ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Эконометрика. Учебник продвинутый (2005)
.pdf
13.6. Упражнения и задачи |
423 |
2.2.Остатки ряда, получившиеся после исключения тренда, разложите в ряд Фурье.
2.3.Найдите коэффициенты αj и βj разложения этого ряда по гармоникам.
2.4.Постройте периодограмму ряда остатков и выделите наиболее существенные гармоники.
2.5.Постройте модель исходного временного ряда как линейную комбинацию модели тренда и совокупности наиболее значимых гармоник.
2.6.Вычислите выборочные коэффициенты автоковариации и автокорреляции для ряда остатков после исключения тренда.
2.7.Найдите значение периодограммы для частоты 0.5 разными способами (в том числе через автоковариационную функцию).
Упражнение 3
Используя данные таблицы 12.2, выполните следующие задания. |
|
|
|
3.1. С помощью периодограммы вычислите оценку спектра на частоте |
fj = |
j |
, |
|
|||
2K |
K = 4 . Получите сглаженную оценку спектра с помощью спектрального окна Тьюки—Хэннинга.
3.2.Рассчитайте автокорреляционную функцию rj , j = 1, . . . , 4. Оцените спектр с помощью корреляционного окна Тьюки—Хэннинга при K = 4. Сравните с предыдущим результатом.
3.3.Оцените спектр с помощью корреляционного окна Парзена при K = 4.
3.4.Постройте график оценки спектра для корреляционного окна Тьюки— Хэннинга в точках fj = 40j , j = 0, . . . , 20.
Задачи
1.Записать гармонику для ряда x = (1, −1, 1, −1, 1, −1, . . . ).
2.Пусть временной ряд xt имеет гармонический тренд: τt = 3 cos(πt) +
+ 4 sin(πt). Найти значения амплитуды, фазы и периода.
3.Записать ортогональный базис, по которому разлагается исследуемый процесс xt в ряд Фурье для T = 6, T = 7.
424 |
Глава 13. Спектральный и гармонический анализ |
4.Записать ковариационную матрицу для гармонических переменных, составляющих ортогональный базис, если T = 6, T = 7.
5.Привести формулу расчета коэффициентов гармонических составляющих временного ряда.
6. Что описывает формула: I(f ) = |
T |
(αf2 + βf2 ), где 0 |
f |
|
1 |
? Почему f |
2 |
2 |
меняется в указанном диапазоне значений?
7. Как соотносятся понятия интенсивности и амплитуды, периодограммы и спектра?
8. Вывести формулу для определения периодограммы на нулевой частоте.
9. Как связаны выборочный спектр и автокорреляционная функция для чисто случайного процесса? Записать формулу с расшифровкой обозначений.
10. Пусть для ряда из 4-х наблюдений выборочная автокорреляционная функция равна: r1 = 1 √2 , r2 = 1 2 , r3 = 1 √2 , дисперсия равна 1. Вычислить
значение выборочного спектра на частоте 1 4 .
11. Как соотносится выборочный спектр с автоковариационной функцией, спектральными и корреляционными окнами?
12. Пусть для ряда из 4-х наблюдений выборочная автокорреляционная функция равна: r1 = 1 2 , r2 = 1 4 , r3 = −1 4 , дисперсия равна 1. Вычислить значение сглаженной оценки выборочного спектра на частоте 1 4 с помощью окна Парзена с весами mk , k = 1, 2.
13. По некоторому временному ряду рассчитана периодограмма:
I(0) = 2, I 1 6 = 6, I 1 3 = 1, I 1 2 = 4.
Найти оценки спектральной плотности для тех же частот с использованием окна Тьюки—Хэннинга.
14.Записать уравнение процесса с одной периодической составляющей для частоты 0.33, амплитуды 2 и фазы 0.
15.Изобразить графики спектра для стационарных и нестационарных процессов.
13.6. Упражнения и задачи |
425 |
Рекомендуемая литература
1.Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. — М.: «Мир», 1976. (Гл. 4, 9).
