![](/user_photo/528_5NJmi.jpg)
- •Предисловие
- •§1.2. Функции алгебры логики
- •§1.3. Формулы. Реализация булевых функций формулами
- •§1.4. Специальные представления булевых функций
- •§1.5. Полнота, замкнутость. Теорема Поста о полноте
- •§1.6. Дизъюнктивная нормальная форма
- •§1.7. Схемы из функциональных элементов
- •Глава 2. Графы
- •§2.1. Основные определения
- •§2.2. Способы задания графов
- •§2.3. Связность
- •§2.4. Раскраски графов. Планарность
- •§2.5. Потоки в сетях
- •Глава 3. Автоматы
- •§3.1. Определение и примеры автоматов
- •§3.2. Диаграмма Мура и таблица автомата
- •§3.4. Приведённый автомат
- •§3.6. Теоремы Мура
- •§3.7. Ограниченно-детерминированные функции. Информационное дерево
- •§3.8. Синтез автоматов
- •§3.9. Алгебраический подход к теории автоматов
- •Глава 4. Алгоритмы и машины Тьюринга
- •§4.1. О понятии алгоритма. Тезис Чёрча
- •§4.2. Машина Тьюринга
- •§4.3. Рекурсивные функции
- •§4.4. Алгоритмически неразрешимые задачи
- •Содержание
§1.5. Полнота, замкнутость. Теорема Поста о полноте
~ k |
) и |
~ n |
|
~ n |
) функция |
Определение. Для функций f (x |
f1 (x |
), K, fk (x |
|||
ϕ(x1 , K, xn ) = f ( f1 (x1 , K, xn ), K, |
fk (x1 , K, xn )) называется |
||||
суперпозицией. |
|
|
|
|
|
Определение. Класс булевых функций Ψ ={ f1 , K, |
fk , K} называется |
||||
функционально полным, если любая функция из P2 |
может быть |
||||
представлена в виде формулы над Ψ . |
|
|
|
|
Замечание. Класс Ψ может быть конечным или бесконечным.
Примеры полных классов: а) Ψ = P2 ; б) Ψ ={x, x1 & x2 , x1 x2 } (любая булева функция выражается формулой в виде конъюнкции, дизъюнкции и инверсии); в) Ψ ={0, 1, x1 & x2 , x1 x2 } − для любой
булевой функции можно привести ее полином Жегалкина. Определение. Пусть K − некоторый класс булевых функций. Замыканием K называется множество всех булевых функций, получающихся в виде формул над K (обозначается [K] ).
Свойства:
1.K1 K2 [K1 ] [K2 ] .
2.K [K] .
3.[[K]]=[K].
Определение. Класс K называется: – замкнутым, если [K] = K ; – полным, если [K] = P2 ; – предполным, если K не полный, но для любой функции f K класс K1 = K { f } − полный.
Важнейшие замкнутые классы
Обозначим через T0 ={ f | f (0, K, 0) = 0} ; T1 ={ f | f (1, K, 1) =1} ;
S ={ f | f |
= f *} − |
класс самодвойственных функций; |
||||
|
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
M ={ f | α |
, β |
:αpβ f (α) ≤ |
f (β)} − класс монотонных функций, |
|||
а функция |
f M |
называется монотонной; |
L ={ f | f (x1 , K, xn ) =α0 α1 x1 K αn xn } − класс линейных функций, а f L называется линейной.
