ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Эконометрика. Учебник продвинутый (2005)

Вводя понятие спектра, мы ослабляем это предположение и позволяем частоте изменяться непрерывно в диапазоне 0 − 0.5 Гц ( 0.5 цикла в единицу времени).

Обозначим линейную частоту через f и введем следующие обозначения:

где 0 f 12 , называется выборочным спектром. Очевидно, что значения пе-

риодограммы совпадают со значениями выборочного спектра в точках fj , то есть p (fj ) = Ij .

Спектр показывает, как дисперсия стохастического процесса распределена в непрерывном диапазоне частот. Подобно периодограмме он может быть использован для обнаружения и оценки амплитуды гармонической компоненты неизвестной частоты f , скрытой в шуме.

И периодограмму, и спектр представляют для наглядности в виде графика, на оси ординат которого — интенсивность Ij или p (f ), на оси абсцисс — частота fj = j T или f , соответственно. График выборочного спектра часто называют

спектрограммой.

Спектрограмма нужна для более наглядного изображения распределения дисперсии между отдельными частотами. Если частоте f = k T соответствует пик на спектрограмме, то в исследуемом ряду есть существенная гармоническая составляющая с периодом 1/f = T k .

Целью спектрального анализа является определение основных существенных гармонических составляющих случайного процесса путем разложения дисперсии процесса по различным частотам. Спектральный анализ позволяет исследовать смесь регулярных и нерегулярных спадов и подъемов, выделять существенные гармоники, получать оценку их периода и по значению спектра на соответствующих частотах судить о вкладе этих гармоник в дисперсию процесса.

Исследования показывают, что наличие непериодического тренда (тренда с бесконечным периодом) дает скачок на нулевой частоте, т.е. в начале координат спектральной функции. При наличии циклических составляющих в соответствующих частотах имеется всплеск; если ряд слишком «зазубрен», мощность спектра перемещается в высокие частоты.

Типичным для большинства экономических процессов является убывание спектральной плотности по мере того, как возрастает частота.

Процесс выделения существенных гармоник — итеративный. При изучении периодограммы выделяется две-три гармоники с максимальной интенсивностью. Находятся оценки параметров этих наиболее существенных гармоник, и они удаляются из временного ряда с соответствующими весами. Затем остатки временного ряда, получающиеся после исключения значимых гармоник, снова изучаются в той же последовательности, т.е. строится периодограмма для этих остатков, и проявляются те гармоники, которые на начальном этапе были незаметны, и т.д. Количество итераций определяется задаваемой точностью аппроксимации модели процесса, которая представляется в виде линейной комбинации основных гармоник.

Понятие спектра, являясь основополагающим в спектральном анализе, для экономистов играет важную роль еще и потому, что существует функциональная связь выборочного спектра и оценок автоковариационной функции.

13.4.Связь выборочного спектра с автоковариационной функцией

Покажем, что выборочный спектр представляет собой косинус-преобразование Фурье выборочной автоковариационной функции.

Теорема Винера—Хинчина:

где rk = ck /c0 = ck /s2 — выборочные автокорреляции.

где df комплексно сопряжено с df .

Теперь допустим, что выборочный спектр, характеризующийся эмпирическими значениями частоты, амплитуды и фазы, вычислен для ряда из T наблюдений и мы можем неоднократно повторить этот эксперимент, соответственно собрав множество значений αj , βj и p (f ) по повторным реализациям. Тогда среднее значение p (f ) будет равно:

k=1

где c0 и ck — эмпирические значения автоковариации. C учетом того, что E(ck ) при больших T стремится к теоретической автоковариации γk , получим, переходя к пределу, так называемую теоретическую спектральную плотность, или спектр мощности:

k=1

где ρk = γk /γ0 = γk /σ2 — теоретические автокорреляции.

Итак, это соотношение связывает функцию спектральной плотности с теоретическими автоковариациями.

Иногда более удобно использовать автокорреляции: разделим обе части p(f ) на дисперсию процесса, σ2 , и получим нормированный спектр g(f ):

Если процесс представляет собой белый шум, то, согласно приведенным формулам, p(f ) = 2σ2 , т.е. спектральная плотность белого шума постоянна. Этим объясняется термин «белый шум». Подобно тому, как в белом цвете смешаны в одинаковых объемах все цвета, так и белый шум содержит все частоты, и ни одна из них не выделяется.

13.5. Оценка функции спектральной плотности

На первый взгляд, выборочный спектр, определенный как

является естественной и правильной оценкой функции спектральной плотности:

Известно, что выборочная автоковариация ck — это асимптотически несмещенная оценка параметра γk , так как

lim E(ck ) = γk,

T →∞

и поэтому выборочный спектр есть также асимптотически несмещенная оценка функции спектральной плотности.

Однако дисперсия оценки (выборочного спектра) не уменьшается по мере роста размера выборки. Это означает, что рассматриваемая оценка несостоятельна. В то время как график функции теоретической спектральной плотности стационарного стохастического процесса «гладкий», — график выборочного спектра, построенный на основе эмпирических данных, «неровный». Использование данной оценки в качестве оценки функции спектральной плотности может привести к ложным выводам.

