Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Эконометрика. Учебник продвинутый (2005)

.pdf
Скачиваний:
505
Добавлен:
20.04.2015
Размер:
4.02 Mб
Скачать

23.9. Упражнения и задачи

683

информационные критерии Акаике и Шварца. Сделайте вывод о том, являются ли ряды стационарными. Как полученный результат может повлиять на интерпретацию результатов упражнения 3.1?

3.3.Проверьте с помощью методов Энгла—Грейнджера и Йохансена, коинтегрированы ли ряды. Как полученный результат может повлиять на интерпретацию результатов упражнения 3.1?

Упражнение 4

В таблице 23.5 приведены поквартальные макропоказатели по Великобритании из обзорной статьи Мускателли и Хурна: M — величина денежной массы (агрегат M1 ); Y — общие конечные расходы на товары и услуги (TFE) в постоянных ценах (переменная, моделирующая реальные доходы); P — дефлятор TFE (индекс цен); R — ставка по краткосрочным казначейским векселям (переменная, соответствующая альтернативной стоимости хранения денег). Изучается связь между тремя переменными: ln M − ln P — реальная денежная масса (в логарифмах); ln Y — реальный доход (в логарифмах); R — процентная ставка.

4.1.Найдите ранг коинтеграции и коинтегрирующие вектора методом Йохансена, используя векторную модель исправления ошибок (VECM) с четырьмя разностями в правой части и с сезонными фиктивными переменными. Сделайте это при разных возможных предположениях о том, как входят в модель константа и тренд:

а) константа входит в коинтеграционное пространство, но не входит в модель исправления ошибок в виде дрейфа;

б) константа входит в коинтеграционное пространство, а также в модель исправления ошибок в виде дрейфа, так что данные содержат тренд;

в) тренд входит в коинтеграционное пространство, но данные не содержат квадратичный тренд.

4.2.С помощью тестов отношения правдоподобия определить, как должны входить в модель константа и тренд. Убедитесь в том, что случай 4.1а, который рассматривался в статье Мускателли и Хурна, отвергается тестами.

4.3.На основе найденного коинтегрирующего вектора оцените остальные коэффициенты VECM. Рассмотрите полученные коэффициенты модели и сделайте вывод о том, насколько они соответствуют экономической теории. (Подсказка: интерпретируйте коинтегрирующую комбинацию как уравнение спроса на деньги и обратите внимания на знак при ln Y ).

684

Глава 23. Векторные авторегрессии

Таблица 23.5. (Источник: Muscatelli, V.A., Hurn, S. Cointegration and Dynamic Time Series Models. Journal of Economic Surveys 6 (1992, No. 1), 1–43.)