Лемма. Классы T0 , T1 , S, M , L |
замкнутые. |
|
|
|||||||||||||
Доказательство. а) Пусть функция F = f ( f1 , K, fk ) , где |
|
|||||||||||||||
f , |
f1 , K, fk Т0 . Покажем, что F T0 . Действительно, |
|
||||||||||||||
|
F (0, K, 0) = f ( f1 (0, K, 0), K, |
fk (0, K, 0)) = f (0, K, 0) = 0 . |
||||||||||||||
Следовательно, класс T0 замкнут. |
|
|
|
|
||||||||||||
б) Аналогично предыдущему доказывается замкнутость класса T1 . |
||||||||||||||||
в) Пусть функция F = f ( f1 , K, |
fk ) , где |
f , |
f1 , K, fk − |
|
||||||||||||
самодвойственные, тогда F* = f * ( f1*, K, |
fk *) = f ( f1 , K, |
fk ) = F , |
||||||||||||||
т. е. . F S . Следовательно, класс S замкнут. |
|
|||||||||||||||
г) Пусть функция F = f ( f1 , K, |
fk ) , где |
f , |
f1 , K, fk M . Покажем, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
~ |
= (x1 , K, xn ), |
~ |
|
|
|
|||||
что F M . Пусть x |
x1 = (x11 , K, x1p ), K, |
|
||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= (xk1 , K, xkpk ) |
Наборы переменных состоят из переменных, |
|||||||||||||||
xk |
||||||||||||||||
встречающихся у функций F, |
f1 , K, fk соответственно. |
|
||||||||||||||
|
~n |
и |
~ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|||
Пусть α |
|
β |
|
− два набора значений переменных x . Они |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
~ |
, |
~ |
|
~ |
~ |
значений переменных |
||||
определяют наборы α1 |
β1 , K |
, αk , |
βk |
|||||||||||||
~ |
~ |
|
|
|
|
~ |
|
~ |
|
|
~ |
|
~ |
|
||
x1 , K, xk , причем α 1 |
p β 1 , K , |
α k |
p β k . Так как |
|
||||||||||||
f1 , K, fk M , то |
|
|
~ |
|
|
|
~ |
~ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
~ |
|
|
f1 (α1 ) |
≤ f1 (β1 ), K, fk (αk ) ≤ fk (βk ) . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
~ |
|
|
~ |
f M , |
||
Тогда ( f1 (α1 ), K, fk (αk )) p( f1 (β1 ), K, fk (βk )) . Функция |
||||||||||||||||
поэтому |
|
|
|
~ |
|
|
~ |
|
≤ f |
|
~ |
~ |
|
|||
|
f ( f1 (α1 ), K, |
fk (αk )) |
( f1 (β1 ), K, fk (βk )) . Откуда |
|||||||||||||
|
~ |
= f |
|
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
~ |
~ |
~ |
||
|
F(α) |
( f1 (α1 ), K |
, fk (αk )) ≤ |
f ( f1 (β1 ), K, fk (βk )) = F(β) . |
Следовательно, класс S замкнут.
д) Класс L замкнут, так как линейное выражение, составленное из линейных выражений, является линейным.
![](/html/528/114/html_1CNQK3YEQp.z5AP/htmlconvd-EbJZSO52x1.jpg)
Лемма (о несамодвойственной функции). Если f (x1 , K, xn ) S , то из нее путем подстановки функций x и x вместо xi можно получить несамодвойственную функцию одного переменного, т.е. константу. Доказательство. Так как f (x1 , K, xn ) S , то существует такой
набор (α1 , K, αn ) такой, что f (α1 , K, αn ) = f (α1 , K, αn ) . Рассмотрим функцию ϕi (x) = xαi , 1 ≤ i ≤ n . Пусть
ϕ(x) = f (ϕ1 (x), K, ϕn (x)) .
Тогда
ϕ(0) = f (ϕ1 (0), K, ϕn (0)) = f (0α1 , K, 0αn ) = f (α1 , K, αn ) = = f (α1 , K, αn ) = f (1α1 , K,1αn ) = f (ϕ1 (1), K, ϕn (1)) =ϕ(1).
