · 0.8

p (M2|D1) = 0.9 · 0.2 + 0.4 · 0.8 = 0.64 .

Если студент не сдал экзамен, то апостериорные вероятности будут такими:

p(M1|D2) = 0.04 ,

p(M2|D2) = 0.96 .