§1.4. Специальные представления булевых функций

Совершенная дизъюнктивная и совершенная конъюнктивная нормальные формы

xσ = x приσ =1,

Ведем обозначение

x приσ = 0.

какой-либо двоичный набор, причем среди переменных xi могут быть совпадающие, называется элементарной конъюнкцией. Выражения вида xiσi называют буквами. Число букв в элементарной конъюнкции

называют рангом элементарной конъюнкции.

Определение. Элементарная конъюнкция – правильная, если в нее каждая переменная входит не более одного раза (включая и инверсию

переменной); – полная относительно переменных x1 ,K, xn , если в нее

каждая переменная (или ее инверсия) входит ровно один раз; – монотонная, если она не содержит отрицаний переменных.

Определение. Формула вида D = m Ki , где Ki − попарно

i=1

различные элементарные конъюнкции называется дизъюнктивной нормальной формой (сокращенно ДНФ). Число m называется длиной ДНФ.

Это представление называется разложением функции по m

переменным x1 , K, xm .

Доказательство. Заметим, что xσ =1 x =σ. Далее рассмотрим произвольный набор (α1 , K, αn ) и покажем, что левая и правая часть

формулы ( ) принимают на нем одно и то же значение. Левая часть дает f (α1 , K, αn ) , а правая

α1σ1 Kαmσm

(σ1,K, σn )

=αα1 Kααm f (α ,K,α ,α + ,K,α ) = f (α ,K,α ).

1 m 1 m m 1 n 1 n

Следствие 1. Разложение по переменной xn . Пусть m =1.

f (x1 ,K, xn−1 , xn ) = xn f (x1 ,K, xn−1 ,1) xn f (x1 ,K, xn−1 ,0).

Замечания 1. Поскольку существует взаимно однозначное соответствие

2.Единственная функция, не имеющая СДНФ – константа 0.

~n

3.Длина СДНФ функции f (x ) равна числу наборов, на которых функция принимает значение, равное 1.

Пример. Построить СДНФ функций:

а) f (x1 , x2 ) = x1 → x2 ;

б) f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 → x2 ) (x3 x2 ) .

Определение. Выражение x1σ1 K xσn n , где σ~ = (σ1 , K, σ n ) −

какой-либо двоичный набор, причем среди переменных xi могут быть

совпадающие, называется элементарной дизъюнкцией.

Определение. Элементарная дизъюнкция – правильная, если в нее каждая переменная входит не более одного раза (включая и инверсию

переменной); – полная относительно переменных x1 ,K, xn , если в нее каждая переменная (или ее инверсия) входит ровно один раз.

m

Определение. Формула вида K = & Di , где Di − попарно различные

i=1

элементарные дизъюнкции, называется конъюнктивной нормальной формой (сокращенно КНФ). Число m называется длиной КНФ.

В соответствии с принципом двойственности для функции можно получить следующее выражение для f :

Для доказательства этого рассмотрим функцию, двойственную к функции f . В соответствии с формулой (*) для нее получим:

которое носит название совершенной конъюнктивной нормальной формы (СКНФ).

Замечания 1. СКНФ функции единственна.

2.Единственная функция, не имеющая СКНФ – константа 1.

~n

3.Длина СКНФ функции f (x ) равна числу наборов, на которых

функция принимает значение, равное 0.

Пример. Построить СДНФ функции f (x1 , x2 ) = x1 → x2 .

Решение. Исходя из таблицы 1 получим, что f (x1 , x2 ) = 0 на одном

наборе (1, 0) . Поэтому x1 → x2 = x11 x20 = x10 x12 = x1 x2 .

Замечание. По данной КНФ функции ~ n можно построить СКНФ f (x )

функции. Для этого достаточно «пополнить» каждую из дизъюнкций недостающими буквами xiσi , применяя соотношение

A = ( A x) ( A x) , а затем устранить повторения с помощью эквивалентности A A = A .

Полином Жегалкина

Определение. Полиномом Жегалкина (полиномом по модулю 2) от переменных x1 , K, xn называется выражение вида

ai1Kis xi1 Kxis = a0 a1 x1 K an xn a12 x1 x2 K

(i1,K,is ) 0≤i1<K<is ≤n

an−1n xn−1 xn K a1Kn x1 Kxn ,

где ai1Kis {0, 1}.