Следовательно, получили константу 0 или 1. |
|
|
|
|||||||
Замечание. Если αi = 0 , то вместо xi |
подставляем |
|
|
, если же αi = 1 |
||||||
x |
||||||||||
то x (или наоборот). |
|
|
|
|
|
|
|
~ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) , |
||
Замечание. Для того чтобы определить является ли функция f (x |
|
|||||||||
|
|
~ |
, самодвойственной, следует |
|||||||
заданная своим вектором значений α f |
||||||||||
|
|
|
|
~ |
|
из первой |
|
|
||
проверить, получается ли вторая половина вектора α f |
|
|
||||||||
отражением и последующего инвертирования его координат. |
|
|
||||||||
|
|
|
~ n |
) M , то подстановкой |
||||||
Лемма (о немонотонной функции). Если f (x |
||||||||||
констант 0 , 1 и функции x из нее можно получить |
|
. |
|
|
||||||
x |
|
|
||||||||
Доказательство. Если f (x1 , K, xn ) M , то найдутся два набора |
|
|||||||||
~ |
и |
~ |
~ |
~ |
|
|
|
~ |
~ |
|
значений переменных α1 |
β1 таких, что α1 p β1 и |
f (α1 ) > f ( |
β1 ) . |
|||||||
~ |
~ |
различаются в m координатах |
|
|
||||||
Поскольку наборы α1 и |
β1 |
|
|
(1 ≤ m ≤ n ), то меняя по одной координате между ними можно вставить
m −1 наборов таких, что |
|
~ ~ |
~ ~ |
~ |
|
α1 pα |
2 pα3 pKpαm p β1 . |
![](/html/528/114/html_1CNQK3YEQp.z5AP/htmlconvd-EbJZSO53x1.jpg)
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
Так как f (α1 ) |
> f ( β1 ) , то в этой цепочке найдется два соседних |
|||||||
~ |
|
и |
~ |
+1 |
~ ~ |
и |
~ |
~ |
переменных αk |
αk |
таких, что αk pαk +1 |
f (αk ) > f ( αk +1 ) . |
Пусть эти наборы различаются в i - ой координате:
α~k = (α1, K, αi−1, 0, αi+1, K, αn )
α~k +1 = (α1 , K, αi−1 , 1, αi+1 , K, αn ) .
Рассмотрим функцию
ϕ(x) = f (α1 , K, αi−1 , x, αi+1 , K, αn ) .
Получаем |
|
|
|
|
~ |
|
~ |
ϕ(0) = f (α1 , K, αi−1 , 0, αi+1 , K, αn ) = |
|
||||||
f (αk ) > f ( αk +1 ) = |
|||||||
= f (α1 , K, αi−1 , 1, αi+1 , K, αn ) =ϕ(1). |
|
|
|||||
Поскольку, ϕ(0) >ϕ(1) , то ϕ(x) = x . |
|
|
|
|
|||
Замечание. Для проверки на монотонность функции |
~ n |
) , заданной |
|||||
f (x |
|||||||
|
|
~ |
, нужно сначала разделить его две равные |
||||
своим вектором значений α f |
|||||||
~ |
|
|
~ |
= (α2n−1 , K, α2n −1 ) . Если |
|||
части α f 0 = (α0 , α1 ,K, α2n−1−1 ) и α f 1 |
|||||||
~ |
~ |
не выполнено, то |
~ n |
) немонотонная. В |
|||
отношение α f 0 pα f 1 |
f (x |
||||||
противном случае разделим каждый из полученных векторов опять |
|||||||
~ |
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
пополам α f 0,0 |
, α f 0,1 |
и α f 1,0 |
, α f 1,1 . Проверим сначала первую пару на |
||||
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
выполнение отношения α f 0,0 pα f 0,1 , и в случае положительного
результата вторую. Если хотя бы для одной пары отношение не выполняется, то функция немонотонная. В противном случае этот алгоритм продолжаем дальше.
