ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Эконометрика. Учебник продвинутый (2005)

В общем случае автоковариационная матрица процесса скользящего среднего порядка q имеет q ненулевых поддиагоналей и q ненулевых наддиагоналей, все же остальные элементы матрицы равны нулю.

Автокорреляционная функция имеет вид:

Таким образом, автокорреляционная функция процесса MA(q) обрывается на задержке q, и в этом отличительная особенность процессов скользящего среднего.

С другой стороны, частная автокорреляционная функция, в отличие от авторегрессий, не обрывается и затухает экспоненциально. Например, для MA(1) частная автокорреляционная функция имеет вид

Ясно, что модель скользящего среднего является частным случаем модели линейного фильтра (14.1), где ψj = −θj при j = 1, . . . , q и ψj = 0 при j > q. Фактически модель линейного фильтра является моделью MA(∞).

Формула спектра для процесса скользящего среднего следует из общей формулы для модели линейного фильтра (14.6):

2

p(f ) = 2σε2 1 − θ1e−i2πf − θ2e−i4πf − . . . − θq e−i2qπf .

Обратимость процесса MA(q)

Авторегрессию, как мы видели выше, можно представить как MA(∞). С другой стороны, процесс скользящего среднего можно представить в виде AR(∞).

Рассмотрим, например, MA(1) (будем для упрощения писать θ вместо θ1 ):

xt = εt − θxt−1 − θ2xt−2 − · · · − θkxt−k − θk+1εt−k−1.

Если |θ| < 1, то последнее слагаемое стремится к нулю при k → ∞. Переходя к пределу, получаем представление AR(∞) для MA(1):

j=0

Вто время как процесс (14.37) стационарен при любом θ, процесс (14.38) стационарен только при |θ| < 1. При |θ| 1 веса −θj в разложении (14.38) растут (при |θ| = 1 не меняются) по абсолютной величине по мере увеличения j.

Тем самым, нарушается разумная связь текущих событий с событиями в прошлом. Говорят, что при |θ| < 1 процесс MA(1) является обратимым, а при |θ| 1 — необратимым.

Вобщем случае уравнение процесса MA(q) в обращенной форме можно записать как

∞

εt = θ−1(L)xt = π(L)xt = πj xt−j .

j=0

Процесс MA(q) называется обратимым, если абсолютные значения весов πj в обращенном разложении образуют сходящийся ряд. Стационарным процесс MA(q) является всегда, но для того, чтобы он обладал свойством обратимости, параметры процесса должны удовлетворять определенным ограничениям.

Выведем условия, которым должны удовлетворять параметры θ1, θ2, . . . , θq процесса MA(q), чтобы этот процесс был обратимым.

Пусть Hi−1, i = 1, . . . , q — корни характеристического уравнения θ(L) = 0 (будем предполагать, что они различны). Оператор скользящего среднего θ(L) через обратные корни характеристического уравнения можно разложить на множители:

q

θ(L) = (1 − HiL).

i=1

Тогда обратный к θ(L) оператор π(L) можно представить в следующем виде:

Каждое слагаемое (14.39) можно, по аналогии с MA(1), представить в виде бесконечного ряда:

Тогда процесс MA(q) в обращенном представлении выглядит как

q∞

и он стационарен, если корни характеристического уравнения θ(L) = 0 лежат вне единичного круга. Иными словами, MA(q) обладает свойством обратимости, если для всех корней выполнено |Hi−1| > 1, т.е. |Hi| < 1 i. Если же для одного из корней |Hi| 1, то ряд не будет сходиться, и процесс MA(q) будет необратимым.

