Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
395
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
2.43 Mб
Скачать

Задачи для самостоятельного решения

1. Автомат задан таблицей 3.5. Найти: а) ϕ(q2 , 0120), б) ψ(q3 ,1120).

 

 

 

 

Табл. 3.5

 

 

 

 

0

 

1

2

 

a,a

 

 

 

 

b,a

 

q1

q2

a

q3

q2

q1

q2

 

 

b

a

 

b,a

 

q2

q1

 

q2 b

q3 a

 

a,b

b

a,a

q3

 

q3

q1

a

q2

q2

 

 

b,b

 

 

a

b

 

 

Рис. 3.13 2. Автомат задан диаграммой Мура, изображенной на рис. 3.13. Найти: а) ϕ(q3 ,baab), б) ϕ(q3 , a200 ), в) ψ(q2 , abab),

г) ψ(q2 ,b10 ).

3. Автомат задан каноническими уравнениями

q(t +1) = q(t) + a(t) +1,b(t) = q(t) + 2a(t),

где Q = A = B ={0, 1, 2} и вычисления производятся по модулю 3.

Найти: а) ϕ(0,1220), б) ψ(1,1021).

Ответы:

1. а) q1; б) abaa. 2. а) q1; б) q2 ; в) bbaa; г) a2b8. 3. а) 2; б)

0020.

§3.4. Приведённый автомат

ϕ(q, a) ~/ ϕ(q, a).
q ~ q.

Назовём состояния q и qавтомата V = ( A,Q, B,ϕ,ψ)

неотличимыми, если ψ(q, w) =ψ(q, w) для всех w A+.

Состояния q и qотличимы, если ψ(q, w) ψ(q, w) при

некотором w A+. Положим q ~ q, если q и qнеотличичимы. Нетрудно видеть, что отношение неотличимости ~ на множестве Q состояний автомата V является отношением эквивалентности. Это отношение вызывает разбиение множества Q на непересекающиеся классы эквивалентности: Q = Q1 Q2 ... Qk . При этом любые

два состояния q, q, лежащие в одном классе, неотличимы, а любые два состояния из разных классов отличимы.

Множество классов отношения ~ (фактор-множество Q / ~) обозначим

 

через Q. Построим новый автомат V. В качестве входного и

 

A и B,

выходного алфавитов автомата V возьмём те же множества

которые были у автомата V , а в качестве множества состояний возьмём

множество Q.

Надо определить теперь функции ϕ€: Q × A

Q и

 

 

ψ€ : Q × A B.

 

a A. Наиболее естественным является следующее

Пусть qQ,

определение значения ϕ€(q€, a) : взять какой-нибудь элемент q, принадлежащий классу q€, найти ϕ(q, a), а затем класс, в котором лежит элемент ϕ(q, a), объявить значением ϕ€(q€, a). То есть считать, что

^

^

^

 

ϕ

(q, a) =ϕ(q, a)

(1)

Докажем корректность этого определения, т.е. независимость от выбора представителя в классе эквивалентности. Пусть Определение будет некорректным, если окажется, что

Докажем, что определение корректно. Если

ϕ(q, a) ~/ ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(q , a), то ψ(ϕ(q, a), w) ψ(ϕ(q , a), w) при

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

некотором w A

. Это означает, что ψ(q, aw)

 

 

ψ(q , aw).

Следовательно, q ~/ q, что противоречит условию. Итак,

q ~ q

ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

(q, a) ~ ϕ(q , a), поэтому определение (1) корректно.

Функцию ψ

 

 

 

 

 

 

 

определим на Q по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ψ€(q€, a) =ψ(q, a).

(2)

По определению неотличимости состояний мы имеем

q ~ q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ψ(q, a) ~ ψ(q , a), поэтому определение (2) корректно.

 

 

 

 

 

 

Автомат V = ( A,Q, B,ϕ€,ψ€) называется приведённым автоматом,

соответствующим автомату V = ( A,Q, B,ϕ,ψ).

Докажем, что у приведённого автомата все состояния отличимы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

друг от друга. Пусть q€ ~ q. Тогда

ψ

(q€, w) =

ψ

(q, w) для всех

w A

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Отсюда по формуле (2) получаем, что ψ(q, w) =ψ(q , w)

при всех w A

+

 

 

 

 

. Следовательно, q ~ q . Отсюда следует, что

 

 

 

 

q= q.

