Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
388
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
2.43 Mб
Скачать

и построить граф порядка 5. 10. Указание: предположить обратное для графа с п вершинами и доказать, что у одной вершины должна быть степень п. 11. а) Нет; б) Да. Не определяется. Указание: рассмотреть сумму степеней вершин. 13. Указание: рассмотреть сумму степеней вершин. 14. Существует. 15. Указание: если в путь входит одна и та же вершина, участок пути, заключенный между ее первым вхождением и последним, можно удалить. 16. 6. 17. Указание: предположить, что не совпадают и построить цепь большей длины. 19. Указание: если в цикл входит одна и та же вершина, участок цикла, заключенный между ее первым вхождением и последним, можно удалить. 20. Указание: доказать, что объединение этих цепей является циклом. 21. Указание: доказать, что (С D)\ e является циклом. 23. Указание: найти сумму степеней вершин. 25. Указание: предположить противное и найти вершины, расстояние между которыми превосходит диаметр. 27. 3. 28.

а), б), г).

§2.2. Способы задания графов

Существует несколько способов задания графа:

1.графический;

2.с помощью перечисления ребер;

3.с помощью матрицы смежности;

4.с помощью матрицы инцидентности.

Сграфическим способом, при котором вершины графа изображаются точками на плоскости или в пространстве, а ребра – непрерывными кривыми, соединяющими соответствующие точки, мы уже фактически познакомились. При этом один и тот же граф можно представлять поразному, с пересечением ребер или без (рис. 2.5).

Теорема. В R3 можно изобразить любой конечный граф так, чтобы не было пересечений ребер во внутренних точках.

Доказательство. Пусть G – произвольный граф с множеством

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вершин V(G) и множеством ребер

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E(G). Занумеруем множество

 

 

α1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вершин: V(G) = {v1, v2, …, vn}.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

αj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

αi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Uij

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

Vj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.20

1 2

4 3

Рис. 2.21

Тогда каждому ребру е соответствует пара инцидентных ему вершин (vi, vj), где i < j n. Проведем в пространстве произвольную прямую l и п различных полуплоскостей α1, α2, …, αп, границей которых является прямая l (рис. 2.20). На каждой плоскости αi возьмем произвольно точку Vi, не принадлежащую прямой l, а на прямой l – произвольные различные точки Uij, соответствующие ребрам (vi, vj). Изображением вершины vi графа G будет служить точка Vi, изображением ребра (vi, vj)

– ломаная Vi Uij Vj. Очевидно, при этом ломаные, соответствующие разным ребрам, могут пересекаться только в точках, соответствующих вершинам. Теорема доказана.

В памяти ЭВМ граф часто задается перечислением ребер. Например, для графа, изображенного на рис. 2.21: (1, 2), (2, 3), (2, 4).

Рассмотрим способы задания графов с помощью матриц. Пусть G

граф порядка п. Занумеруем его вершины: VG = {v1, ...,vn} . Определим матрицу А = А(G) размера п × п следующим образом:

1, есливершины i и j смежны, Aij = 0 впротивномслучае.

А(G) называется матрицей смежности графа G.

Если граф G без петель, то аii 0. Если в графе G допускаются кратные ребра, то аij равно количеству ребер, соединяющих вершины аi и аj . Для

неориентированного графа матрица А(G) является симметрической, для ориентированного – нет.

Абстрактный граф приводит к различным матрицам смежности в зависимости от нумерации вершин. Посмотрим, как связаны между собой эти матрицы. Пусть G и Н – помеченные графы порядка п и G H . Это означает, что G и Н различаются только нумерацией вершин, т.е. существует подстановка s на множестве вершин,

сохраняющая смежность: вершины и и v тогда и только тогда смежны в G, когда их образы s(и) и s(v) смежны в Н. Положив А(G) = А, В(G) = В, получаем:

Bs(i)s( j) = Aij ,

i =1, 2, ..., n,

j =1, 2, ..., n.

Следовательно, графы изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы смежности получаются друг из друга одинаковыми перестановками строк и столбцов. Из этого вытекает, что ранги матриц изоморфных графов равны, что позволяет ввести для абстрактного

графа следующее определение ранга: рангом графа называется ранг его матрицы смежности. Как и в случае матриц, ранг графа G будем обозначать через rank G.

Теорема. Для каждого связного графа G верно неравенство d(G) rank G .

Доказательство. Пусть d(G) = d . Рассмотрим матрицу смежности А(G), причем выберем нумерацию вершин так, чтобы вершины одной из диаметральных цепей имели номера 1, 2, …, d +1: v1, v2 , ..., vd +1

A

B

является

диаметральная цепь. Очевидно, что A(G) =

 

C

D

 

клеточной матрицей, в левом верхнем углу которой расположена матрица смежности А порожденного подграфа G(v1 , v2 , ..., vd +1 ). Этот

подграф является простой цепью, следовательно,

0

1

0

...

0

0

 

1

0

1

...

0

0

 

 

 

1

0

...

0

 

 

0

0

A =

 

 

 

 

 

 

 

... ... ... ... ... ...