2.Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. 1. — М.: «Мир», 1974. (Гл. 2).
3.Гренджер К., Хатанака М. Спектральный анализ временных рядов в экономике. — М.: «Статистика», 1972.
4.Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения. — М.: «Мир», 1971.
5.Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. — М.: «Наука», 1976. (Гл. 49).
6.Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 2. — М.: «Статистика», 1976. (Гл. 11, 12).
7.Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. — М.: Мир, 1980. (Гл. 5).
8.Hamilton James D., Time Series Analysis. — Princeton University Press, 1994. (Ch. 6).
9.Judge G.G., Griffiths W.E., Hill R.C., Luthepohl H., Lee T. Theory and Practice of Econometrics. — New York: John Wiley & Sons, 1985. (Ch. 7).
Глава 14
Линейные стохастические модели ARIMA
14.1. Модель линейного фильтра
Стационарный стохастический процесс {xt} с нулевым математическим ожиданием иногда полезно представлять в виде линейной комбинации последовательности возмущений εt, εt−1, εt−2 , . . ., т.е.
∞ |
|
xt = εt + ψ1εt−1 + ψ2εt−2 + . . . = ψiεt−i, |
(14.1) |
i=0 |
|
или с использованием лагового оператора: |
|
xt = (1 + ψ1L + ψ2L2 + · · · )εt, |
|
где ψ0 = 1 и выполняется |
|
∞ |
(14.2) |
|ψi| < ∞, |
|
i=0 |
|
т.е. ряд абсолютных значений коэффициентов сходится.
Уравнение (14.1) называется моделью линейного фильтра, а линейный оператор:
∞
ψ(L) = 1 + ψ1L + ψ2L2 + · · · = ψiLi,
i=0
14.1. Модель линейного фильтра |
427 |
преобразующий εt в xt, — оператором линейного фильтра.
Компактная запись модели линейного фильтра выглядит следующим образом:
xt = ψ(L)εt.
Предполагается, что последовательность { εt } представляет собой чисто случайный процесс или, другими словами, белый шум (см. стр. 353). Напомним, что автоковариационная и автокорреляционная функции белого шума имеют очень простую форму:
σ2 |
, k = 0, |
ρε |
1, |
k = 0, |
|
γε = |
ε |
|
= |
|
|
k |
|
k = 0, |
k |
|
k = 0, |
0, |
|
0, |
|||
а его спектральная плотность имеет вид
pε(f ) = 2γ0ε = 2σε2 = const.
Таким образом, белый шум легко идентифицируется с помощью графиков автокорреляционной функции и спектра. Часто предполагается, что последовательность {εt} состоит из независимых одинаково распределенных величин. Упростить анализ помогает дополнительное предположение о том, что {εt} имеет нормальное распределение, т.е. представляет собой гауссовский белый шум.
Данная модель не является произвольной. Фактически, согласно теореме Вольда, любой слабо стационарный ряд допускает представление в виде модели линейного фильтра, а именно: разложение Вольда ряда xt1. Следует помнить, однако, что разложение Вольда единственно, в то время как представление (14.1), вообще говоря, неоднозначно2. Таким образом, разложение Вольда представляет процесс в виде модели линейного фильтра, в то время как модель линейного фильтра не обязательно задает разложение Вольда.
Как мы увидим в дальнейшем, модель линейного фильтра (14.1) применима не только к стационарным процессам, таким что выполняется (14.2), — с соответствующими оговорками она упрощает анализ и многих нестационарных процессов.
Если процесс {xt} подчинен модели (14.1), то при выполнении условия (14.2) он имеет математическое ожидание, равное нулю:
∞
E(xt) = ψiE(εt−i) = 0.
i=0
1В разложении Вольда произвольного стационарного процесса может присутствовать также полностью предсказуемая (линейно детерминированная) компонента. Однако такая компонента, если
еесвойства известны, не создает больших дополнительных сложностей для анализа. 2См. ниже в этой главе анализ обратимости процесса скользящего среднего.