 

 

Итак, у автомата V

неотличимыми являются только

совпадающие друг с другом состояния.

Автомат V = ( A,Q, B,ϕ,ψ) и приведённый автомат

V =

( A,Q, B,ϕ€,ψ€) работают одинаково: для любой входной

последовательности a(1)a(2)a(3) ... последовательность

 

b(1)b(2)b(3) ... на выходе автомата V и автомата V одна и та же:

b(1) =ψ(q, a(1)) =ψ€(q€, a(1)),

b(2) =ψ(q, a(1)a(2)) =ψ€(q€, a(1)a(2)) и т.д. (здесь q начальное

состояние).

Типовые задачи

Пример 1. Построить приведённый автомат для автомата, заданного следующей диаграммой Мура, изображенной на рис. 3.14.

Решение. Вычислим: ψ(q1,0) =1, ψ(q2 ,0) =1, ψ(q3 ,0) = 0,

ψ(q4 ,0) =1, ψ(q5 ,0) =1. Следовательно, состояние q3 отличимо

q1

0,1

1,0

от всех остальных. Мы

получаем (пока) следующее

q2

разбиение множества

Q ={q1, q2 , q3 , q4 , q5} на

1,1

,1

q3

0

 

1,0

 

классы, т.е. непересекающиеся

 

0

 

,

 

 

 

подмножества:

 

0

0

 

 

Q ={q3} {q1, q2 , q4 , q5}

 

 

 

 

 

1,1

 

 

,

 

 

 

 

 

 

1 0,1

 

 

 

0,1

q4

 

 

 

 

q5

(далее это разбиение будет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

измельчаться).

 

 

 

Рис. 3.14.

 

 

Далее вычисляем:

 

 

 

 

 

ψ(q1,1) =1, ψ(q2 ,1) = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

ψ(q4 ,1) =1, ψ(q5 ,1) = 0. Отсюда следует, что q1 не может лежать в одном классе с q2 или q5 , q2 с q1 или q4 и т.д. Разбиение,

полученное ранее, измельчается до следующего:

Q ={q3} {q1, q4} {q2 , q5}. Положим K1 ={q3},

K2 = {q1, q4 }, K3 ={q2 , q5}. Покажем, что это окончательное разбиение. Имеем: ϕ(q1,0) = q3 , ϕ(q4 ,0) = q3 , поэтому

ϕ(K2 ,0) K1. Аналогично получаем ϕ(K2 ,1) K2 и т.д., т.е. функция ϕ “не разбивает” классы. Следовательно, классы K1, K2 , K3

можно считать состояниями нового автомата. Это и есть приведённый автомат, его диаграмма Мура изображена на рисунке 3.15.

1,1

0,1

 

 

0,0

1,0

K2

K1

 

K3

 

 

 

1,0

0,1

 

 

 

 

Рис. 3.15.

 

 

Пример 2. Построить приведённый автомат для автомата V , заданного следующей таблицей 3.6:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Табл. 3.6

 

q1

q2

 

q3

q4

 

q5

0

q3

1

q1

1

q4

q1

1

q1

1

 

 

 

 

0

 

 

1

q4

1

q5

0

q3

1

q4

0

q4

0

 

 

 

 

 

 

Решение. Верхняя строка таблицы 11011 определяет разбиение

σ: Q ={q3} {q1, q2 , q4 , q5}, нижняя строка разбиение

τ: Q ={q1, q3} {q2 , q4 , q5}. Их пересечение σ τ это разбиение

Q ={q1} {q3} {q2 , q4 , q5}. Докажем, что состояния q2 , q4 , q5 неотличимы друг от друга. В столбцах таблицы, соответствующих этим

состояниям, мы имеем: 1 , 1 , 1 , значит, функция ψ на

0 0 0

состояниях q2 , q4 , q5 принимает одинаковые значения. Кроме того,

 

q

 

q

 

q

 

 

 

другая часть столбцов:

1

 

1

 

1

 

такова, что q5

, q4 , q4 лежат

 

,

,

 

 

q5

 

q4

q4

 

 

 

в одном классе разбиения. Это доказывает, что q2 , q4 , q5

неотличимы.

