ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Эконометрика. Учебник продвинутый (2005)
.pdf23.9. Упражнения и задачи |
683 |
информационные критерии Акаике и Шварца. Сделайте вывод о том, являются ли ряды стационарными. Как полученный результат может повлиять на интерпретацию результатов упражнения 3.1?
3.3.Проверьте с помощью методов Энгла—Грейнджера и Йохансена, коинтегрированы ли ряды. Как полученный результат может повлиять на интерпретацию результатов упражнения 3.1?
Упражнение 4
В таблице 23.5 приведены поквартальные макропоказатели по Великобритании из обзорной статьи Мускателли и Хурна: M — величина денежной массы (агрегат M1 ); Y — общие конечные расходы на товары и услуги (TFE) в постоянных ценах (переменная, моделирующая реальные доходы); P — дефлятор TFE (индекс цен); R — ставка по краткосрочным казначейским векселям (переменная, соответствующая альтернативной стоимости хранения денег). Изучается связь между тремя переменными: ln M − ln P — реальная денежная масса (в логарифмах); ln Y — реальный доход (в логарифмах); R — процентная ставка.
4.1.Найдите ранг коинтеграции и коинтегрирующие вектора методом Йохансена, используя векторную модель исправления ошибок (VECM) с четырьмя разностями в правой части и с сезонными фиктивными переменными. Сделайте это при разных возможных предположениях о том, как входят в модель константа и тренд:
а) константа входит в коинтеграционное пространство, но не входит в модель исправления ошибок в виде дрейфа;
б) константа входит в коинтеграционное пространство, а также в модель исправления ошибок в виде дрейфа, так что данные содержат тренд;
в) тренд входит в коинтеграционное пространство, но данные не содержат квадратичный тренд.
4.2.С помощью тестов отношения правдоподобия определить, как должны входить в модель константа и тренд. Убедитесь в том, что случай 4.1а, который рассматривался в статье Мускателли и Хурна, отвергается тестами.
4.3.На основе найденного коинтегрирующего вектора оцените остальные коэффициенты VECM. Рассмотрите полученные коэффициенты модели и сделайте вывод о том, насколько они соответствуют экономической теории. (Подсказка: интерпретируйте коинтегрирующую комбинацию как уравнение спроса на деньги и обратите внимания на знак при ln Y ).
23.9. Упражнения и задачи |
685 |
Задачи
1. Рассмотрите приведенную форму процесса VAR(1):
0.2 |
0.4 |
(xt, yt) = (xt−1, yt−1) |
+ (vxt, vyt) , |
0.2 |
0 |
где ошибки vxt, vyt не автокоррелированы и их ковариационная матрица равна
1−0.5
.
−0.5 4.25
а) Является ли процесс стационарным?
б) Найдите структурную форму модели (матрицу коэффициентов и ковариационную матрицу), если известно, что она является рекурсивной (yt входит в уравнение для xt, но xt не входит в уравнение для yt).
в) Найдите (матричный) долгосрочный мультипликатор.
2.Векторная регрессия с двумя переменными xt, yt задается следующими уравнениями:
xt = αxt−1 + βyt−1 + vt, yt = γxt−1 + δyt−1 + wt.
Ковариационная матрица ошибок vt, wt имеет вид:
1 |
ρ |
Σ = |
, где |ρ| < 1. |
ρ |
1 |
а) Запишите модель в матричном виде.
б) Представьте матрицу Σ в виде Σ = U ΩU , где U — верхняя треугольная матрица, Ω — диагональная матрица с положительными диагональными элементами.
в) Умножьте уравнение модели справа на матрицу U . Что можно сказать о получившемся представлении модели?
г) Повторите задание, поменяв порядок переменных yt, xt. Сравните и сделайте выводы.
686 |
Глава 23. Векторные авторегрессии |
3.Предположим, что темпы прироста объемов производства, yt, и денежной массы, mt, связаны следующими структурными уравнениями:
mt = αmt−1 + εmt,
yt = βmt + γmt−1 + δyt−1 + εyt,
где ошибки εmt, εyt не автокоррелированы, не коррелированы друг с другом, а их дисперсии равны σm2 и σy2 , соответственно.
а) Запишите структурные уравнения в стандартном матричном виде модели
SVAR.
б) Запишите модель в приведенной форме.
в) Какой вид имеет функция реакции на импульсы для монетарных шоков εmt и шоков производительности εyt ? Как эта функция связана с представлением модели в виде бесконечного скользящего среднего (разложением Вольда)?
г) Найдите (матричный) долгосрочный мультипликатор.
4. Рассмотрите двумерную векторную авторегрессию первого порядка:
π11 |
π12 |
+ (v1t, v2t) , |
(x1t, x2t) = (x1, t−1, x2, t−1) |
|
|
π21 |
π22 |
|
где ошибки v1t, v2t являются белым шумом и независимы между собой.
а) При каких параметрах модель является рекурсивной? Объясните.
б) При каких параметрах x1t и x2t представляют собой два независимых случайных блуждания? Объясните.