Для каждого необратимого процесса MA(q), у которого корни характеристического уравнения не равны по модулю единице, существует неотличимый от него обратимый процесс того же порядка. Например, процесс MA(1) (14.37) с |θ| >1 можно записать в виде

1

xt = ξt − θ ξt−1,

1 − θL

где ξt = 1 − 1/θ · L εt является белым шумом. Мы не будем доказывать, что ξt

является белым шумом, поскольку это технически сложно. Вместо этого мы укажем на простой факт: пусть ξt — некоторый белый шум. Тогда процесс ξt − 1θ ξt−1 имеет такую же автоковариационную функцию, как и процесс xt, заданный уравнением (14.37), если дисперсии связаны соотношением σξ2 = θ2σε2 . Для того чтобы в этом убедиться, достаточно проверить совпадение дисперсий и автоковариаций первого порядка (остальные автоковариации равны нулю).

В общем случае процесса MA(q), чтобы сделать его обратимым, требуется

обратить все корни характеристического уравнения, которые по модулю меньше

q

единицы. А именно, пусть θ(L) = (1 −HiL), — характеристический многочлен

i=1

где |Hi| < 1 при i = 1, . . . , m и |Hi| > 1 при i = m + 1, . . . , q. Тогда

— характеристический многочлен эквивалентного обратимого процесса.

Заметим, что хотя уравнение (14.33) по форме напоминает разложение Вольда процесса xt, оно будет таким, только если все корни характеристического уравнения по модулю будут не меньше единицы. Для получения разложения Вольда произвольного процесса MA(q) требуется проделать описанную операцию обращения корней, которые по модулю меньше единицы.

14.5.Смешанные процессы авторегрессии — скользящего среднего ARMA

(модель Бокса—Дженкинса)

На практике иногда бывает целесообразно ввести в модель как элементы авторегрессии, так и элементы скользящего среднего. Это делается для того, чтобы с использованием как можно меньшего числа параметров уловить характеристики исследуемого эмпирического ряда. Такой процесс называется смешанным процессом авторегрессии — скользящего среднего и обозначается ARMA(p, q):

или, с использованием оператора лага,

(1 − ϕ1L − ϕ2L2 − . . . − ϕpLp)xt = (1 − θ1L − θ2L2 − . . . − θqLq )εt.

В операторной форме смешанная модель выглядит так:

ϕ(L)xt = θ(L)εt,

где ϕ(L) — оператор авторегрессии, θ(L) — оператор скользящего среднего.

Модель (14.41) получила название модели Бокса—Дженкинса, поскольку была популяризирована Дж. Боксом и Г. Дженкинсом в их известной книге «Анализ временных рядов» [3]. Методология моделирования с помощью (14.41) получила название методологии Бокса—Дженкинса.

Автокорреляционная функция и спектр процесса ARMA(p, q)

Рассмотрим, как можно получить автоковариационную и автокорреляционную функции стационарного процесса ARMA(p, q), зная параметры этого процесса. Для этого умножим обе части уравнения (14.41) на xt−k , где k 0, и перейдем к математическим ожиданиям:

E(xt−k xt) = ϕ1E(xt−k xt−1) + ϕ2E(xt−k xt−2) + . . . + ϕpE(xt−k xt−p) +

+ E(xt−k εt) − θ1E(xt−k εt−1) − θ2E(xt−k εt−2) − . . . − θq E(xt−k εt−q ).

Обозначим через δs кросс-ковариацию изучаемого ряда xt и ошибки εt с задержкой s, т.е.

δs = E(xtεt−s).

Поскольку процесс стационарен, то эта кросс-ковариационная функция не зависит от момента времени t. В этих обозначениях

Так как xt−k зависит только от импульсов, которые произошли до момента t − k, то

δj−k = E(xt−k εt−j ) = 0 при j < k.

Для того чтобы найти остальные нужные нам кросс-ковариации, δ0, . . . , δq , необходимо поочередно умножить все члены выражения (14.41) на εt, εt−1 , . . . , εt−q и перейти к математическим ожиданиям. В итоге получится следующая система уравнений:

δ0 = σε2, δ1 = ϕ1δ0 − θ1σε2,

δ2 = ϕ1δ1 + ϕ2δ0 − θ2σε2,

. . .