Лемма (о нелинейной функции). Если f (x1 , K, xn ) L , то из нее
путем подстановки констант 0 , 1 и функций x и x , а также, быть может, инвертированием f , можно получить функцию x1 & x2 . Доказательство. Возьмем полином Жегалкина для f :
f (x1 , K, xn ) = |
|
ai1Kis xi1 Kxis . |
(i1 |
,K,is ) |
|
0≤i1 |
<K<is ≤n |
![](/html/528/114/html_1CNQK3YEQp.z5AP/htmlconvd-EbJZSO54x1.jpg)
В силу нелинейности полинома в нем найдется член, содержащий не менее двух множителей. Без ограничения общности можно считать, что
среди этих множителей присутствуют x1 и x2 . Тогда можно преобразовать полином следующим образом:
ai1Kis xi1 Kxis = x1 x2 f1 (x3 ,K, xn )
(i1 ,K,is ) 0≤i1<K<is ≤n
x1 f2 (x3 ,K, xn ) x2 f3 (x3 ,K, xn ) f4 (x3 ,K, xn ) ,
где в силу единственности полинома f1 (x3 ,K, xn ) ≡/ 0 .
Пусть α3 ,K, αn таковы, что f1 (α3 ,K,αn ) =1. Тогда
ϕ(x1 , x2 ) = f (x1 , x2 ,α3 ,K,αn ) = x1 x2 α x1 β x2 γ ,
где α, β,γ – константы, равные 0 или 1. Рассмотрим функцию
ψ(x1 , x2 ) , получаемую из ϕ(x1 , x2 ) следующим образом:
ψ(x1 , x2 ) =ϕ(x1 β, x2 α) αβ γ .
Очевидно, что
ϕ(x1 β, x2 α) αβ γ = (x1 β)(x2 α)
α(x1 β) β(x2 α) γ αβ γ = x1 x2 .
Следовательно, ψ (x1 , x2 ) = x1 & x2 .
Лемма. Классы T0 , T1 S, M , L попарно различны.
Доказательство. Для доказательства леммы приведем функции, лежащие в классах, но так, чтобы классы взаимно не поглощались.
Рассмотрим функции 0,1, x и построим таблицу принадлежности
классам. В таблице будем ставить «+», если функция принадлежит классу, и «–» в противном случае.
|
|
|
T0 |
T1 |
S |
M |
L |
0 |
|
+ |
– |
– |
+ |
+ |
|
1 |
|
– |
+ |
– |
+ |
+ |
|
|
|
|
– |
– |
+ |
– |
+ |
|
x |
Если бы какие-нибудь два класса совпадали, то совпадали и соответствующие столбцы таблицы. Так как они не совпадают, делаем вывод о попарном различии классов.
![](/html/528/114/html_1CNQK3YEQp.z5AP/htmlconvd-EbJZSO55x1.jpg)
Теорема Поста (о полноте). Для того чтобы система функций Φ была полной необходимо и достаточно, чтобы она целиком не содержалась
ни в одном из пяти замкнутых классов T0 , T1 S, M , L . Доказательство. Необходимость. Пусть система Φ полна. Тогда [Φ] = P2 . Допустим, что Φ содержится целиком, в каком из пяти классов (обозначим его через R ), т.е. Φ R . В этом случае
P2 =[Φ] [R] = R . Получаем противоречие с только что доказанной
леммой.
Достаточность. Пусть Φ не содержится целиком ни в одном из пяти классов Поста. Выделим из нее подсистему функций, зависящих от
переменных x1 , K, xn , Φ′ ={ f1 , f2 , f3 , f4 , f5 } , где f1 T0 , f2 T1 , f3 S, f4 M , f5 L , и на ее основе построим полную систему.
1. При помощи f1 , |
f2 , f3 построим функции (константы) 0 |
и 1. Так как |
f1 T0 , то либо (а) |
f1 (1, K,1) =1 либо (б) f1 (1, K,1) = 0 . |
|
(а) Рассмотрим функцию ϕ(x) = f1 (x, K, x) . Из цепочки равенств
ϕ(0) = f1 (0, K, 0) =1 = f1 (1, K,1) =ϕ(1) следует, что ϕ(x) ≡1. (б) В этом случае для функции ϕ(x) = f1 (x, K, x) получаем
ϕ(0) = f1 (0, K, 0) =1 = f1 (1, K,1) =ϕ(1) , т.е. ϕ(x) ≡ x .
