ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Эконометрика. Учебник продвинутый (2005)

Обычно S0 = (−∞, s ] и S1 = (s , +∞), где s — критическая граница. Такой критерий называется односторонним. При этом критерий состоит в следующем:

если s < s , то H0 принимается, если s > s , то H0 отвергается.

S0 и S1 выбираются так, чтобы в случае, когда H0 верна, вероятность того, что s S1 , была бы равна некоторой заданной малой вероятности α. Как правило, на практике используют вероятность α = 0.05 (хотя это не имеет под собой какихлибо теоретических оснований).

Ошибкой первого рода называется ошибка, состоящая в том, что отвергается верная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки первого рода равна α. Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости или размером. Вероятность 1 − α называют уровнем доверия.

Ошибкой второго рода называется ошибка, состоящая в том, что принимается неверная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают β.

Мощностью критерия называют величину 1 −β. Мощность характеризует, насколько хорошо работает критерий. Мощность должна быть как можно большей при данном α. Требуется, по крайней мере, чтобы α < 1 − β. Критерий, не удовлетворяющий этому условию, называют смещенным.

Альтернативный способ проверки гипотез использует вероятность ошибки первого рода, если принять s равной s, т.е. вероятность того, что s > s . Эту вероятность называют уровнем значимости или P-значением. Обозначим ее pv. При заданной вероятности α критерий состоит в следующем:

если pv > α, то H0 принимается, если pv < α, то H0 отвергается.

Еще один способ проверки гипотез основан на доверительных областях для параметра θ. Пусть D — доверительная область для параметра θ, такая что θ D с некоторой веротностью 1 − α, и пусть проверяется гипотеза H0 : θ = θ0 против альтернативной гипотезы H1 : θ = θ0. Критерий состоит в следующем:

если θ0 D, то H0 принимается, если θ0 / D, то H0 отвергается.

Отметим, что в этом случае θ0 не случайная величина; случайной является доверительная область D.

714 Приложение A. Вспомогательные сведения из высшей математики

A.4. Линейные конечно-разностные уравнения

Конечно-разностное уравнение p-го порядка имеет вид:

α0yt + α1yt−1 + · · · + αpyt−p = ut,

где ut — известная последовательность, α0, α1, . . . , αp — известные коэффициенты, а последовательность yt следует найти. Это уравнение также можно записать через лаговый многочлен:

α (L) yt = α0 + α1L + α2L2 + · · · + αpLp yt = ut,

где L — лаговый оператор (Lyt = yt−1 ).

Если даны p последовательных значений последовательности yt, например, y1, . . . , yp, то другие значения можно найти по рекуррентной формуле. При t > p получаем

1

yt = α0 (ut − (α1yt−1 + · · · + αpyt−p)) .

Конечно-разностное уравнение называется однородным, если ut = 0. Общее решение конечно-разностного уравнения имеет вид:

yt = yt0 + y˜t,

где yt0 — общее решение соответствующего однородного уравнения, а y˜t = α−1 (L) ut — частное решение неоднородного уравнения.

A.4.1. Решение однородного конечно-разностного уравнения

Если λj , j = 1, . . . , p — корни характеристического уравнения

α (λ) = α0 + α1λ + α2λ2 + · · · + αpλp = 0,

p

тогда α (λ) = α0 (1 − λ/λj ).

j=1

Последовательность yt(j) = λ−j t является решением однородного конечноразностного уравнения. Действительно, в разложении α (L) на множители имеется множитель 1 − L/λj и

(1 − L/λj ) yt(j) = (1 − L/λj ) λ−j t = λ−j t − Lλ−j t−1 = λ−j t − λ−j t = 0.

Если все корни λj , j = 1, . . . , p различные, то общее решение однородного конечно-разностного уравнения имеет вид:

yt0 = C1yt(1) + . . . + Cpyt(p) = C1λ−1 t + . . . + Cpλ−p t.

Если не все корни различны, то для корня λj кратности m соответствующее слагаемое имеет вид C1j + C2j t + . . . + Cmj tm−1 λ−j t.

Если λ1 и λ2 — пара комплексно-сопряженных корней, т.е.

Если известны p значений последовательности yt0, например, y10, . . . , yp0 , то коэффициенты Cj , Cjk , A, B находятся из решения системы p линейных уравнений. Например, если все корни λj , j = 1, . . . , p различны, то коэффициенты Cj находятся из системы уравнений

A.5. Комплексные числа

Комплексным числом z называется пара (a, b), где a— действительная часть,

718 Приложение B. Статистические таблицы

Таблица А.1. Значения функции плотности стандартного нормального распределения

719

Распределение t-Cтьюдента

Pr(t > tk,1−θ) = θ

Границы t-распределения с k степенями свободы tk,1−θ

θ = 0.025

k = 5 2.5%, t0.975 = 2.571

Распределение t Стьюдента

Рис. B.2График плотности распределения t-Стьюдента для k = 5

721

Распределение хи-квадрат ( χ2)

Pr(χ2 > χ2k,1−θ) = θ.

Границы χ2 -распределения с k степенями свободы χ2k,1−θ .

θ = 0.05

k = 5 5% , χ0.95 = 11.07

Распределение хи-квадрат (χ2)

5%

Рис. B.3График плотности распределения χ2 для k =5