ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Эконометрика. Учебник продвинутый (2005)

Весовые коэффициенты для полиномов 2–5 степени и длины отрезка скольжения от 5 до 9 представлены в таблице 12.1.

Таблица 12.1. Фрагмент таблицы Каудена для весов βt

394 Глава 12. Сглаживание временного ряда

Метод скользящих средних в матричной форме

Введем следующие обозначения:

В краткой записи эта система выглядит как

M a = c,

где матрица M — известна, кроме того, ее элементы с нечетными индексами равны нулю, вектор c также известен.

Из полученной системы следует

a = M −1c.

Теперь можно использовать формулу Крамера для нахождения ak :

ak = det Mk+1 , det M

и каждый из этих коэффициентов получается как взвешенная средняя из уровней временного ряда, входящих в отрезок.

Оценки параметров a1, a2, . . . , ap необходимы для вычисления значений тренда в первых m и последних m точках временного ряда, поскольку рассмотренный способ сглаживания ряда через a0 сделать это не позволяет.

Размерность матрицы M определяется степенью полинома: (p + 1) × (p + 1), пределы суммирования во всех формулах задаются длиной отрезка скольжения. Следовательно, для выбранных значений p и m можно получить общее решение в виде вектора (a0, a1, . . . , ap) .

Свойства скользящих средних

Действительно, пусть все значения временного ряда равны одной и той же

2. Веса симметричны относительно нулевого значения t, т.е. βt = β−t

Это следует из того, что весовые коэффициенты при каждом xt зависят от tj ,

аj принимает только четные значения.

3.Для полиномов четного порядка p = 2k формулы расчета a0 будут теми же самыми, что и для полиномов нечетного порядка p = 2k + 1.

Пусть p = 2k + 1, тогда матрица коэффициентов системы (12.3) при неизвестных параметрах a0, a1, . . . , ap будет выглядеть следующим образом:

Для нахождения a0 используются уравнения с четными степенями t при a0 , следовательно, половина строк матрицы, включая последнюю, в расчетах участвовать не будет.

В этом блоке матрицы, содержащем коэффициенты при a0, a2, a4, . . . , последний столбец состоит из нулей, так как его элементы — суммы нечетных степеней t. Таким образом, уравнения для нахождения a0 при нечетном значении p = 2k + 1 в точности совпадают с уравнениями, которые надо решить для нахождения a0 при меньшем на единицу четном значении p = 2k:

4. Оценки параметров a1, . . . , ap тоже выражены в виде линейной комбинации уровней временного ряда, входящих в отрезок, но весовые коэффициенты в этих формулах в сумме равны нулю и не симметричны.

Естественным образом возникает вопрос, какой степени полином следует выбирать и какой должна быть длина отрезка скольжения. Закономерность такова: чем выше степень полинома и короче отрезок скольжения, тем ближе расчетные

398 Глава 12. Сглаживание временного ряда

значения к первоначальным данным. При этом, помимо тенденции могут воспроизводиться и случайные колебания, нарушающие ее смысл. И наоборот, чем ниже степень полинома и чем длиннее отрезок скольжения, тем более гладкой является сглаживающая кривая, тем в большей мере она отвечает свойствам тенденции, хотя ошибка аппроксимации будет при этом выше.

В принципе, если ставится задача выявления тренда, то, с учетом особенностей покомпонентного разложения временного ряда, следует ориентироваться не на минимальную остаточную дисперсию, а на стационарность остатков, получающихся после исключения тренда.

12.2. Экспоненциальное сглаживание

Кроме метода скользящей средней как способа фильтрации временного ряда известностью пользуется экспоненциальное сглаживание, в основе которого лежит

j=0

t — количество уровней ряда, s0 — некоторая величина, характеризующая начальные условия для первого применения формулы (12.4) при t = 1. В качестве s0 можно использовать первое значение временного ряда, т.е. x1 .