 

0

0

0

...

0

1

 

 

 

 

0

0

0

...

1

0

 

 

 

– симметрическая матрица порядка d + 1, все элементы которой, за исключением двух ближайших к диагонали полос единиц, равны нулю. минор порядка d матрицы А, остающийся после вычеркивания первого столбца и последней строки, равен 1. Следовательно,

rank A(G) rank A = d . Теорема доказана.

Выведем необходимое условие изоморфности графов. Пусть s – произвольная подстановка, действующая на множестве {1, 2, …, n}. Определим матрицу S размерности n × n, положив

1,

если s( j) = i,

Sij =

впротивномслучае.

0

G (n, m) -граф,

Очевидно, что в каждой строке и в каждом столбце матрицы S содержится ровно по одной единице и det S = ±1 . С помощью прямых вычислений проверяется, что

(SAS 1 )ij = A

1

(i)s

1

( j)

,

i =1, 2, ..., n,

j =1, 2, ..., n.

s

 

 

 

 

 

Таким образом, B = SAS 1 . Из этого следует, что матрицы смежности изоморфных графов подобны. Поэтому равны характеристические многочлены этих матриц. Следовательно, корректно определение

характеристического многочлена графа, как характеристического многочлена его матрицы смежности. Спектр матрицы смежности, т.е. совокупность корней характеристического многочлена с учетом их кратности, называется спектром графа. Следует заметить, что из совпадения характеристических многочленов графов не следует их изоморфизма.

Определим матрицу инцидентности графа. Пусть

VG ={1, 2, ..., n}, EG ={e1, e2 , ..., em} . Определим матрицу I = I(G)

размера п × т, положив

1,

есливершина k иребро el инцидентны,

Ikl =

0

впротивномслучае.

 

Матрица I называется матрицей инцидентности графа G. В каждом ее столбце ровно две единицы, одинаковых столбцов нет.

Для ориентированных графов определение матрицы инцидентности I видоизменяется:

1, если вершина k

является началом дуги al ,

 

 

если вершина k

является концом дуги al ,

Ikl = −1,

 

0,

если вершина k

и ребро a

не инцидентны.

 

 

 

l

 

Теорема. Графы (ориентированные графы) изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы инцидентности получаются друг из друга произвольными перестановками строк и столбцов.

Решение типовых задач

1. Для графов, изображенных на рисунке 2.22 построить матрицы смежности.

4

5

 

 

1

2

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

2

3

3

4

4

3

 

а)

 

 

 

 

 

б)

 

в)

 

 

г)

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.22

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Зададим нумерации вершин. Матрицы смежности имеют следующий вид:

 

0

1

0

0

1

 

 

 

0

1

2

0

 

 

 

 

1

0

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0

0

0

 

 

а) А =

 

0 1

0

0

0

 

;

б) А =

 

 

;

 

 

0

1

0

0

1

 

 

 

 

2

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

0

 

 

 

 

1

2

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

1

0

 

 

 

 

1

1

0

0

 

 

 

в) А =

 

 

;

г) А =

 

1

0

0

1

 

 

 

 

 

 

1

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Составить матрицу инцидентности графа, изображенного на рис. 2.23.

Решение. Зададим нумерацию вершин и построим матрицу инцидентности.

 

 

 

 

1

1

0

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

 

1

1

 

 

 

 

 

E =

 

 

 

.

 

 

 

 

0

1

1

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

 

0

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти характеристические

 

 

 

 

многочлены для графов,

 

 

 

 

 

 

 

изображенных на рис. 2.24

 

 

 

 

 

Решение. Зададим нумерацию вершин

4

и составим матрицы инцидентности.

 

 

0

1

 

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

=

0

0

 

0

0

0

 

,

 

 

 

 

1

 

1

0

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

1

1

 

 

 

 

 

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

0

1

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

e1

2

 

 

 

 

e2

 

e3

e4

e5

4 5

Рис. 2.23

2 1

3

5 2 3 4 5

Рис. 2.24

 

0

1

1

1

1

 

 

 

1

0

0

0

0

 

 

 

 

A

=

1

0

0

0

0

.

2

 

1

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

1

0

0

0

0

 

 

 

 

Найдем характеристические многочлены.

 

 

λ

1

 

0

1

0

 

 

1

λ

0

0

1

= λ3 (λ2 4) ,

| A λE |=

0

0

λ 0

0

1

 

 

 

 

 

λ

 

 

 

1

0

 

0

1

 

 

0

1

 

0

1

λ

 

 

 

λ

1

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

1

λ

0

0

0

= λ3 (λ2 4) .

| A λE | =

 

1

0

λ 0

0

2

 

 

 

 

 

λ

 

 

 

 

1

0

 

0

0

 

 

 

1

0

 

0

0

λ

 

Таким образом, графы не изоморфны, но имеют одинаковые характеристические многочлены.

Задачи для самостоятельного решения

1.Составить матрицы смежности и инцидентности для полного графа порядка п.

2.Составить матрицы смежности и инцидентности для графов, изображенных на рис. 2.8, занумеровав из другим способом. С помощью этих матриц докажите изоморфность графов.