Поведение выборочного спектра иллюстрируют спектрограммы на рис. 13.1 а), б), в). Гладкая жирная линия соответствует теоретической спектральной плотности случайного процесса, а неровная тонкая линия — оценке по формуле (13.24). Видно, что с увеличением длины ряда оценка не становится более точной, а только увеличивает частоту флуктуаций.

Существует два подхода к решению проблемы несостоятельности выборочного спектра как оценки теоретического спектра. Оба заключаются в том, что выборочный спектр сглаживается, так что за счет некоторого увеличения смещения этой оценки достигается существенное снижение дисперсии (см. рис. 13.1 г) ). Один подход сглаживает оценку спектра в «частотной области», видоизменяя формулу (13.24), другой же подход видоизменяет формулу (13.25).

Рис. 13.1

1) Взвешивание ординат периодограммы.

Первый способ сглаживания выборочного спектра применяет метод скользящего среднего, рассмотренный в предыдущей главе, к значениям периодограммы. Сглаживающая оценка определяется в форме

среднего, которые в сумме должны давать единицу, а также должны быть симметричными, в смысле µ−k = µk . Как правило, коэффициент µ0 максимальный, а остальные коэффициенты снижаются в обе стороны. Таким образом, наибольший вес в этой оценке имеют значения выборочного спектра, ближайшие к данной

частоте Tj , в связи с чем данный набор коэффициентов называют спектральным окном. Через это окно мы как бы «смотрим» на функцию спектральной плотности.

Формула сглаженной спектральной оценки определяется только для значений

j= M, . . . , [T /2] − M . Для гармонических частот с номерами j = 0, . . . , M − 1

иj = [T /2] − M + 1, . . . , [T /2] оценка не определена, поскольку при дан-

ных значениях j величина (j − k) может принимать значения −M, . . . , −1; [T /2] + 1, . . . , [T /2] + M . Однако проблема краевых эффектов легко решается,

если доопределить функцию выборочного спектра (и, соответственно, периодограмму), сделав ее периодической. Формула (13.24) дает такую возможность, поскольку основана на синусоидах и косинусоидах. Таким образом, будем считать, что выборочный спектр определен формулой (13.24) для всех частот f (−∞, +∞). При этом ясно, что выборочный спектр будет периодической функцией с периодом 1, зеркально-симметричной относительно нуля (и относительно любой частоты вида i/2, где i — целое число):

p (f − i) = p (f ), i = . . . , −1, 0, 1, . . .

и

p (−f ) = p (f ).

Формулу (13.33) несложно обобщить так, чтобы можно было производить сглаживание не только в гармонических частотах. Кроме того, в качестве расстояния между «усредняемыми» частотами можно брать не 1/T , а произвольное ∆ > 0. Таким образом приходим к следующей более общей формуле:

k=−M

Просматривая поочередно значения выборочного спектра и придавая наибольший вес текущему значению, можно сгладить спектр в каждой интересующей нас точке.

2) Взвешивание автоковариационных функций.

Известно, что при увеличении лага k выборочные автоковариации ck являются все более неточными оценками. Это связано с тем, что k-я автоковариация вычисляется как среднее по T −k наблюдениям. Отсюда возникает идея в формуле (13.25) ослабить влияние дальних автоковариаций за счет применения понижающих весов так, чтобы с ростом k происходило уменьшение весового коэффициента при ck .

Если ряд весов, связанных с автоковариациями c0, c1, . . . , cT −1 , обозначить как m0, m1, . . . , mT −1 , оценка спектра будет иметь вид:

Набор весов mk , используемый для получения такой оценки, получил название

корреляционное, или лаговое окно.

При использовании корреляционного окна для уменьшения объема вычислений удобно брать такую систему весов, что mk = 0 при k K, где K < T . Тогда формула (13.35) приобретает вид

k=1

Корреляционное окно удобно задавать с помощью функции m(·), заданной на интервале [0; 1], такой, что m(0) = 1, m(1) = 0. Обычно функцию выбирают так, чтобы между нулем и единицей эта функция плавно убывала. Тогда понижающие веса mk при k = 0, . . . , K вычисляются по формуле

mk = m(k/K).

Ясно, что при этом m0 = 1 (это величина, с помощью которой мы взвешиваем дисперсию в формуле (13.35)) и mK = 0.

Наиболее распространенные корреляционные окна, удовлетворяющие перечисленным свойствам — это окна Парзена и Тьюки—Хэннинга (см. рис. 13.2).

Окно Тьюки—Хэннинга:

m(z) = 12 (1 + cos(πz)) .

Окно Парзена:

Можно доказать, что сглаживание в частотной области эквивалентно понижающему взвешиванию автоковариаций. Чтобы это сделать, подставим в (13.34) выборочный спектр, выраженный через комплексные экспоненты (13.30):

MT −1

ps(f ) = 2 µj ck e−i2π(f −j∆)k . j=−M k=−(T −1)

Меняя здесь порядок суммирования, получим

Введя обозначение

придем к формуле

k=−(T −1)

T −1

= 2 m0c0 + 2 mkck cos 2πf k ,

k=1

которая, очевидно, совпадает с (13.35).

Кроме того, без доказательства отметим, что подбором шага ∆ и весов µj мы всегда можем сымитировать применение корреляционного окна (13.35) с помощью (13.34). Существует бесконечно много способов это сделать.

В частности, как несложно проверить, частотное окно Тьюки—Хэннинга полу-