Добавил:

korayakov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

Литература / Учебник (Кожухов, Прокофьев, Соколова) / discret_mat.pdf

Скачиваний:

588

Добавлен:

16.04.2013

Размер:

2.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2216 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

a(1),

b(i)

§3.7. Ограниченно-детерминированные функции. Информационное дерево

Пусть A − множество. Каждую бесконечную последовательность

a(1)a(2)a(3)... , где a(i) A, будем называть сверхсловом.

Обозначим через A∞ множество всех таких сверхслов. Пусть A, B − два конечных множества, их мы будем называть алфавитами.

Рассмотрим отображение f : A∞ → B∞. Это отображение можно интерпретировать как воображаемое устройство, перерабатывающее сверхслова в алфавите A в сверхслова в алфавите B.

a(1)a(2)a(3)... b(1)b(2)b(3)...

Рис. 3.19

Выясним, каким условиям должна удовлетворять функция f , чтобы

она могла быть реализована некоторым автоматическим устройством. Если это устройство работает в дискретном режиме времени, получая в

момент времени i символ a(i) и выдавая символ b(i), то должен быть выполнен закон причинности (“причина предшествует следствию”); в нашем случае это означает, что может зависеть от

a(2), ... , a(i), но не должно зависеть от a(i +1), a(i + 2), ... . Исходя из этого, сформулируем определение детерминированной функции. Определение. Функция f : A∞ → B∞ называется

детерминированной (или д-функцией), если выполнено условие:

для любого i и для любых сверхслов w = a(1)a(2)a(3)..., w′ = a′(1)a′(2)a′(3)..., если f (w) = b(1)b(2)b(3)...,

f (w′) = b′(1)b′(2)b′(3)... и a(1) = a′(1), ... , a(i) = a′(i), то b(i) = b′(i).

Итак, детерминированная функция характеризуется тем, что b(i) является функцией лишь от a(1), a(2), ... , a(i) :

b(i) = fi (a(1), a(2),..., a(i)).

С множеством A∞ можно связать некоторое бесконечное дерево T. Опишем его построение. Пусть A ={a1, a2 , ... , am}. Возьмём любую

точку и назовём её корнем дерева. Из корня выпустим m рёбер, концы которых назовём вершинами первого яруса. Из каждой вершины первого яруса выпустим m рёбер, которые назовём вершинами второго яруса. И т.д. (см. рис. 3.20).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Рис. 3.20

Ветви дерева T (бесконечные) соответствуют сверхсловам

a(1)a(2)a(3)... A∞ , причём это соответствие взаимно однозначное. Будем считать, что рёбра, соответствующие буквам алфавита

A ={a1, a2 ,..., am}, идут слева направо (т.е. крайнее левое ребро соответствует букве a1, следующее – букве a2 , крайнее правое – букве am ). На рисунке изображено дерево, построенное для трёхбуквенного алфавита A ={a,b, c}. Ветвь дерева, отмеченная жирной линией, соответствует сверхслову abcb..., а ветвь, отмеченная пунктирной линией, – сверхслову bcbb...

Пусть дана детерминированная функция f : A∞ → B∞. Построим

дерево T, соответствующее множеству A∞ , и пометим его рёбра буквами алфавита B, как будет показано ниже. Рассмотрим произвольное сверхсловоw = a(1)a(2)a(3)... A∞. Пусть

f (w) = b(1)b(2)b(3)... Рассмотрим ветвь дерева T, соответствующую сверхслову w, и пометим рёбра этой ветви символами

b(1),b(2),b(3),... Так поступим с каждой ветвью. Если у двух сверхслов w = a(1)a(2)a(3)... и w′ = a′(1)a′(2)a′(3)... совпадут первые k букв: a(1) = a′(1), ..., a(k) = a′(k), то ввиду детерминированности функции f у сверхслов f (w) и f (w′) также

будут совпадать первые k букв. Следовательно, в процессе расстановки пометок на рёбрах мы не получим противоречия (т.е. каждое ребро дерева T получит ровно одну пометку). Дерево T, рёбра которого помечены вышеописанным способом, назовём информационным деревом, соответствующим функции f , и

обозначим его T f . Наоборот, если дано дерево T для A∞ , то,

пометив его рёбра буквами из B произвольным образом, мы получим информационное дерево, соответствующее некоторой функции f .