Из таблицы автомата V теперь нетрудно получить таблицу

приведённого автомата для этого

V

достаточно взять по одному представителю в каждом классе разбиения σ τ. Таким образом, мы получаем таблицу 3.7:

 

 

 

 

 

Табл. 3.7

 

q1

q2

q3

0

q3

1

q1

1

q2

0

 

 

 

 

1

q1

1

q2

0

q3

1

 

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Автомат V задан диаграммой Мура. Построить диаграмму Мура

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

приведённого автомата V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q1

a,0

 

q2

 

 

a,0

 

 

 

 

 

0,a

 

 

 

 

1,a

,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

a,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q1

 

 

0,b

 

q2

 

 

 

b

,0

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q3

 

,1

 

 

a,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,a

 

 

 

,

 

1,a

 

 

a

 

 

,0

 

 

,

 

 

 

 

1,a

 

b

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

b,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q3

 

 

 

 

q4

 

 

 

 

 

 

q4

 

 

 

q6

 

 

 

 

 

0,a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Автомат V задан таблицей. Построить таблицу приведённого

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

автомата V

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Табл.3.8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Табл.3.9

 

 

 

q1

q2

 

q3

q4

 

 

q1

q2

q3

q4

 

q5

 

0

q2

0

q1

0

q2

1

 

 

a

q2

a

q1

a

q5

a

q1

a

q3

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

q1

1

q3

0

q4

 

1

 

 

b

q5

b

q4

a

q2

b

q3

b

q4

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

Ответ:

1.

1,a

0,a

1,a

q1

 

0,b

q2

 

 

а)

Рис. 3.18

 

 

 

 

q1

a,0

 

 

1

 

 

a

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

,

 

b

 

 

,0

 

1

 

 

 

 

 

 

q3

b

a,1

q4

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

,

 

a,1

 

 

b

 

b,1

 

 

 

 

 

 

 

 

q5

 

 

 

 

 

 

 

б)

2.

 

 

 

Табл. 3.10

 

q1

q2

q3

0

q2

0

q1

0

q2

1

 

 

 

 

1

q1

1

q3

0

q1

1

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

Табл.3.11

 

q1

q2

q4

a

q2

 

q1

 

1

 

a

 

a

q

c

 

 

 

 

b

q2

b

q4

a

q1

b

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

§3.5. Периодичность выходной последовательности конечного автомата

Мы докажем, что любой конечный автомат перерабатывает периодическую входную последовательность в периодическую выходную, период которой не превышает nτ, где τ период входной

последовательности, а n =| Q | количество состояний автомата.

Доказательство будет основываться на следующем (легко доказываемом) замечании: если входная последовательность имеет

период τ1, а последовательность состояний автомата – период τ2 , то

выходная последовательность будет иметь период НОК(τ1,τ2 ), где

НОК обозначает наименьшее общее кратное.

В теореме этого раздела и во многих других вопросах теории автоматов будет удобно использовать сокращённые обозначения для функций ϕ

и ϕ. А именно, пусть V = ( A,Q, B,ϕ,ψ) автомат, q Q, a A и w A . Если q′ = ϕ(q, a), то этот факт мы будем записывать просто: q′ = qa. Аналогично этому вместо записи q′′ = ϕ(q, w) будем использовать сокращённую запись q′′ = qw.

Теорема. Если входная последовательность конечного автомата является периодической, то выходная последовательность также периодическая.

Доказательство. Пусть V = ( A,Q, B,ϕ,ψ) конечный автомат.

Предположим, что на вход автомата поступает периодическая последовательность a(1)a(2)a(3).... Если τ её период, то

a(t +τ) = a(t) при t t0 , где t0 момент времени, с которого начинается период. Введём в рассмотрение следующие слова:

w = a(1)a(2) ... a(t0 1)

предпериод входной последовательности и

u = a(t0 )a(t0 +1) ... a(t0 +τ 1)

период. Пусть q0 начальное состояние автомата. Положим q = q0 w.

Рассмотрим последовательность состояний q, qu, qu2 , ... qun . Так как число членов этой последовательности равно n +1 >| Q |, то среди них есть совпадающие, т.е. существуют различные i, j n такие, что

qui = qu j . Можно считать, что j > i. Тогда j = i + m, где m > 0 и

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.