ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Эконометрика. Учебник продвинутый (2005)

704Приложение A. Вспомогательные сведения из высшей математики

•Математическим ожиданием непрерывной случайной величины x называ-

•Математическое ожидание является начальным моментом первого порядка. Начальным (нецентральным) моментом q-го порядка называется

E(xq ) = +∞ tq fx(t)dt.

−∞

•По случайной величине x может быть построена соответствующая ей центрированная величина xˆ : xˆ = x − E(x), имеющая аналогичные законы распределения и нулевое математическое ожидание.

•Центральным моментом q-го порядка случайной величины x называется на-

чальный момент q-го порядка для соответствующей центрированной величины xˆ, т.е. E(ˆxq ) = E [(x − E(x))q ]. Для непрерывной случайной величины центральный момент q-го порядка равен

+∞

µq = (t − E(x))q fx(t)dt.

−∞

•Дисперсией случайной величины называется центральный момент второго порядка. Для непрерывной случайной величины дисперсия равна

•Среднеквадратическим отклонением называется квадратный корень из дисперсии σx = σx2 . Нормированной (стандартизованной) случайной величи-

ной называется x − E(x) .

σx

•Коэффициентом асимметрии называется начальный момент третьего порядка нормированной случайной величины, т.е.

•Куртозисом называется начальный момент четвертого порядка нормированной случайной величины, т.е.

Коэффициентом эксцесса называется δ4 − 3.

•Для n-мерного случайного вектора x = (x1, . . . , xn) (многомерной случайной величины) функцией распределения называется

Fx1, ..., xn (z1, . . . , zn) = Pr(x1 z1, . . . , xn zn).

•Если распределение случайного вектора x непрерывно, то он имеет плотность fx(·) (называемую совместной плотностью случайных величин x1, . . . , xn), которая связана с функцией распределения соотношениями

fx1, ..., xn (z) = ∂nFx1, ..., xn (z) .

Случайные величины x1, . . . , xn называются независимыми (в совокупности), если Fx1, ..., xn (z1, . . . , zn) = Fx1 (z1) · · · Fxn (zn).

• Ковариацией случайных величин x и y называется cov(x, y) = E [(x − E(x)) (y − E(y))] .

cov(x, y)

• Корреляцией случайных величин x и y называется ρx,y = . var(x)var(x)

•Ковариационной матрицей n-мерной случайной величины x = (x1, . . . , xn) называется

= E (x − E(x)) (x − E(x)) .

•Корреляционной матрицей n-мерной случайной величины x = (x1, . . . , xn) называется

• Если случайные величины x1, . . . , xn независимы, то

fx1, ..., xn (z1, . . . , zn) = fx1 (z1) · . . . · fxn (zn).

Математическое ожидание

•Если c — константа, то E(c) = c.

•Если x и y — любые две случайные величины, то

E(x + y) = E(x) + E(y).

•Если c — константа, то E(cx) = cE(x).

•В общем случае E(xy) = E(x)E(y).

•Если функция f (·) вогнута, то выполнено неравенство Йенсена:

E (f (x)) f (E(x)) .

• Для симметричного распределения выполено E(x) = x0,5 .

Дисперсия

•var(x) = E(x2) − E(x)2 .

•Для любой случайной величины x выполнено var(x) 0.

•Если c — константа, то выполнено: var(c) = 0; var(c + x) = var(x); var(cx) = c2var(x).

•Если x и y — любые две случайные величины, то в общем случае:

var(x + y) = var(x) + var(y).

• Неравенство Чебышёва: Pr (|x − E(x)| > α) var(x) для любого поло-

жительного числа α.

α2

Ковариация

•cov(x, y) = E (xy) − E(x)E(y).

•cov(x, y) = cov(y, x).

•cov(cx, y) = c · cov(x, y).

•cov(x + y, z) = cov(x, z) + cov(y, z).

•cov(x, x) = var(x).

•Если x и y независимы, то cov(x, y) = 0. Обратное, вообще говоря, неверно.

щие центрированные нормированные случайные величины. Следовательно, свойства корреляции аналогичны свойствам ковариации.

•ρx,x = 1.

•−1 ρx,y 1.

•Если ρx,y = 0, то E (xy) = E(x)E(y).

708 Приложение A. Вспомогательные сведения из высшей математики

Условные распределения

•Условной вероятностью события A относительно события B называется

Pr(A|B) = Pr(A ∩ B)/ Pr(B).

Из определения следует, что Pr(A ∩ B) = Pr(A|B) Pr(B) = Pr(B|A) Pr(A).

• Для независимых событий A и B выполнено Pr(A|B) = Pr(A).

• Теорема Байеса: Пусть A1, . . . , An, B — события, такие что

• Пусть (x, y) — случайный вектор, имеющий непрерывное распределение, где вектор x имеет размерность m × 1, а y — n × 1. Плотностью маргинального распределения x называется fx(x) = fx,y(x, y)dy. Плотно-

Rm

• Если x и y независимы, то плотность условного распределения совпадает

с плотностью маргинального, т.е. fx|y(x|y) = fx(x).

•Условным математическим ожиданием x относительно y называется

E (x|y) = xfx|y(x|y)dx.

Rm

• Условная дисперсия x относительно y равна

var (x|y) = E (x − E (x|y))2 |y .

712Приложение A. Вспомогательные сведения из высшей математики

•Если x N 0, A (A A)−1 A , где A (n × k) — матрица, имеющая пол-

ный ранг по столбцам, то x x χ2k . Если x N 0, I − A (A A)−1 A , где A (n × k) — матрица, имеющая полный ранг по столбцам, то

•Если совместное распределение случайных векторов x и y является многомерным нормальным:

то маргинальное распределение x имеет вид x N (µx, Σxx), а условное распределение x относительно y имеет вид

Аналогично y N (µy , Σyy ) и

A.3.3. Проверка гипотез

Пусть x1, . . . , xn — случайная выборка из распределения Fθ , заданного параметром θ Θ.

Нулевая гипотеза H0 относительно параметра θ состоит в том, что он принадлежит некоторому более узкому множеству: θ Θ0 , где Θ0 Θ. Альтернативная гипотеза H1 состоит в том, что параметр принадлежит другому множеству: θ Θ1 , где Θ1 = Θ\Θ0. Рассматривается некоторая статистика s, которая является функцией от выборки: s = s(x1, . . . , xn). Процедуру (правило) проверки гипотезы называют статистическим критерием или статистическим тестом. Суть проверки гипотезы H0 против альтернативной гипотезы H1 состоит в том, что задаются две непересекающиеся области, S0 и S1 , такие что S0 ∩S1 — вся область значений статистики s. Если s S0 , то нулевая гипотеза (H0 ) принимается, а если s S1, то нулевая гипотеза отвергается.