Общая формула для всех 1 s p имеет вид:

δs = ϕ1δs−1 + · · · + ϕsδ0 − θsσε2.

При s > p (такой случай может встретиться, если p < q)

δs = ϕ1δs−1 + · · · + ϕpδs−p − θsσε2.

Отсюда рекуррентно, предполагая σε2 и параметры ϕ и θ известными, найдем δs .

Далее, зная δs, по аналогии с уравнениями Юла—Уокера (14.21) по формуле (14.42) при k = 0, . . . , p с учетом того, что γ−k = γk найдем автоковариации γ0, . . . , γp. Остальные автоковариации вычисляются рекуррентно по формуле (14.42).

Автокорреляции рассчитываются как ρk = γk /γ0 . Заметим, что если требуется найти только автокорреляции, то без потери общности можно взять ошибку εt с единичной дисперсией: σε2 = 1.

Если в уравнении (14.42) k > q, то все кросс-корреляции равны нулю, поэтому

Чтобы найти второе слагаемое, умножим уравнение процесса (14.45) на εt

Аналогичным способом распишем E(xtεt−1 ):

δ1 = E(xtεt−1) = ϕE(xt−1 εt−1) + E(εt−1 εt) − θE(εt−1εt−1) = (ϕ − θ)σε2.

При k = 1 равенство (14.46) преобразуется в

γ1 = ϕγ0 + δ−1 − θδ0.

Используя ранее приведенные доводы относительно математических ожиданий, стоящих в этом уравнении, имеем:

При k 2

γk = ϕγk−1.

Выразим автоковариации в (14.49) и (14.50) через параметры модели ϕ и θ. Получим систему уравнений

γ0 = ϕγ1 + σε2 − θ(ϕ − θ)σε2; γ1 = ϕγ0 − θσε2;

и решим ее относительно γ0 и γ1 .

С учетом того, что ρk = γk /γ0 , получаем выражения для автокорреляционной функции процесса ARMA(1, 1):

(ϕ − θ)(1 − ϕθ)

ρ1 = 1 − 2ϕθ + θ2 , ρk = ϕk−1ρ1, k 2.

На рисунке 14.4 изображены графики автокорреляционной функции процесса ARMA(1, 1) при различных сочетаниях значений параметров ϕ и θ.

По аналогии с процессами AR(p) и MA(q) выводится формула спектра процесса ARMA(p, q). Пусть {ηt} — такой процесс, что

ηt = εt − θ1εt−1 − . . . − θq εt−q .

Тогда xt, описываемый уравнением (14.41), можно записать в виде xt = ϕ1xt−1 + . . . + ϕpxt−p + ηt.

462 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA

По формуле (14.4), с одной стороны,

p(f ) = px(f ) = pη (f ) 1 − ϕ1e−i2πf − ϕ2e−i4πf − . . . − ϕpe−i2pπf 2,

а с другой стороны, для процесса скользящего среднего {ηt} выполняется

1 − ϕ1e−i2πf − ϕ2e−i4πf − . . . − ϕpe−i2pπf

Представление процесса ARMA в виде MA(∞)

и функция реакции на импульсы

Так же, как и в случае авторегрессии, стационарный процесс ARMA можно записать в виде модели линейного фильтра, или, другими словами, скользящего среднего бесконечного порядка MA(∞):

где ψ0 = 1.

Коэффициенты ψi представляют собой функцию реакции на импульсы для процесса ARMA, т.е. ψi является количественным измерителем того, как небольшое изменение («импульс») в εt влияет на x через i периодов, т.е. на xt+i , что можно символически записать как

ψi = dxt+i . dεt

Один из способов вычисления функции реакции на импульсы сводится к использованию уравнения

ϕ(z)ψ(z) = θ(z),

или

(1 − ϕ1z − ϕ2z2 − . . . − ϕpzp)(1 + ψ1z + ψ2z2 + . . . ) = (1 − θ1z − . . . − θq zq ),