Вторую константу получаем, используя функцию f2 .
Если же константы построить не удалось, то, взяв полученную функцию
x строим с помощью x и f3 (лемма о несамодвойственной функции) константы.
2. Если же константы построить удалось, то, используя функцию f4
(лемма о немонотонной функции) строим x .
3. При помощи 0, 1, x и f5 (лемма о нелинейной функции) строим
функцию x1 & x2 .
Система Φ′′ ={x, x1 & x2 } − полная. Тогда и Φ′ − полная.
Следствие 1. Из всякой полной системы можно выделить полную подсистему, содержащую не более пяти функций.
Лемма. Из всякой полной системы можно выделить полную подсистему, содержащую не более четырех функций.
![](/html/528/114/html_1CNQK3YEQp.z5AP/htmlconvd-EbJZSO56x1.jpg)
Доказательство. Так как f1 T0 , то либо f1 S либо f1 M . Тогда полная система будет состоять из функций { f1 , f2 , f4 , f5} либо
{ f1 , f2 , f3 f5 } .
Пример 1. Определить количество функций классов T0 и T1 , зависящих от переменных x1 , K, xn .
Решение. Вектор значений функции f T0 имеет вид
~ |
= (0, α1 , K, α2n −1 ) , т.е. определено только значение на нулевом |
α f |
|
наборе переменных, свободных же 2n −1. Следовательно, |
|
| T |
| = 22n −1 . Аналогично вычисляется количество функций класса T . |
0 |
1 |
Пример 2. Определить количество самодвойственных функций, зависящих от n переменных.
Решение. Функция f S принимают противоположные значения на
противоположных наборах переменных. Поэтому для ее задания достаточно задать первую половину ее вектора значений
~
α f = (α0 , α1 ,K, α2n−1−1 , α2n−1−1 , K, α0 ) . Следовательно, различных
144424443
2n−1
самодвойственных функций, зависящих от переменных n , 22n−1 . Пример 3. Определить количество линейных функций, зависящих от переменных x1 , K, xn .
Решение. Различных линейных функций от переменных x1 , K, xn
столько же, сколько различных векторов (α0 , α1 , K, αn ) , т.е. 2n+1 .
Задачи для самостоятельного решения.
1.Привести все самодвойственные функции от двух переменных.
2.Выяснить, является ли самодвойственной функция f :
а) |
f = xy yz zx ; |
б) f = x y z 1; |
||||
в) |
f = (x |
|
z)t x |
|
z ; |
|
y |
y |
|
![](/html/528/114/html_1CNQK3YEQp.z5AP/htmlconvd-EbJZSO57x1.jpg)
3. Выяснить, является ли самодвойственной функция f , заданная
векторно: |
|
~ |
|
|
|
|
|
||||
~ |
= |
(1010) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) α f |
|
|
~ |
б) α f = (10010110) ; |
|||||||
~ |
= |
(10110101) ; |
= (1100100101101100) . |
||||||||
в) α f |
г) α f |
||||||||||
4. Определить, какие из переменных функций |
~ n |
||||||||||
f (x |
) следует заменить |
||||||||||
на x , а какие на |
|
с тем, чтобы получить константу: |
|||||||||
x |
|||||||||||
~ |
= |
(10110110) ; |
~ |
= (11011000) ; |
|
|
|||||
а) α f |
б) α f |
|
|
||||||||
~ |
= |
(11001110) ; |
~ |
= (10001101000101100) . |
|||||||
в) α f |
г) α f |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ n |
) S : |
|||
5. Выяснить при каких n ≥ 2 функция f (x |
|
||||||||||
|
~ n |
|
|
|
|
~ n |
) |
= |
|
|
xi x j ; |
а) f (x |
) = x1 x2 K xn ; б) f (x |
|
|||||||||
|
|
) = xi x j . |
|
|
|
|
1≤i< j≤n |
||||
|
~ n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) f (x |
|
|
|
|
|
|
|
1≤i< j≤n
6.Привести все линейные функции от двух переменных.