Так как β < 1, то при t → ∞ величина βt → 0, а сумма коэффициентов

t−1

αβj → 1.

j=0

Действительно,

Тогда последним слагаемым в формуле (12.5) можно пренебречь и

∞∞

Таким образом, величина st оказывается взвешенной суммой всех уровней ряда, причем веса уменьшаются экспоненциально, по мере углубления в историю процесса, отсюда название — экспоненциальная средняя.

Несложно показать, что экспоненциальная средняя имеет то же математическое ожидание, что и исходный временной ряд, но меньшую дисперсию.

Что касается параметра сглаживания α, то чем ближе α к единице, тем менее ощутимо расхождение между сглаженным рядом и исходным. И наоборот, чем меньше α, тем в большей степени подавляются случайные колебания ряда и отчетливее вырисовывается его тенденция. Экспоненциальное сглаживание можно представить в виде фильтра, на вход которого поступают значения исходного временного рядя, а на выходе формируется экспоненциальная средняя.

Использование экспоненциальной средней в качестве инструмента выравнивания временного ряда оправдано в случае стационарных процессов с незначительным сезонным эффектом. Однако многие процессы содержат тенденцию, сочетающуюся с ярко выраженными сезонными колебаниями.

Довольно эффективный способ описания таких процессов — адаптивные сезонные модели, основанные на экспоненциальном сглаживании. Особенность адаптивных сезонных моделей заключается в том, что по мере поступления новой информации происходит корректировка параметров модели, их приспособление, адаптация к изменяющимся во времени условиям развития процесса.

Выделяют два вида моделей, которые можно изобразить схематично:

1. Модель с аддитивным сезонным эффектом, предложенная Тейлом и Вейджем (Theil H., Wage S.):

где ft отражает тенденцию развития процесса, gt, gt−1, . . . , gt−k+1 — аддитивные коэффициенты сезонности; k — количество опорных временных интервалов (фаз) в полном сезонном цикле; εt — белый шум.

2. Модель с мультипликативным сезонным эффектом, разработанная Уинтерсом (Winters P.R.):

где mt, mt−1, . . . , mt−k+1 — мультипликативные коэффициенты сезонности.

402 Глава 12. Сглаживание временного ряда

Рассмотрим для иллюстрации модель Уинтерса с аддитивным ростом и мульти-

ct = αc(ft − ft−1) + (1 − αc)ct−1.

Расчетные значения исследуемого показателя на каждом шаге, после обновления параметров ft, mt и ct , получаются как произведение ft · mt.

Прежде чем воспользоваться полной схемой экспоненциального сглаживания (12.8), а сделать это можно начиная с момента t = k + 1, необходимо получить начальные, отправные значения перечисленных параметров.

Для этого с помощью МНК можно оценить коэффициенты f1 и c1 регрессии: xt = f1 + c1t + εt,

и на первом сезонном цикле (для t = 1, . . . , k) адаптацию параметров произвести по усеченному варианту:

ft = αf xt + (1 − αf )ft−1,

mt = xt , t = 1, . . . , k, ft

ct = αc(ft − ft−1) + (1 − αc)ct−1, gt = xt − ft.

Задача оптимизации модели сводится к поиску наилучших значений параметров αf , αm, αc, выбор которых определяется целями исследования и характером моделируемого процесса. Уинтерс предлагает находить оптимальные уровни этих коэффициентов экспериментальным путем, с помощью сетки значений αf , αm, αc (например, (0, 1; 0, 1; 0, 1), (0, 1; 0, 1; 0, 2), . . . ). В качестве критерия сравнения вариантов рекомендуется стандартное отклонение ошибки.

12.3. Упражнения и задачи

Упражнение 1

1.1.Сгенерируйте 20 рядов по 100 наблюдений на основе полиномиального тренда τt = 5 + 4t − 0, 07t2 + 0.0005t3 с добавлением белого шума с нормальным распределением и дисперсией 20 .