Очевидно, соответствие между информационными деревьями и детерминированными функциями является взаимно однозначным.

Детерминированность функции f : A∞ → B∞ является необходимым условием реализуемости функции f некоторым автоматическим

устройством. Но она не является достаточным условием. Причина в том, что всякое механическое устройство имеет конечную память (т.е. может хранить ограниченное количество единиц информации). Рассмотрим эти соображения более подробно.

Пусть дано информационное дерево T f , соответствующее детерминированной функции f (см. рис. 3.21). Для любой вершины v этого дерева пусть T f (v) обозначает поддерево, корнем которого

является вершина v (оно состоит из вершины v и всех вершин и рёбер, идущих “после” v, вместе с пометками на этих рёбрах).

Tf (v)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v	Tf (v )
v
	v

Рис. 3.21

Введём отношение эквивалентности ~ на множестве вершин дерева T f ,

полагая v ~ v′, если у деревьев T f (v) и T f (v′) соответствующие друг другу рёбра имеют одинаковые пометки. Детерминированная функция f : A∞ → B∞ называется ограниченно детерминированной

(или о.д.-функцией), если множество вершин информационного дерева T f разбивается на конечное число ~ -классов.

Пример. Пусть функция f :{0, 1}∞ →{0, 1}∞ определяется правилом f (a(1)a(2)a(3) ...) = a(1), a(1) + a(2), a(1) + a(2) + a(3), ... (здесь +

обозначает сложение по модулю 2). Информационное дерево имеет вид

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0	1	1	0 0	1 1	0	0	1 1	0 0	1	1	0
	0		1	1	0		0	1	1	0
		0		1			1		0
				0			1
					Рис. 3.22
Можно заметить (и это легко
проверяется), что все вершины
вида, изображенного на рис. 3.23а в
этом дереве эквивалентны друг
другу, и аналогичное справедливо							0	1		1	0
для вершин вида, изображенного на							0	1
для вершин вида, изображенного на
рис. 3.23б. Таким образом, функция								а)			б)
f данного примера является								а)			б)
ограниченно детерминированной,									Рис. 3.23
так как её информационное дерево
T f имеет ровно два класса эквивалентности.

Следующее утверждение устанавливает связь между понятиями о.д.- функции и конечного автомата.

Теорема. Ограниченно детерминированные функции f : A∞ → B∞ и только они являются автоматными, т.е. реализуются некоторым конечным автоматом. При этом A является входным алфавитом автомата, а B − выходным.

Доказательство. Пусть f : A∞ → B∞ − ограниченно детерминированная функция. Тогда множество вершин информационного дерева T f имеет лишь конечное число ~-классов.

Обозначим классы через q0 , q1 ,..., qn−1 и пометим этими буквами вершины дерева T f , причём корень пометим символом q0 . Нарисуем

n кружочков (см. рис. 3.24)

Если в информационном дереве есть ребро, то соединим кружочки

q0	q1 ... qn-1
	Рис. 3.24

qi и	q j	стрелкой (см. рис. 3.25.), помеченной парой
(a, b),	где	a A − буква алфавита A, соответствующая

данному ребру информационного дерева. Мы получим (см.

рис. 3.26):

Проделав такую процедуру со всеми возможными

(a,b)

qiqj

Рис. 3.26

Рис. 3.25

парами кружочков, мы получим диаграмму Мура некоторого конечного автомата. Ясно, что этот автомат реализует функцию f .

Наоборот, пусть задан конечный автомат V = ( A,Q, B,ϕ,ψ) с начальным состоянием q0 и T f − соответствующее информационное дерево. Пометим корень этого дерева символом q0 . Далее, если v − вершина дерева T f , то существует единственная ветвь, связывающая корень с этой вершиной. Пусть a(1)a(2)...a(k) − слово, определяющее эту ветвь. Пометим вершину v буквой q = ϕ(q0 , a(1)a(2)...a(k)). Таким образом будут помечены все вершины дерева T f . Легко видеть,

что вершины, помеченные одной и той же буквой, являются эквивалентными друг другу. Следовательно, функция f является ограниченно детерминированной. Теорема доказана.