428 |
Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA |
Если требуется, чтобы математическое ожидание xt не было равно нулю, то уравнение модели линейного фильтра должно включать константу:
∞
xt = µ + ψiεt−i = µ + ψ(L)εt.
i=0
Выведем формулы для автоковариаций рассматриваемой модели:
γk = E(xtxt+k ) = E |
∞ |
∞ |
= |
|
|
|
|
ψiεt−i |
ψj εt+k−j |
|
|
|
|
||
|
i=0 |
j=0 |
|
|
|
|
|
|
∞ ∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
= |
ψ ψ E(ε |
ε |
) = σ2 |
ψ ψ |
i+k |
. (14.3) |
|
|
i j |
t−i t+k−j |
ε |
i |
|
|
|
i=0 j=0 |
|
|
i=0 |
|
|
|
Здесь учитывается, что для белого шума
E(εt−iεt+k−j ) = σε2, j = i + k, 0, j = i + k.
Заметим, что из (14.2) следует сходимость возникающих здесь рядов. Это говорит о том, что данное условие подразумевает стационарность.
Действительно, пусть (14.2) выполнено. Тогда существует индекс I , такой что |ψi| 1 при i > I (иначе бы ряд не сошелся). Тогда
∞ |
∞ |
I |
∞ |
|
|ψiψi+k | |ψi||ψi+k | |ψi||ψi+k | + |
|ψi+k |. |
|
i=0 |
i=0 |
i=0 |
i=I+1 |
Поскольку оба слагаемых здесь конечны, то
∞
|ψiψi+k | < ∞.
i=0
Ясно, что модель линейного фильтра (14.1) в общем виде представляет в основном теоретический интерес, поскольку содержит бесконечное число параметров. Для прикладного моделирования желательно использовать уравнения с конечным числом параметров. В основе таких моделей может лежать так называемая рациональная аппроксимация для ψ(L), т.е. приближение в виде частного двух лаговых многочленов:
ψ(L) ≈ θ(L) , ϕ(L)
14.3. Процессы авторегрессии |
|
431 |
что совпадает с полученной ранее формулой (14.3). |
|
|
Для спектральной плотности из (14.4) получаем |
|
|
p(f ) = 2σ2 |
∞ ψ e−i2πf j 2. |
(14.6) |
ε |
j |
|
j=0
Поскольку |e−i2πf j | = 1, то ряд здесь сходится и | p(f )| < ∞ .
14.3. Процессы авторегрессии
В модели авторегрессии текущее значение процесса xt представляется в виде линейной комбинации конечного числа предыдущих значений процесса и белого шума εt :
xt = ϕ1xt−1 + ϕ2xt−2 + · · · + ϕpxt−p + εt, |
(14.7) |
при этом предполагается, что текущее значение εt не коррелировано с лагами xt. Такая модель называется авторегрессией p-го порядка и обозначается AR(p) (от английского autoregression).
Используя лаговый оператор L, представим уравнение авторегрессии в виде:
(1 − ϕ1L − ϕ2L2 − . . . − ϕpLp)xt = εt,
или кратко, через лаговый многочлен ϕ(L) = 1 − ϕ1L − ϕ2L2 − . . . − ϕpLp:
ϕ(L)xt = εt.
Нетрудно показать, что модель авторегрессии является частным случаем модели линейного фильтра:
xt = ψ(L)εt,
где ψ(L) = ϕ−1(L), т.е. ψ(L) — оператор, обратный оператору ϕ(L).
Удобным и полезным инструментом для изучения процессов авторегрессии является характеристический многочлен (характеристический полином)
p
ϕ(z) = 1 − ϕ1z − ϕ2z2 − . . . − ϕpzp = 1 − ϕj zj
j=1
и связанное с ним характеристическое уравнение
1 − ϕ1z − ϕ2z2 − . . . − ϕpzp = 0.