ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Эконометрика. Учебник продвинутый (2005)

а) Проведите сглаживание сгенерированных рядов с помощью полинома первой степени с длиной отрезка скольжения 5 и 9.

б) Выполните то же задание, используя полином третьей степени.

в) Найдите отклонения исходных рядов от сглаженных рядов, полученных в пунктах (а) и (б). По каждому ряду отклонений вычислите среднеквадратическую ошибку. Сделайте вывод о том, какой метод дает наименьшую среднеквадратическую ошибку.

1.2. Имеются данные о производстве природного газа в СССР (табл. 12.2).

а) Постройте графики ряда и логарифмов этого ряда. Чем они различаются? Выделите основные компоненты временного ряда. Какой характер носит сезонность: аддитивный или мультипликативный? Сделайте вывод о целесообразности перехода к логарифмам.

б) Примените к исходному ряду метод экспоненциального сглаживания, подобрав параметр сглаживания.

в) Проведите сглаживание временного ряда с использованием адаптивной сезонной модели.

Задачи

1.Сгладить временной ряд x = (3, 4, 5, 6, 7, 11), используя полином первого порядка с длиной отрезка скольжения, равной трем.

2.Записать формулу расчета вектора коэффициентов для полинома третьей степени с помощью метода скользящей средней в матричной форме с расшифровкой обозначений.

3.В чем специфика аппроксимации первых m и последних m точек временного ряда при использовании метода скользящих средних?

4.Найти параметры адаптивной сезонной модели для временного ряда

x = (1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, . . . ).

5.Изобразить график временного ряда с аддитивным ростом и мультипликативным сезонным эффектом.

6.Изобразить график временного ряда с экспоненциальным ростом и аддитивным сезонным эффектом.

7.Записать модель с экспоненциальным ростом и мультипликативным сезонным эффектом, а также формулу прогноза на 5 шагов вперед.

Рекомендуемая литература

1.Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. — М.: «Мир», 1976. (Гл. 3).

2.Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. — М.: «Статистика», 1979. (Гл. 1, 2).

3.Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. — М.: «Наука», 1976. (Гл. 46).

4.Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 2. — М.: «Статистика», 1976. (Гл. 11, 12).

5.Mills Terence C. Time Series Techniques for Economists, Cambridge University Press, 1990 (Ch. 9).

Глава 13

Спектральный

игармонический анализ

13.1.Ортогональность тригонометрических функций и преобразование Фурье временного ряда

Как известно, тригонометрические функции cos t и sin t являются периодическими с периодом 2π:

cos(t + 2π) = cos t, sin(t + 2π) = sin t.

Функции cos(λt − θ) и sin(λt − θ) периодичны с периодом 2π/λ. Действительно,

cos(λt − θ) = cos(λt + 2π − θ) = cos (λ(t + 2π/λ) − θ) ,

sin(λt − θ) = sin(λt + 2π − θ) = sin(λ(t + 2π/λ) − θ).

Величина λ/2π, обратная периоду, называется линейной частотой, λ называют угловой частотой. Линейная частота равна числу периодов (не обязательно целому), содержащемуся в единичном интервале, то есть именно такое число раз функция повторяет свои значения в промежутке [0, 1].

Рассмотрим функцию:

R cos(λt − θ) = R(cos λt cos θ + sin λt sin θ) = α cos(λt) + β sin(λt),

Коэффициент R, являющийся максимумом функции R cos(λt −θ) называется амплитудой этой функции, а угол θ называется фазой.

Особенность тригонометрических функций заключается в том, что на определенном диапазоне частот они обладают свойством ортогональности.

Две функции ϕ(t) и ψ(t), определенные на конечном множестве {1, . . . , T }, называются ортогональными, если их скалярное произведение, определенное как сумма произведений значений ϕ(t) и ψ(t) в этих точках, равно нулю:

T

ϕ(t) · ψ(t) = 0.

t=1

Система T тригонометрических функций в точках t {1, . . . , T }

ортогональна, т.е. скалярное произведение векторов

где операция [ . . . ] — это выделение целой части числа.

Для доказательства этого утверждения полезны следующие равенства

Мы доказали выполнение (13.2–13.4) для указанного набора функций, получив одновременно некоторые количественные их характеристики. Таким образом,

функции cos 2Tπj t и sin 2Tπj t образуют ортогональный базис и всякую функцию,

в том числе и временной ряд {xt}, определенный на множестве {1, . . . , T }, можно разложить по этому базису, т.е. представить в виде конечного ряда Фурье:

Если cjt и sjt — элементы векторов cj и sj , стоящие на t-ом месте, то, переходя к векторным обозначениям, (13.13) можно переписать в матричном виде:

13.2. Теорема Парсеваля

Суть теоремы Парсеваля состоит в том, что дисперсия процесса xt разлагается по частотам соответствующих гармоник следующим образом:

а для k-й гармоники, k = T /2, равен 12 Rk2 .

Следовательно, наряду с определением коэффициентов Фурье для k-й гармоники, можно определить долю этой же гармоники в дисперсии процесса.

13.3. Спектральный анализ

Введем понятия периодограммы и спектра.

Периодограммой называют последовательность значений {Ij }:

Величина Ij называется интенсивностью на j-ой частоте.

На практике естественнее при вычислении периодограммы использовать центрированный ряд xˆt = xt −x¯. При этом меняется только I0 . Для центрированного ряда α0 = 0, поэтому I0 = α20 = 0. Все остальные значения периодограммы не меняются, что следует из (13.5) и (13.6) — влияние константы на остальные значения обнуляется. В оставшейся части главы мы будем использовать только центрированный ряд.

В определении периодограммы принципиальным является то, что гармонические частоты fj = j/T (j = 0, 1, . . . , [T /2]) изменяются дискретно, причем наиболее высокая частота составляет 0, 5 цикла за временной интервал.