Квартал

lnM

R

lnY

lnP

Квартал

lnM

R

lnY

lnP

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1963–1

8.8881

0.0351

10.678

–1.635

1974–1

9.5017

0.1199

11.068

–0.95787

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1963–2

8.9156

0.0369

10.746

–1.6189

1974–2

9.5325

0.1136

11.103

–0.89963

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1963–3

8.9305

0.0372

10.752

–1.6205

1974–3

9.5584

0.1118

11.125

–0.85112

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1963–4

8.9846

0.0372

10.789

–1.6028

1974–4

9.6458

0.1096

11.139

–0.8025

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1964–1

8.9584

0.0398

10.756

–1.6045

1975–1

9.6438

0.1001

11.066

–0.73806

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1964–2

8.9693

0.0436

10.8

–1.5843

1975–2

9.6742

0.0938

11.074

–0.6802

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1964–3

8.9911

0.0462

10.802

–1.5813

1975–3

9.7275

0.1017

11.088

–0.63297

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1964–4

9.0142

0.0547

10.838

–1.5677

1975–4

9.7689

0.1112

11.124

–0.59904

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1965–1

8.9872

0.0651

10.779

–1.5557

1976–1

9.787

0.0904

11.092

–0.56265

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1965–2

9.0005

0.0612

10.818

–1.5438

1976–2

9.8141

0.1019

11.105

–0.52675

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1965–3

9.0116

0.0556

10.832

–1.5408

1976–3

9.8641

0.1126

11.134

–0.49414

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1965–4

9.0506

0.0545

10.851

–1.5272

1976–4

9.8765

0.1399

11.172

–0.45642

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1966–1

9.0394

0.0556

10.814

–1.519

1977–1

9.8815

0.112

11.112

–0.41982

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1966–2

9.0336

0.0565

10.838

–1.5037

1977–2

9.9238

0.0772

11.122

–0.38322

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1966–3

9.0438

0.0658

10.849

–1.4964

1977–3

10.001

0.0655

11.14

–0.36159

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1966–4

9.0491

0.0662

10.86

–1.4845

1977–4

10.071

0.0544

11.177

–0.35041

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1967–1

9.0388

0.06

10.841

–1.4842

1978–1

10.097

0.0597

11.143

–0.32276

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1967–2

9.055

0.053

10.874

–1.4769

1978–2

10.117

0.0949

11.165

–0.29942

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1967–3

9.0975

0.0544

10.881

–1.4726

1978–3

10.168

0.0938

11.182

–0.27619

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1967–4

9.1326

0.0657

10.9

–1.4661

1978–4

10.223

0.1191

11.203

–0.25279

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1968–1

9.1029

0.074

10.89

–1.4459

1979–1

10.222

0.1178

11.159

–0.22607

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1968–2

9.1204

0.0714

10.901

–1.4285

1979–2

10.236

0.1379

11.215

–0.1898

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1968–3

9.1351

0.0695

10.929

–1.4141

1979–3

10.274

0.1382

11.221

–0.13856

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1968–4

9.1733

0.0666

10.961

–1.4044

1979–4

10.304

0.1649

11.242

–0.10048

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1969–1

9.1182

0.0718

10.891

–1.3898

1980–1

10.274

0.1697

11.199

–0.05655

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1969–2

9.0992

0.0783

10.932

–1.3825

1980–2

10.293

0.1632

11.171

–0.01134

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1969–3

9.1157

0.0782

10.943

–1.3697

1980–3

10.294

0.1486

11.187

0.02109

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1969–4

9.1744

0.0771

10.979

–1.3573

1980–4

10.343

0.1358

11.188

0.04439

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1970–1

9.1371

0.0754

10.905

–1.3368

1981–1

10.356

0.1187

11.144

0.06282

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1970–2

9.178

0.0689

10.962

–1.3168

1981–2

10.39

0.1224

11.144

0.09367

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1970–3

9.1981

0.0683

10.971

–1.2939

1981–3

10.407

0.1572

11.191

0.11541

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1970–4

9.2643

0.0682

11.017

–1.2791

1981–4

10.506

0.1539

11.206

0.13245

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1971–1

9.2693

0.0674

10.938

–1.2585

1982–1

10.501

0.1292

11.175

0.14663

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1971–2

9.2836

0.0567

10.99

–1.2345

1982–2

10.526

0.1266

11.172

0.1703

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1971–3

9.3221

0.0539

11.01

–1.2132

1982–3

10.551

0.1012

11.193

0.1829

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1971–4

9.3679

0.0452

11.044

–1.1992

1982–4

10.613

0.0996

11.22

0.19315

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1972–1

9.3742

0.0436

10.98

–1.1853

1983–1

10.639

0.1049

11.209

0.21273

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1972–2

9.4185

0.0459

11.025

–1.1707

1983–2

10.664

0.0951

11.195

0.2242

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1972–3

9.4356

0.0597

11.02

–1.1439

1983–3

10.675

0.0917

11.244

0.23412

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1972–4

9.4951

0.0715

11.1

–1.1282

1983–4

10.719

0.0904

11.268

0.24285

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1973–1

9.4681

0.0813

11.093

–1.1044

1984–1

10.754

0.0856

11.241

0.25738

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1973–2

9.5347

0.0754

11.102

–1.0913

1984–2

10.798

0.0906

11.233

0.27467

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1973–3

9.5119

0.1025

11.117

–1.0493

1984–3

10.827

0.1024

11.268

0.28672

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1973–4

9.5445

0.1162

11.141

–1.0048

1984–4

10.862

0.0933

11.317

0.29773

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.9. Упражнения и задачи

685

Задачи

1. Рассмотрите приведенную форму процесса VAR(1):

0.2

0.4

(xt, yt) = (xt−1, yt−1)

+ (vxt, vyt) ,

0.2

0

где ошибки vxt, vyt не автокоррелированы и их ковариационная матрица равна

10.5

.