7.Представив функцию f полиномом, выяснить, является ли она
линейной:
а) f = x → y x y ; б) f = xy x y z ; в) f = (x → y) ( y → x)) ~ z .
8. Выяснить, является ли линейной функция f , заданная векторно:
~ |
= (1001) ; |
|
~ |
= (1101) ; |
а) α f |
~ |
б) α f |
||
~ |
= (10110101) ; |
= (0110100101101001) . |
||
в) α f |
г) α f |
9. Подставляя на места переменных нелинейной функции ~ n f (x )
функции из множества {0,1, x, y} , получить хотя бы одну из функций
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x & y, x & y, x & y : |
|
|
|
|
|
|
||||||
~ |
= (01100111) ; |
~ |
|
= (11010101) ; |
||||||||
а) α f |
б) α f |
|||||||||||
|
~3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = x1 x2 x2 |
x3 x3 x1 ; |
||||||||||
в) f (x |
||||||||||||
~ |
= (1101111111001111) . |
|
|
|||||||||
г) α f |
|
|
10. Найти число линейных функций |
~ n |
) , |
|
|
|
||||
f (x |
|
|
|
|
|||||
а) существенно зависящих в точности от k |
переменных; |
|
|||||||
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|||
б) удовлетворяющих условию f (0) |
= f (1) =1. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
~ n |
) : |
11. Выяснить, принадлежит множеству T0 \ T1 функция f (x |
|||||||||
~ 3 |
) = (x1 → x2 ) (x2 → x3 ) (x3 → x1 ) ; |
|
|
|
|||||
а) f (x |
|
|
|
||||||
~ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = x1 x2 x3 x1 x2 x1 . |
|
|
|
|
|
|
|||
б) f (x |
~ n |
|
|
|
|
||||
12. Выяснить, при каких n функция |
) T0 \ T1 : |
|
|||||||
f (x |
|
|
|||||||
~ n |
) = x1 x2 K xn ; б) |
~ n |
) = |
|
xi x j . |
|
|||
а) f (x |
f (x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1≤i< j≤n |
|
13.Приведите все монотонные функции от двух переменных.
14.Выяснить, является ли монотонной функция f :
а) f = (x y) (x ~ y) ; |
б) f = xy xz zy ; |
|
|||||||||
в) f = x1 → (x2 → x3 ) ; |
г) f = x1 (x2 → x3 ) x4 . |
||||||||||
15. Выяснить, является ли монотонной функция |
f |
, заданная векторно: |
|||||||||
~ |
= (0110) ; |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
а) α f |
|
|
б) α f = (10110111) ; |
|
|||||||
~ |
= |
~ |
= (001000110111111) . |
|
|||||||
в) α f |
(00010111) ; г) α f |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
~ n |
|
|
|
|
|
~ |
16. Для немонотонной функции f (x |
) указать два соседних набора α |
||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
~ |
~ |
и β значений переменных таких, чтоα p β и |
f (α) > f |
(β ) : |
|||||||||
|
~ 3 |
|
|
|
|
~ 3 |
|
|
|
|
|
|
) = x1 x2 x3 x1 x2 ; |
|
) = x1 |
x2 ; |
|
||||||
а) f (x |
б) f (x |
|
|||||||||
|
~ 4 |
) = x1 x3 x2 x4 . |
|
|
|
|
|
|
|
||
в) f (x |
|
|
~ n |
|
|
|
|
||||
17. Выяснить при каких n ≥ 2 |
|
|
) |
монотонна: |
|||||||
функция f (x |
|||||||||||
|
~ n |