в) Известно, что x1t не является причиной x2t в смысле Грейнджера. Какие ограничения этот факт накладывает на параметры?
5.Рассмотрите авторегрессию второго порядка: xt = ϕ1xt−1 + ϕ2xt−2 + εt , где ошибка εt представляет собой белый шум.
а) Обозначьте xt−1 = yt и запишите данную модель в виде векторной авторегрессии первого порядка для переменных xt и yt.
б) Чему равна ковариационная матрица одновременных ошибок в получившейся векторной авторегрессии?
в) Сопоставьте условия стационарности исходной модели AR(2) и полученной модели VAR(1).
23.9. Упражнения и задачи |
687 |
6.Представьте векторную авторегрессию второго порядка в виде векторной авторегрессии первого порядка (с расшифровкой обозначений).
7.Рассмотрите двумерную модель VAR(1):
1 |
2 |
1 |
(x1t, x2t) = (x1, t−1, x2, t−1)Π + vt, где Π = |
|
. |
|
0 |
1 4 |
а) Найдите корни характеристического многочлена, соответствующего этой модели. Является ли процесс стационарным?
б) Найдите собственные числа матрицы Π. Как они связаны с корнями характеристического многочлена, найденными в пункте (a)?
8. Рассмотрите векторную авторегрессию первого порядка:
π11 |
π12 |
+ (v1t, v2t) . |
(x1t, x2t) = (x1, t−1, x2, t−1) |
|
|
π21 |
π22 |
|
При каких параметрах процесс является стационарным:
а) π11 = 1, π12 = 0.5, π21 = 0, π22 = 1; б) π11 = 0.3, π12 = 0.1, π21 = −0.1, π22 = 0.5; в) π11 = 2, π12 = 0, π21 = 1, π22 = 0.5;
г) π11 = 0.5, π12 = −1, π21 = 1, π22 = 0.5; д) π11 = 0.5, π12 = −1, π21 = 1, π22 = 0.5;
е) π11 = 0.3, π12 = −0.2, π21 = 0.2, π22 = 0.3?
Аргументируйте свой ответ.
9.В стране чудес динамика темпа прироста ВВП, yt, темпа прироста денежной массы M2, mt, и ставки процента, rt, описывается следующей моделью
688 |
Глава 23. Векторные авторегрессии |
|||||
|
VAR(2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.7 |
0 |
0.9 |
|
|
(yt, mt, rt) = (2, 1, 0) + (yt−1, mt−1, rt−1) |
0.1 |
0.4 0 |
+ |
||
|
|
|
0 |
0.1 |
0.8 |
|
|
+ (yt−2, mt−2, rt−2) |
−0.2 |
0 |
0 |
+ (vyt, vmt, vrt) , |
|
|
0 |
0.1 0 |
||||
|
|
0 |
0.1 |
0 |
|
|
где ошибки vyt, vmt, vrt представляют собой белый шум.
а) Покажите, что все три переменные являются стационарными.
б) Найдите безусловные математические ожидания этих переменных. в) Запишите модель в виде векторной модели исправления ошибок.
10.Опишите поэтапно возможную процедуру построения прогнозов для векторной авторегрессии. Необходимо ли для построения прогноза знать ограничения, накладываемые структурной формой? (Объясните.) На каком этапе построения прогноза можно было бы учесть структурные ограничения?
11.Объясните различие между структурной и приведенной формой векторной авторегрессии. В чем причина того, что разложение дисперсии ошибки прогноза основывают на структурной форме, а не на приведенной форме?
12.Рассмотрите векторный процесс (xt, yt):
xt = xt−1 + εt,
yt = λxt + ϕyt−1 + ξt (λ = 0, |ϕ| < 1).
а) Покажите, что xt и yt являются коинтегрированными CI(1, 0). Укажите ранг коинтеграции и общий вид коинтегрирующих векторов.
б) Запишите процесс в виде векторной модели исправления ошибок. Укажите соответствующую матрицу корректирующих коэффициентов и матрицу коинтегрирующих векторов.
13.Пусть в векторной модели исправления ошибок константа входит в коинтеграционное пространство. Какие ограничения это налагает на параметры модели?
23.9. Упражнения и задачи |
689 |
14.На примере векторной авторегрессии первого порядка с двумя переменными, коинтегрированными как CI(1, 0), покажите, что наличие константы (дрейфа) в коинтеграционном пространстве означает, что переменные содержат линейный тренд.
15.Пусть в векторной модели исправления ошибок
p−1
∆xt = xt−1Π + ∆xt−j Γj + vt
j=1
1 6 1
матрица Π = |
2 |
4 |
2 |
. |
|
|
3 2 1
Найдите ранг коинтеграции, матрицу коинтегрирующих векторов β и матрицу корректирующих коэффициентов α.
16.Объясните, почему процедура Йохансена позволяет не проверять переменные на наличие единичных корней.
17.Пусть в векторной модели исправления ошибок
p−1
∆xt = xt−1Π + ∆xt−j Γj + vt
j=1
коинтегрирующие векторы равны (1; −1; 0) и (1; 1; 1), а матрица корректирующих коэффициентов равна
1 0
α = |
0 |
2 |
. |
|
|
0 −1
Найдите матрицу Π.