0.5 4.25

а) Является ли процесс стационарным?

б) Найдите структурную форму модели (матрицу коэффициентов и ковариационную матрицу), если известно, что она является рекурсивной (yt входит в уравнение для xt, но xt не входит в уравнение для yt).

в) Найдите (матричный) долгосрочный мультипликатор.

2.Векторная регрессия с двумя переменными xt, yt задается следующими уравнениями:

xt = αxt−1 + βyt−1 + vt, yt = γxt−1 + δyt−1 + wt.

Ковариационная матрица ошибок vt, wt имеет вид:

1

ρ

Σ =

, где |ρ| < 1.

ρ

1

а) Запишите модель в матричном виде.

б) Представьте матрицу Σ в виде Σ = U U , где U — верхняя треугольная матрица, Ω — диагональная матрица с положительными диагональными элементами.

в) Умножьте уравнение модели справа на матрицу U . Что можно сказать о получившемся представлении модели?

г) Повторите задание, поменяв порядок переменных yt, xt. Сравните и сделайте выводы.

686

Глава 23. Векторные авторегрессии

3.Предположим, что темпы прироста объемов производства, yt, и денежной массы, mt, связаны следующими структурными уравнениями:

mt = αmt−1 + εmt,

yt = βmt + γmt−1 + δyt−1 + εyt,

где ошибки εmt, εyt не автокоррелированы, не коррелированы друг с другом, а их дисперсии равны σm2 и σy2 , соответственно.

а) Запишите структурные уравнения в стандартном матричном виде модели

SVAR.

б) Запишите модель в приведенной форме.

в) Какой вид имеет функция реакции на импульсы для монетарных шоков εmt и шоков производительности εyt ? Как эта функция связана с представлением модели в виде бесконечного скользящего среднего (разложением Вольда)?

г) Найдите (матричный) долгосрочный мультипликатор.

4. Рассмотрите двумерную векторную авторегрессию первого порядка:

π11

π12

+ (v1t, v2t) ,

(x1t, x2t) = (x1, t−1, x2, t−1)

 

π21

π22

 

где ошибки v1t, v2t являются белым шумом и независимы между собой.

а) При каких параметрах модель является рекурсивной? Объясните.

б) При каких параметрах x1t и x2t представляют собой два независимых случайных блуждания? Объясните.

в) Известно, что x1t не является причиной x2t в смысле Грейнджера. Какие ограничения этот факт накладывает на параметры?

5.Рассмотрите авторегрессию второго порядка: xt = ϕ1xt−1 + ϕ2xt−2 + εt , где ошибка εt представляет собой белый шум.

а) Обозначьте xt−1 = yt и запишите данную модель в виде векторной авторегрессии первого порядка для переменных xt и yt.

б) Чему равна ковариационная матрица одновременных ошибок в получившейся векторной авторегрессии?

в) Сопоставьте условия стационарности исходной модели AR(2) и полученной модели VAR(1).

23.9. Упражнения и задачи

687

6.Представьте векторную авторегрессию второго порядка в виде векторной авторегрессии первого порядка (с расшифровкой обозначений).

7.Рассмотрите двумерную модель VAR(1):

1

2

1

(x1t, x2t) = (x1, t−1, x2, t−1)Π + vt, где Π =

 

.

 

0

1 4

а) Найдите корни характеристического многочлена, соответствующего этой модели. Является ли процесс стационарным?

б) Найдите собственные числа матрицы Π. Как они связаны с корнями характеристического многочлена, найденными в пункте (a)?

8. Рассмотрите векторную авторегрессию первого порядка:

π11

π12

+ (v1t, v2t) .

