Эквивалентный поверхностный ток

Так как на высоких частотах ток фактически сосредоточен в тонком слое у поверхности проводника, часто оказывается удоб­ным заменить реальное распределение тока эквивалентным по­верхностным током. Для определения плотности этого эквива­лентного поверхностного тока j_s предположим, что проводящее тело занимает все нижнее полупространство (рис.7.8). Выделим мысленно в нем "брусок" толщиной Δl, боковые грани которого па­раллельны вектору плотности тока j. Толщину Δl, выберем доста­точно малой, чтобы в пределах Δl,плотность тока j и напряжен­ность магнитного поля Н можно было считать неизменными. Так как в хорошо проводящей среде плотность тока смещения пренеб­режимо мала по сравнению с плотностью тока проводимости, то полный ток, протекающей в выделенном "бруске", можно считать равным

где Г - контур поперечного сечения "бруска".

Так как по предположению векто­ры j и Н в пределах Δl, не меняются,

то интегралы по линиям, перпендику­лярным поверхности тела, равны по величине и противоположны по знаку. Кроме того, поскольку в точках, бес­конечно удаленных  от  поверхности тела напряженность магнитного поля равна нулю, получаем, что интеграл в формуле (7.57) равен интегралу по отрезку АВ на рис7.78:

 Если считать, что весь ток течет по поверхности проводника, то значение i в формуле (7.59) равно поверхностному току. Его плотность j_S = i/ Δl= Н° или в векторной форме

Это выражение аналогично граничному условию для каса­тельной составляющей напряженности магнитного поля на по­верхности идеального проводника.

 

7.8.4. Поверхностное сопротивление проводника

 

Касательная составляющая напряженности электрического поля на поверхности металла Ё_1τи плотность эквивалентного по­верхностного тока j_s направлены одинаково. Следовательно, можно записать

Коэфффициент пропорциональности Z_s принято называть по­верхностным сопротивлением проводника. Учитывая формулу (7.60) и граничное условие Леонтовича-Щукина (7.52), получаем, что поверхностное сопротивление

Активная часть поверхностного сопротивления

                    Из этого выражения следует, что проводник, заполняющий все полупространство, имеет в результате поверхностного эффекта такое же сопротивление, как и слой проводника толщиной  Δ⁰ без учета поверхностного эффекта (отсюда и термин "глубина про­никновения").

Отметим, что среднюю за период мощность потерь в про­воднике [формула (7.57)] можно выразить также через эквива­лентный поверхностный ток и активную часть поверхностного со­противления:

Вопрос 32. Теорема эквивалентности.

См. предыдущий пункт. Наверное.

Вопрос 33. Лемма Лоренца

Пусть в линейной изотропной среде имеются две независимые группы источников, одна из которых характеризуется сторонними электрическими токами с плотностью а вторая - токами с

Равенство (5.44) называют леммой Лоренца.

Вопрос 34. Теорема взаимности

На основе леммы Лоренца доказывается теорема взаим­ности, имеющая фундаментальное значение. Предположим, что источники первой группы сосредоточены в конечном объемеV₁ а источники второй группы -в конечном объемеV₂. Области Vi и V₂ пространственно разделены (не пересекаются

друг с другом).

Интегрируя равенство (5.44) по произвольной области V, включающей в себя V₁ и V₂ (рис. 5.31), и применяя теорему Остроградского-Гаусса, получаем

где S - поверхность, ограничивающая объем V.

Соотношение (5.45) является интегральной формулировкой леммы Лоренца.

 

Распространим интегрирование в уравнении (5.45) на все прост­ранство. При этом поверхность S уйдет в бесконечность. Не нарушая общностисти рассуждений, можно считать,   что   амплитуды   векторов Ё₁Н₁,  Ё₂ и Н₂ убывают с увеличе­нием расстояния от источников быстрее, чем 1/r (см. теорему единственности, доказанную в 2.2). Тогда при r→∞ левая часть уравнения (5.45) обратится в нуль. Учитывая, кроме того, что по предположению вектор плотности сторонних токов  отличен от нуля только в объеме V_b а вектор -только в объемеV₂, получаем

В полученном выражении Ё₁, - вектор напряженности эле­ктрического поля, создаваемого в точках объема V₂ токами распределенными в объемеV₁ a E₂- напряженность электри­ческого поля, создаваемого в точках объема V₁ токами, проте­кающими в объеме V₂.

Соотношение (5.46) является одной из наиболее общих ма­тематических формулировок теоремы взаимности.