§3.9. Алгебраический подход к теории автоматов

Будем рассматривать автоматы без выхода, т.е. тройки V = ( A,Q,ϕ), где ϕ : Q × A → Q − функция переходов. Для упрощения записи применяем сокращённые обозначения, т.е. пишем qw вместо ϕ(q, w)

для w A . При этом пустое слово. Напомним,

что множество A является полугруппой, так как на этом множестве определено умножение и выполнен закон ассоциативности:

(xy)z = x( yz). Произведение элемента из Q на элемент из A лежит в

Q, поэтому мы можем говорить о действии полугруппы A на

множестве Q. А именно, если q′ = qx, где то мы считаем, что элемент x переводит q в q′. Действие полугруппы на множестве аналогично действию группы подстановок Sn на множестве

{1, 2, ... , n} или действию скаляров на векторы в векторном

пространстве.

Алгебраический подход к автоматам позволяет применять к ним методы абстрактной алгебры и пользоваться её понятиями, такими, как изоморфизм, гомоморфизм, подавтомат, фактор-автомат и т.д.

изоморфными и писать V V ′, если существует взаимно однозначное отображение σ : Q → Q′ такое, что σ(qa) = σ(q)a для всех

q Q, a A. Понятие изоморфизма можно расширить, распространив его на автоматы над разными алфавитами A и A′; в

этом случае надо брать два взаимно однозначных отображения

σ : Q → Q′ и τ : A → A′.

Гомоморфизм автоматов V = (A,Q,ϕ) и V ′ = (A,Q′,ϕ′) над одним алфавитом A − это отображение σ : Q → Q′ (не обязательно взаимно однозначное) такое, что σ(qa) = σ(q)a для всех q Q,

a A. Понятие гомоморфизма может быть обобщено на автоматы над разными алфавитами.

Понятие подавтомата автомата V = ( A,Q,ϕ) обычно определяется

одним из следующих способов:

а) подавтоматом является непустое подмножество X Q такое, что

XA A;

б) подавтомат – это тройка ( A1,Q1,ϕ1 ), где A1 − непустое подмножество множества A, а Q1 − непустое подмножество множества Q такие, что Q1 A1 Q1.

Ясно, что определение б) является более общим, а при A = A1 они совпадают.

Отношение эквивалентности ρ на множестве Q называется конгруэнцией автомата V = ( A,Q,ϕ), если q ρ q′ (qa) ρ (q′a) для всех q, q′ Q. Класс эквивалентности конгруэнции ρ, в котором лежит элемент q Q, обозначим [q]. Множество всех классов эквивалентности (фактор-множество) обозначим Q / ρ.

Определим действие букв из A на элементы множества Q / ρ, полагая [q]a = [qa] для q Q, a A. Несложно проверяется корректность этого определения (т.е. независимость от выбора представителя в классе эквивалентности) и определяется отображение Φ : Q / ρ × A → Q / ρ (очевидно, Φ([q], a) = [qa]). Автомат W = ( A,Q / ρ, Φ) называется фактор-автоматом автомата V по конгруэнции ρ и обозначается

= В частности, приведённый автомат € рассмотренный в п.

W V / ρ. V ,

3.4, является фактор-автоматом автомата V.

Понятие автомата тесно связано (если не сказать “полностью совпадает”) с понятием полигона над полугруппой. Пусть S − полугруппа и X − множество. Будем говорить, что X − полигон над S, если определено отображение X × S → X , удовлетворяющее условию (xs)t = x(st) при всех x X , s,t S. Всякий автомат

V = ( A,Q,ϕ) можно рассматривать как полигон (а именно, полигон

над полугруппой A ). Наоборот, если X − полигон над полугруппой S, то X можно рассматривать как автомат, причём превращение X в автомат далеко не единственно. Один из способов (вообще говоря, неэкономный) состоит в том, что S рассматривается как входной алфавит, а ϕ(x, s) = xs − функция переходов.

Пусть V = ( A,Q,ϕ) − абстрактный автомат (не обязательно

называется полугруппой переходов автомата V и обозначается S(V ). Очевидно, множество состояний Q является полигоном над полугруппой S(V ).

Примеры решения задач

Пример 1. Доказать, что всякая полугруппа S является полигоном над собой.

Доказательство. Умножение в полугруппе S − это отображение S × S → S. Так как (st)u = s(tu) для всех s,t,u S, то S −

полигон над S.

Пример 2. Пусть G − группа и X − полигон над G, причём xe = x, если x X , а e − единица группы G. Орбитой элемента x X называется множество xG ={xg | g G}. Доказать, что X является объединением непересекающихся орбит.

Доказательство. Ясно, что X является объединением орбит. Осталось доказать, что любые две орбиты либо не пересекаются, либо совпадают. Пусть xG ∩ yG = . Тогда xg1 = yg2 для некоторых g1, g2 G.

Отсюда x = yg2 g1−1 yG. Поэтому xG yG. В силу симметрии yG xG. Таким образом, xG = yG.

Пример 3. Что из себя представляет

способами отображения fλ , fa , fb , fc между собой, получим полугруппу S(V ). Многие произведения, конечно, совпадут. Например,

fa fc = fc , fc fb = fa2 и т.д. Различных оказывается 12 штук. Следовательно,

G / H ={Hg | g G} − множество всех правых смежных классов. Доказать, что G / H является G -полигоном относительно операции

Hg g′ = Hgg′.