(x1t, x2t) = (x1, t−1, x2, t−1)

 

π21

π22

 

При каких параметрах процесс является стационарным:

а) π11 = 1, π12 = 0.5, π21 = 0, π22 = 1; б) π11 = 0.3, π12 = 0.1, π21 = 0.1, π22 = 0.5; в) π11 = 2, π12 = 0, π21 = 1, π22 = 0.5;

г) π11 = 0.5, π12 = 1, π21 = 1, π22 = 0.5; д) π11 = 0.5, π12 = 1, π21 = 1, π22 = 0.5;

е) π11 = 0.3, π12 = 0.2, π21 = 0.2, π22 = 0.3?

Аргументируйте свой ответ.

9.В стране чудес динамика темпа прироста ВВП, yt, темпа прироста денежной массы M2, mt, и ставки процента, rt, описывается следующей моделью

688

Глава 23. Векторные авторегрессии

 

VAR(2):

 

 

 

 

 

 

 

 

0.7

0

0.9

 

 

(yt, mt, rt) = (2, 1, 0) + (yt−1, mt−1, rt−1)

0.1

0.4 0

+

 

 

 

0

0.1

0.8

 

 

+ (yt−2, mt−2, rt−2)

0.2

0

0

+ (vyt, vmt, vrt) ,

 

0

0.1 0

 

 

0

0.1

0

 

 

где ошибки vyt, vmt, vrt представляют собой белый шум.

а) Покажите, что все три переменные являются стационарными.

б) Найдите безусловные математические ожидания этих переменных. в) Запишите модель в виде векторной модели исправления ошибок.

10.Опишите поэтапно возможную процедуру построения прогнозов для векторной авторегрессии. Необходимо ли для построения прогноза знать ограничения, накладываемые структурной формой? (Объясните.) На каком этапе построения прогноза можно было бы учесть структурные ограничения?

11.Объясните различие между структурной и приведенной формой векторной авторегрессии. В чем причина того, что разложение дисперсии ошибки прогноза основывают на структурной форме, а не на приведенной форме?

12.Рассмотрите векторный процесс (xt, yt):

xt = xt−1 + εt,

yt = λxt + ϕyt−1 + ξt (λ = 0, |ϕ| < 1).

а) Покажите, что xt и yt являются коинтегрированными CI(1, 0). Укажите ранг коинтеграции и общий вид коинтегрирующих векторов.

б) Запишите процесс в виде векторной модели исправления ошибок. Укажите соответствующую матрицу корректирующих коэффициентов и матрицу коинтегрирующих векторов.

13.Пусть в векторной модели исправления ошибок константа входит в коинтеграционное пространство. Какие ограничения это налагает на параметры модели?

23.9. Упражнения и задачи

689

14.На примере векторной авторегрессии первого порядка с двумя переменными, коинтегрированными как CI(1, 0), покажите, что наличие константы (дрейфа) в коинтеграционном пространстве означает, что переменные содержат линейный тренд.

15.Пусть в векторной модели исправления ошибок

p−1

xt = xt−1Π + ∆xt−j Γj + vt

j=1

1 6 1

матрица Π =

2

4

2

.

 

 

3 2 1

Найдите ранг коинтеграции, матрицу коинтегрирующих векторов β и матрицу корректирующих коэффициентов α.

16.Объясните, почему процедура Йохансена позволяет не проверять переменные на наличие единичных корней.

17.Пусть в векторной модели исправления ошибок

p−1

xt = xt−1Π + ∆xt−j Γj + vt

j=1

коинтегрирующие векторы равны (1; 1; 0) и (1; 1; 1), а матрица корректирующих коэффициентов равна

1 0

α =

0

2

.

 

 

0 1

Найдите матрицу Π.

Рекомендуемая литература

1.Amisano Gianni, Carlo Giannini. Topics in Structural VAR Econometrics, 2nd ed. — Springer, 1997.

690

Глава 23. Векторные авторегрессии

2.Banerjee A., J.J. Dolado, J.W. Galbraith and D.F. Hendry, Co-integration, Error Correction and the Econometric Analysis of Non-stationary Data. — Oxford University Press, 1993. (Ch. 5, 8.)