Замечание. Всякая детерминированная, но не ограниченно детерминированная функция может быть реализована с помощью “бесконечного автомата”, т.е. “автомата” с бесконечным множеством

состояний Q.

Пример. Пусть A = B ={0, 1} и f : A∞ → B∞ − функция, определяемая равенством b(i) = a(1) + a(2) +... + a(i) (эта функция была рассмотрена перед теоремой). Ранее мы видели, что функция f в этом примере является ограниченно детерминированной, так как дерево T f имеет два класса эквивалентности. Обозначив эти классы через q0

и q1, получим диаграмму Мура автомата (см. рис. 3.27), реализующего эту функцию.

(0,0)

(1,1) q1 (1,0)

(0,1)

Рис. 3.27

“Физический смысл” состояний q0 , q1 заключается в следующем.

Нахождение автомата в состоянии q0 означает, что предыдущая сумма a(1) + a(2) +...+ a(i −1) была равна 0, и потому b(i) = a(i); состояние q1 будет в случае, когда a(1) + a(2) +...+ a(i −1) =1, в этом случае b(i) = a(i) +1. Таким образом автомат “запоминает”

необходимую для дальнейшего “предысторию” последовательности a(1), a(2),...

Типовые задачи

Пример 1. Выяснить, какие из следующих функций				f : A∞ → B∞
являются детерминированными:
		f
а) A = B ={0, 1}, a(1)a(2)a(3)... →a(1)a(1)a(2)a(3)a(4)...;
б) A = B =	{0, 1},		f
		a(1)a(2)a(3)... →a(2)a(3)a(4)...;
в) A = B =	{0, 1},		f
		a(1)a(2)a(3)... →0a(2)0a(4)0a(6)...;
г) A = B ={0, 1},
		1 1 1. .. , если a(i) = 0 для всех i,
	f (a(1)a(2)a(3)...) =
		a(1)a(2)a(3) . .. в противном случае.
Решение. а) Функция f является детерминированной, так как
b(i) = a(i −1) при i ≥ 2 − не зависит от a(i +1), a(i + 2), ...
б) Функция	f не является детерминированной, так как b(1) зависит от
a(2), которое неизвестно в момент времени t =1.
в) Функция	f детерминированная, так как
		0, еслиi нечётно,	−не зависит от	a(i +1), a(i + 2), ...
b(i) =
	a(i), еслиi чётно
г) Функция	f детерминированной не является, так как выходная

последовательность b(1)b(2)b(3)... определится только тогда, когда будут известны a(i) для всех i. Другое объяснение:

0 0 0 111...1... f → 0 0 0 111...,

00 0 0 0 0 ... 0 ... f →111111...,

аэто противоречит определению детерминированности.

Пример 2. Выяснить, какие из следующих функций f : A∞ → B∞ являются ограниченно детерминированными:

а) A = B ={0, 1}, a(1)a(2)a(3)... f → 0 a(1)a(2)a(3) ...;

	b,	если a(1) = b,
б)		если a(1) = c, при i ≥ 2;
б)	A = B ={a,b, c}, b(1) = a(1), b(i) = c,	если a(1) = c, при i ≥ 2;

	a(i), если a(1) = a
в)	A = B ={0, 1},

f : a(1)a(2)a(3) ... → a(1)a(1)a(2)a(2)a(3)a(3) ...

Решение. а) Построим информационное дерево T f , соответствующее

функции f	:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0	0	1	1 0	0 1	1	0		0 1	1 0	0	1	1
0			0	1	1		0	0		1		1
		0		0				1		1
				0				0
					Рис. 3.28

Очевидно, вершины вида, изображенного на рис. 3.29.а. составляют

один класс эквивалентности, а
вершины другого вида (см. рис.
3.29б) – другой класс. Так как	0	0	1	1
получилось конечное число
классов (два класса), то функция		а)		б)
f ограниченно		Рис. 3.29.
детерминирована.		Рис. 3.29.
детерминирована.