3.Возвести матрицу смежности графа К4 в квадрат. Какой смысл имеют элементы получившейся матрицы?

4.Пусть A = A(G), Am = B . Доказать, что bij равно количеству путей длины т из вершины i в вершину j.

5.Построить матрицу смежности и матрицу инцидентности, найти ранг графа С4.

6.Построить матрицу смежности и матрицу инцидентности, найти ранг графа К2,2.

7.Пусть Gп – граф, множество вершин которого совпадает с отрезком натурального ряда {1, 2, …, n}, а множество ребер определяется условием: несовпадающие вершины и и v смежны тогда и только тогда, когда и и v взаимно просты.

а) Записать матрицу смежности графа G5, найти его ранг и диаметр.

б) Является ли граф Gп связным?

в) Доказать, что при т < n граф Gт является порожденным подграфом графа Gп.

8.Изобразить графы, имеющие следующие матрицы смежности; для

графа из задания а) найти

диаметр, ранг, указать центр,

периферийные, доминирующие и концевые вершины:

 

 

 

0 1

0

0

0

 

2 1 0 1 0

 

 

 

 

1

0

1

1

0

 

 

 

1 0 0 1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

A =

0

1

0

1

0

;

 

б) A =

0 0 0 1 0

 

;

 

 

0

1

1

0

1

 

 

 

1 1 1 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

1

0

 

 

 

0 0 0 1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 2

0

0

0

 

0 0 0 2 0

 

 

 

 

2

0

1

0

0

 

 

 

0

0

1

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

A =

0

1

0

1

0

 

;

г) A =

0

1

0

0

0

.

 

 

0

0

1

0

0

 

 

 

0

1

1

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

0

 

 

 

0

0

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.Изобразить графы, имеющие следующие матрицы инцидентности, для графа из задания а) найти диаметр, ранг, указать центр, периферийные, доминирующие и концевые вершины:

1 0 1 0 1

0

0

 

1

0

1 0

0

0

0

 

0

 

 

 

1

0

0

0

 

 

 

 

1

1

0

1

0

1

0

 

 

1 0

0 1

 

 

 

0

1

0

1

1

0

1

 

0

а) E = 0 1 0 0 0

 

 

 

; б) E =

 

0

0

0

0

0

0

0

1 1 0 .

 

0 0 1 0 0

1

1

 

 

0 1 0

0 1

0

0

 

1

 

 

 

 

0 0 0 1 1

0

1

 

 

 

 

1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

1

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1 ...

1

0

0 ...

0

...

0

 

 

 

0

1

1

...

1

 

1

0 ...

0

1

1 ...

1

...

0

 

 

 

 

1

0

1

...

 

 

 

 

1 ...

0

1

0 ...

0

...

0

 

 

 

 

1

0

 

1. A = 1

1

0

...

1

, E =

0

0 ...

0

0

1 ...

0

...

0

.

 

 

... ... ...

...

...

... ... ... ... ... ... ...

...

...

...

 

 

 

 

 

1

1

...

 

 

 

 

0 ...

0

0

0 ...

0

...

1

 

 

 

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 ...

1

0

0 ...

1

...

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

2. Указание: перенумеровать строки и столбцы таким образом, чтобы

из одной матрицы получилась другая.

 

 

3

2

2

2

 

 

 

 

2

3

2

2

 

3. K

2

 

 

 

=

2

2

3

2

.

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

3

 

 

 

 

 

bii

= 3 , так как существует ровно 3 пути из vi

в vi ,

bij

= 2,

 

i j, равно 3, так как существует ровно 2 пути из vi в v j .

4. Указание: показать, что bij

= ai i2 ai2i3 ...aim12 j .

 

 

0

1

0

0

 

 

1

0

0

 

 

 

 

 

 

1

0

1

0

 

 

 

 

1

1

0

 

 

 

 

5.

A =

 

 

,

E =

 

 

,

rank G

= 4 .

 

0

1

0

1

 

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

0

 

 

 

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1 0 1

 

 

 

 

1

0

0

1

 

 

 

 

 

1 0 1 0

 

 

 

 

 

1

1

0

0

 

 

 

6. A

=

 

 

,

E =

 

 

,

rank G = 2.

 

0 1 0 1

 

 

0

1

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0 1 0

 

 

 

 

 

1

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

1

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. а)

A =

1

0

0

 

0

0

 

, rank G = 3 . б) связный, ( G) = 2.

 

 

 

 

1

1

0

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. а) См. рис. 2.25;

( G) = 4 ; rank G = 4 ; вершины 2, 3, 4 –

центральные; 1, 5 – периферийные; доминирующих нет; 1, 5 – концевые;

б) см. рис. 2.26; в) см. рис. 2.27; г) см. рис. 2.28.

9. а) См. рис. 2.30; ( G) = 2 ; rank G = 5 ; вершина 2 – центральная; 1,

3, 4, 5 – периферийные; 2 – доминирующая; 1 – концевая; б) см. рис. 2.30.

1