3.Canova F. «VAR Models: Specification, Estimation, Inference and Forecasting» in H. Pesaran and M. Wickens (eds.) Handbook of Applied Econometrics. — Basil Blackwell, 1994.

4.Granger C. W. J. Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods. // Econometrica, 37 (1969), 424–438.

5.Greene W.H. Econometric Analysis. — Prentice-Hall, 2000. (Ch. 17, 18).

6.Hamilton, J. D. Time Series Analysis. — Princeton University Press, 1994. (Ch. 10, 11).

7.Johansen S. Estimation and Hypothesis Testing of Cointegration Vectors in Gaussian Vector Autoregressive Models. // Econometrica, 59 (1991), 1551–1580.

8.Lutkepohl Helmut. Introduction to Multiple Time Series Analysis, second edition. — Berlin: Springer, 1993. (Ch. 2, 10, 11).

9.Muscatelli V.A. and Hurn S. Cointegration and dynamic time series models. // Journal of Economic Surveys, 6 (1992), 1–43.

10.Sims C. A. Macroeconomics and Reality. // Econometrica, 48 (1980), 1–48.

11.Stock J.H. and Watson M.W. Testing for Common Trends. // Journal of the American Statistical Association, 83 (1988), 1097–1107.

12.Watson Mark W. Vector Autoregressions and Cointegration. // Handbook of Econometrics, Vol. IV. Robert Engle and Daniel McFadden, eds. Elsevier, 1994, 2844–2915.

13.Mills Terence C. Time Series Techniques for Economists. — Cambridge University Press, 1990. (Ch. 14).

14.Mills Terence C. The Econometric Financial Modelling Time Series. — Cambridge University Press, 1999. (Ch. 7, 8).

Приложение A

Вспомогательные сведения из высшей математики

A.1. Матричная алгебра

A.1.1. Определения

 

x1

 

x = {xi}i=1, ..., n =

.

 

.

называется вектор-столбцом размерности n.

.

xn

x = (x1, , . . . , xn) называется вектор-строкой размерности n.

 

a11

a12

. . . a1n

A = {aij } i=1, ..., m =

a21

a22

. . . a2n

.

.

.

j=1, ..., n

.

.

.

 

.

.

.

 

am1

am2

. . . amn

называется матрицей размерности m × n. 691

692Приложение A. Вспомогательные сведения из высшей математики

Сумма матриц A и B (m × n): C = A + B = {aij + bij }, C (m × n).

Произведение матриц A (m × n) и B (n × k): C = AB =

 

n

 

,

 

t=1 aitbtj

 

C (m × k).

 

 

 

 

 

 

 

 

Скалярное произведение вектор-столбцов

a

(

m × 1

) и

b

(

m × 1

):

a b =

m

 

 

 

 

 

aibi .

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

Квадратичная форма вектор-столбца x (m × 1) и матрицы A (m × m):

m

m

x Ax =

aij xixj .

i=1 j=1

Произведение матрицы A (m × n) на скаляр α: B = αA = {αaij },

B (m × n).

Транспонирование матрицы A (m × n): B = A = {aji}, B (n × m).

m

След матрицы A (m × m): tr (A) = aii.

i=1

Рангом (rank(A)) матрицы A называется количество линейно независимых столбцов (равное количеству линейно независимых строк). Матрица A (m × n) имеет полный ранг по столбцам, если rank(A) = n. Матрица A (m × n) имеет полный ранг по строкам, если rank(A) = m.

Матрица A (m × m) называется невырожденной (неособенной), если rank(A) = m. В противном случае она называется вырожденной.

Матрица A (m × m) называется

диагональной,

если aij = 0 при

i = j. Для диагональной матрицы

используется

обозначение A =

= diag(a11, . . . , amm).

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

· · ·

0

 

Матрица Im = diag(1, . . . , 1) =

0

1

· · ·

0

(m × m) называется

. .

.

.

 

.

 

. .

.

 

 

. .

 

 

. .

 

единичной.

0

0

· · ·

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица A (m × m) называется симметричной (симметрической), если

A = A .