|
|
|
|
~ n |
) = |
|
xi x j . |
||
а) f (x |
) = x1 x2 K xn ; б) f (x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1≤i |
< j≤n |
|
18. Подсчитать число функций, зависящих от переменных x1 , K, xn и принадлежащих множеству A :
а) A =T0 T1 ; б) A =T0 ∩ L ; |
в) A =T1 ∩ S ; |
г) A =T0 L ; д) A = L S T0 ; |
е) A = (L \ T0 ) ∩ S ; |
![](/html/528/114/html_1CNQK3YEQp.z5AP/htmlconvd-EbJZSO59x1.jpg)
ж) A = (S ∩ L) \ T1 ; |
з) A = S \ L ; |
и) A = L \ S . |
|
19. Выяснить, полна ли система функций A : |
|
||
а) |
A ={ f1 = (0110), f2 = (11000011), f3 = (10010110)}; |
||
б) |
A ={ f1 = (0111), f2 = (01011010), f3 = (01111110)} ; |
||
в) A ={xy, x y, x y, xy yz zx} ; |
|
||
г) A ={xy, x y, x y z 1} ; |
|
||
д) A = (S ∩ M ) (L \ M ) ; |
|
||
е) A = (L ∩T1 ∩T0 ) S \ (T1 T0 ) . |
|
||
|
|
Ответы |
|
1. x1 , |
x1 |
, x2 , |
x2 |
. 2. а) f S ; б) |
f S ; в) f S . 3. а) f S ; б) |
||
f S ; в) f S ; г) f S . 4. а) |
x1 , x3 заменить на |
|
, x2 на x или |
||||
x |
наоборот; б) существуют две пары наборов таких, что
f (α1 , K, αn ) = f (α1 , K, αn ) : (010) – (101) и (011) – (100). В первом случае заменив x1 , x3 на x , а x2 на x получим константу 0; во втором заменив x1 на x , а x2 , x3 на x получим константу 1; в) получим константу 1, заменив, например, x1 , x2 на x , а x3 на x получим константу 0; во втором заменив x1 на x , а x2 , x3 на x ; г) существуют
три пары наборов таких, что f (α1 , K, αn ) = f (α1 , K, αn ) : (0011) – (1100), (0100) – (1011) и (0110) – (1110). Можем координаты,
соответствующие 0 в первом наборе каждой пары заменяем на x , а соответствующие 1 – на x . 5. а) при нечетных n ; б) – в) при всех n ≠ 3 f S . 6. 0,1, x1 x2 , x1 , x1 , x2 , x2 , x1 ~ x2 . 7. а)
f = x → y x y =
x y (1 x) y = (x y) (1 x) y = x(1 y) (1 x) y = x y ; б) f L ; в) f L . 8. а) f L ; б) f L ; в) f L ; г) f L .
9. а) f (1, x, y) = x y ; б) f (x, y, 0) г) f ( y, 0,1, x) = x y . 10. а) 2 Cnk
= x y ; в) f (x, y,1) = xy ;
б) 2n−1 . 11. а) f T0 \ T1 ;
б) |
f T0 \ T1 . 12. а) при нечетных n ≥ 2 ; б) при всех n ≡ 2 (mod 4) и |
||||||
n ≡ 3 (mod 4) f T0 \ T1 . 13. 0,1, x1 x2 , x1 , x2 , x1 & x2 . |
|||||||
14. а) f M ; б) f M ; в) |
f M ; г) f M . 15. а) f M ; |
||||||
б) |
f M ; в) |
f M ; г) f M |
~ |
~ |
|||
. 16. а) α = (001) , |
β = (011) ; |
||||||
|
~ |
~ |
|
|
~ |
~ |
~ |
б) α = (010) , |
β = (011) или |
β |
= (110) ; α = (100) , |
β = (101) или |
|||
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
β |
= (110) ; в) α {(0101), (0111), (1010), (1011), (1101), (1110)} , |
||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
β = (1111) . 17. а) при n =1 f M , при |
|
||||||
n ≥ 2 f (x1 ,1, 0, K,1) = |
|
M |
б) при n = 2, 3 f M и f M при |
||||
x1 |
всех n ≥ 4 .