ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Эконометрика. Учебник продвинутый (2005)

2.Davidson R., MacKinnon J.G. Estimation and Inference in Econometrics. — Oxford University Press, 1993. (Ch. 15).

3.Greene W.H. Econometric Analysis. — Prentice-Hall, 2000. (Ch. 8, 19).

4.Maddala G.S. Limited-Dependent and Qualitative Variables in Econometrics, Cambridge University Press, 1983. (Ch. 2, 3, 5).

5.Wooldridge Jeffrey M. Introductory Econometrics: A Modern Approach, 2nd ed. — Thomson, 2003. (Ch. 17).

6.Baltagi, Badi H. Econometrics, 2nd edition, Springer, 1999 (Ch. 13).

7.Ruud Paul A. An Introduction to Classical Econometric Theory, Oxford University Press, 2000 (Ch. 27).

Глава 22

Эффективные оценки параметров модели ARMA

В главе 14 «Линейные стохастические модели ARIMA» были рассмотрены два метода оценки параметров моделей ARMA: линейная регрессия для оценивания авторегрессий и метод моментов для общей модели ARMA. Эти методы не обеспечивают эффективность оценок параметров модели. Можно предложить способы оценивания, которые дают более точные оценки. Для этого можно использовать метод максимального правдоподобия. Рассмотрению этого метода и посвящена данная глава.

22.1. Оценки параметров модели AR(1)

Рассмотрим только случай модели AR(1): xt = εt + ϕxt−1, t = 1, . . . , T, на примере которого хорошо видна и общая ситуация.

Чтобы воспользоваться методом максимума правдоподобия, вычислим плотности распределения вероятности наблюдений x1, x2, . . . , xT :

f (x1, . . . , xT ) = f (x1) · f (x2|x1) · f (x3|x2) · . . . · f (xT |xT −1).

Предположим, что условное распределения xt при известном xt−1 нормально. В соответствии с моделью AR(1) это распределение имеет среднее ϕxt−1 и дис-

обойтись, соглашаясь с незначительными потерями точности оценки, но сильно сокращая объем вычислений. Этим обстоятельством объясняется использование МНК-оценок.

22.2. Оценка параметров модели MA(1)

Продемонстрировать общий метод оценивания модели MA(p) можно, рассматривая простейший случай модели MA(1): xt = εt − θεt−1.

Отталкиваясь от наблюдений x1, x2, . . . , xT , воспользуемся методом максимального правдоподобия (ММП). Для этого необходимо вычислить для модели функцию плотности распределения вероятности. Это легче всего сделать, перейдя от последовательности xt к последовательности εt.

x1 = ε1 − θε0 ε1 = x1 + θε0,

x2 = ε2 − θε1 x2 = ε2 − θx1 − θ2ε0 ε2 = x2 + θx1 + θ2ε0

и так далее.

Будем полагать, что εt — последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое нормальное распределение со средним 0 и дисперсией σε2 .

Плотность распределения вероятности записывается в виде

Метод максимального правдоподобия заключается в нахождении такого значения θ, при котором достигается максимум (22.2), или, что эквивалентно, достигает минимума сумма квадратов

t=0

Необходимо рассмотреть теперь проблему определения величины ε0 . Первый

подход — положить ε0 = 0. Тогда требуется минимизировать x Q QX → min!

θ

Эта нелинейная задача решается разными вычислительными методами. Полученные таким путем решения называется условным МНК-решением, а θ =

= arg min x Q QX — условной МНК-оценкой.

θ

При втором подходе величина ε0 вместе с θ входит в число подлежащих минимизации свободных параметров. Так как величина ε0 входит в выражение для εt линейно, то можно частично облегчить оптимизационную процедуру, поставив вме-

Небольшой дополнительный анализ приводит к точным ММП-оценкам.

Обозначим ˜ ˜ . Функцию правдоподобия можно представить в виде

1 + θ θ = K

f (ε0, . . . , εT ) = f (ε0, x1, . . . , xT ) =

22.3. Оценки параметров модели ARMA(p, q)

Рассмотрим модели ARMA(p, q) ряда {xt}:

xt − ϕ1xt−1 − · · · − ϕpxt−p = εt − θ1εt−1 − · · · − θq εt−q .

Будем полагать, что εt — последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое нормальное распределение со средним 0 и дисперси-

Так как x NT (0, Γ), то логарифмическая функция правдоподобия процесса