б) Информационное дерево данной функции имеет вид (см. рис.

3.30).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a b

c a b

c b b

b b b

b c c

c c c

Рис. 3.30

Множество вершин разбивается на 4 класса эквивалентности, поэтому функция f ограниченно детерминирована.

в) Информационное дерево данной функции имеет вид

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0	0	0	0 1	1 1	1	0	0 0	0 1	1	1	1
α4	0		0	1	1		0	0	1		1
	0		0	1	1		0	0	1		1
	α3
		0		0			1		1
			α2
				0			1
					α1
					Рис. 3.31
Докажем, что вершины α1, α2 , α3 , ...							не эквивалентны друг другу.
Действительно, дерево с корнем αi						имеет ветвь (см. рис. 3.32) (“1” на
i -м и (i +1) -м месте и “0” на остальных местах). Значит, деревья
T f (α1 ), T f	(α2 ), ... отличаются друг от друга. Следовательно, имеется

... 0

αι. 0

Рис. 3.32

бесконечно много классов эквивалентности вершин дерева T f . Это

означает, что функция f не является

ограниченно детерминированной (хотя является, разумеется, детерминированной).

Можно дать интуитивное объяснение тому факту, что функция f данного

примера не является ограниченно детерминированной. Действительно, для того, чтобы сформировать b(2n), надо

помнить a(n), и с ростом n объём

информации, которую нужно помнить, растёт неограниченно. Поэтому функция f не может быть реализована автоматом с конечным числом

состояний.

Этот пример позволит сделать ещё одно важное замечание. Замечание. Ранее было доказано (см. п. 3.5), что конечный автомат переводит всякую периодическую последовательность в периодическую. Оказывается, что обратное утверждение неверно. Существует детерминированная функция, переводящая всякую периодическую последовательность в периодическую, но не являющаяся ограниченно детерминированной. Примером может служить функция из предыдущей задачи:

f : a(1)a(2)a(3) ... → a(1)a(1)a(2)a(2)a(3)a(3) ...

Пример 3. На рисунке 3.33 изображён фрагмент информационного дерева некоторой о.д.-функции. Каково наименьшее возможное число классов эквивалентности вершин этого дерева?

Решение. Понятно, что α и β, а также α и γ лежат в разных ~-

классах. Кроме того, рассматривая ветви длины 3, можно заметить, что β ~/ γ. Рассмотрение ветвей длины 2 показывает, что α ~/ η. Возможно

попадание в один класс эквивалентности вершин α и δ, а также µ и β (или µ и γ ). Таким образом, наименьшее число классов

эквивалентности равно 4. Один из вариантов разбиения на классы эквивалентности следующий: {α,δ,...}, {β, µ,...}, {η,...}, {γ ,...}.

. . . . . . . . . . . . .

1			0
0	1	0	1	1
δ		ε	η	µ
0	0		1	0

β	γ

0 1

Рис. 3.33

Задачи для самостоятельного решения

1.	Выяснить, какие из следующих функций		f : A∞ → B∞ являются
детерминированными:
а)	A ={0, 1}, B ={a, b, c}, b(1) = a,
			a, если a(i) = a(i −1) = 0,
				= a(i −1) =1,
		b(i) = b, если a(i)		= a(i −1) =1,
				≠ a(i −1);
			c, если a(i)	≠ a(i −1);
б)	A = B ={0, 1},	f (a(1)a(2)a(3)...) = 0 a(1) 0 a(2) 0 a(3)...;
в)	A = B ={0, 1},
		a(1)a(2)a(3)..., если a(i) = 0 при всех чётных i,
	f (a(1)a(2)a(3)...) =
		0 a(2) 0 a(4) 0... в противном случае.
2.	Выяснить, какие из следующих функций		f : A∞ → B∞ являются
ограниченно детерминированными:
а)	A = B ={a,b, c},	f (a(1)a(2)a(3)...) = a b c a(1)a(2)a(3)...;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2216 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>