Рекомендуемая литература
1.Amisano Gianni, Carlo Giannini. Topics in Structural VAR Econometrics, 2nd ed. — Springer, 1997.
690 |
Глава 23. Векторные авторегрессии |
2.Banerjee A., J.J. Dolado, J.W. Galbraith and D.F. Hendry, Co-integration, Error Correction and the Econometric Analysis of Non-stationary Data. — Oxford University Press, 1993. (Ch. 5, 8.)
3.Canova F. «VAR Models: Specification, Estimation, Inference and Forecasting» in H. Pesaran and M. Wickens (eds.) Handbook of Applied Econometrics. — Basil Blackwell, 1994.
4.Granger C. W. J. Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods. // Econometrica, 37 (1969), 424–438.
5.Greene W.H. Econometric Analysis. — Prentice-Hall, 2000. (Ch. 17, 18).
6.Hamilton, J. D. Time Series Analysis. — Princeton University Press, 1994. (Ch. 10, 11).
7.Johansen S. Estimation and Hypothesis Testing of Cointegration Vectors in Gaussian Vector Autoregressive Models. // Econometrica, 59 (1991), 1551–1580.
8.Lutkepohl Helmut. Introduction to Multiple Time Series Analysis, second edition. — Berlin: Springer, 1993. (Ch. 2, 10, 11).
9.Muscatelli V.A. and Hurn S. Cointegration and dynamic time series models. // Journal of Economic Surveys, 6 (1992), 1–43.
10.Sims C. A. Macroeconomics and Reality. // Econometrica, 48 (1980), 1–48.
11.Stock J.H. and Watson M.W. Testing for Common Trends. // Journal of the American Statistical Association, 83 (1988), 1097–1107.
12.Watson Mark W. Vector Autoregressions and Cointegration. // Handbook of Econometrics, Vol. IV. Robert Engle and Daniel McFadden, eds. Elsevier, 1994, 2844–2915.
13.Mills Terence C. Time Series Techniques for Economists. — Cambridge University Press, 1990. (Ch. 14).
14.Mills Terence C. The Econometric Financial Modelling Time Series. — Cambridge University Press, 1999. (Ch. 7, 8).
Приложение A
Вспомогательные сведения из высшей математики
A.1. Матричная алгебра
A.1.1. Определения
|
x1 |
|
x = {xi}i=1, ..., n = |
. |
|
. |
называется вектор-столбцом размерности n. |
|
. |
xn
x = (x1, , . . . , xn) называется вектор-строкой размерности n.
|
a11 |
a12 |
. . . a1n |
A = {aij } i=1, ..., m = |
a21 |
a22 |
. . . a2n |
. |
. |
. |
|
j=1, ..., n |
. |
. |
. |
|
. |
. |
. |
|
am1 |
am2 |
. . . amn |
называется матрицей размерности m × n. 691
692Приложение A. Вспомогательные сведения из высшей математики
◦Сумма матриц A и B (m × n): C = A + B = {aij + bij }, C (m × n).
◦ Произведение матриц A (m × n) и B (n × k): C = AB = |
|
n |
|
, |
||||||
|
t=1 aitbtj |
|||||||||
|
C (m × k). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
◦ |
Скалярное произведение вектор-столбцов |
a |
( |
m × 1 |
) и |
b |
( |
m × 1 |
): |
|
a b = |
m |
|
|
|
|
|||||
|
aibi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1
◦ Квадратичная форма вектор-столбца x (m × 1) и матрицы A (m × m):
m |
m |
x Ax = |
aij xixj . |
i=1 j=1
◦ Произведение матрицы A (m × n) на скаляр α: B = αA = {αaij },
B (m × n).
◦Транспонирование матрицы A (m × n): B = A = {aji}, B (n × m).
m
◦ След матрицы A (m × m): tr (A) = aii.
i=1
◦Рангом (rank(A)) матрицы A называется количество линейно независимых столбцов (равное количеству линейно независимых строк). Матрица A (m × n) имеет полный ранг по столбцам, если rank(A) = n. Матрица A (m × n) имеет полный ранг по строкам, если rank(A) = m.
◦Матрица A (m × m) называется невырожденной (неособенной), если rank(A) = m. В противном случае она называется вырожденной.
◦ Матрица A (m × m) называется |
диагональной, |
если aij = 0 при |
|||||
i = j. Для диагональной матрицы |
используется |
обозначение A = |
|||||
= diag(a11, . . . , amm). |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
· · · |
0 |
|
||
◦ Матрица Im = diag(1, . . . , 1) = |
0 |
1 |
· · · |
0 |
(m × m) называется |
||
. . |
. |
. |
|
. |
|||
|
. . |
. |
|
||||
|
. . |
|
|
. . |
|
||
единичной. |
0 |
0 |
· · · |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
◦Матрица A (m × m) называется симметричной (симметрической), если
A = A .