Наибольший из рангов элементарных конъюнкций входящих в полином, называется степенью этого полинома. Степень полинома 0 принимается равной − ∞ . Число слагаемых в формуле полинома называется длиной полинома.

Теорема. Каждая функция из P2 представляется в виде полинома Жегалкина и это представление единственно.

~

компонентами вектора βP , соответствующими ненулевым

2n уравнений с 2n неизвестными, имеющую единственное решение.

Решив ее, находим коэффициенты полинома ~ n

P(x ) .

2. Метод, основанный на преобразовании формул над множеством связок {&, ¬} . Строят некоторую формулу Ф над множеством связок

всюду подформулы вида A на A 1 , раскрывают скобки, пользуясь дистрибутивным законом A (B C) = A B A C , и применяют эквивалентности A A = A, A 1 = A, A A = 0, A 0 = A .

Пример. Построить полином Жегалкина функции f (x1 , x2 ) = x1 → x2 .

Решение. 1. (метод неопределенных коэффициентов). Запишем искомый полином в виде P(x1 , x2 ) = β0 β1 x1 β2 x2 β3 x1 x2 .

2. (Метод преобразования формул). Имеем

x1 → x2 = x1 x2 = x1 x2 = (x1 (x2 1)) 1 =1 x1 x1x2 .

Задачи для самостоятельного решения

1. Представить в виде СДНФ следующие функции:

2. Представить в виде СКНФ следующие функции:

~n

3.Подсчитать число функций f (x ) , у которых СДНФ удовлетворяет

следующему условию:

а) содержит не более двух элементарные конъюнкций; б) отсутствуют элементарные конъюнкции, у которых число букв с отрицаниями равно числу букв без отрицаний;

в) каждая элементарная конъюнкция содержит хотя бы две буквы с отрицаниями ( n ≥ 2 );

г) отсутствуют элементарные конъюнкции, содержащие нечетное число букв с отрицаниями; д) в каждой элементарной конъюнкции число букв с отрицаниями не

больше числа букв без отрицаний.

~n

4.Подсчитать число функций f (x ) , у которых СКНФ является

одновременно и ДНФ (необязательно совершенной).

5. Найти длину СДНФ функции ~ n f (x ) :

6. С помощью эквивалентных преобразований построить ДНФ функции

~ n

f (x ) :

7. С помощью эквивалентных преобразований построить КНФ функции

9. Применяя преобразования вида A = ( A x) ( A x) и A A = A ,

10. Методом неопределенных коэффициентов найти полиномы Жегалкина для следующих функций:

11. Используя метод, основанный на преобразовании формул над множеством связок {&, ¬} , найти полиномы Жегалкина для

следующих функций:

удовлетворяющих условию: в полиноме не могут содержаться одновременно (в качестве слагаемых) конъюнкции одинакового ранга

(n ≥ k ≥1).

13. Выяснить, на скольких наборах из Bn обращается в единицу

1. а) x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 ; б) x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3x1 x2 x3 ; в) x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 ;

г) x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 .

2. а) (x1 x2 x3 )(x1 x2 x3 )(x1 x2 x3 ) ; б) (x1 x2 x3 )

(x1 x2 x3 )(x1 x2 x3 ) ; в) (x1 x2 x3 x4 )(x1 x2

x3 x4 )(x1 x2 x3 x4 )(x1 x2 x3 x4 ); г) (x1 x2 x3

x4 )(x1 x2 x3 x4 )(x1 x2 x3 x4 )(x1 x2 x3 x4 ) . 3.

а) n + C 2 ; б) если n − четное, то 22n −Cn / 2 −1; если n − нечетное, то

n n

L = Cn1 +K+ Cnn ; д) 22n−1 −1. 4. 2n . 5. а) 2n − n −1 ; б) n +1 . 6. а) x1 x3 x1 x2 x2 x3 ; б) x2 x3 x1 x2 x3 ; в) x2 x1 x2 x1 x2

x1 x3 ;. г) x1 x2 x3 . 7. а) (x1 x2 ) (x1 x2 ) ; б) x1 x2 x3 ;

8. а) x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 ;

б) x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 ; в) x1 x2 x3 .

9.а) (x1 x2 x3 )(x1 x2 x3 )(x1 x2 x3 )(x1 x2 x3 )(x1

x2 x3 ) ; б)

10. а) x3 x1 x3 x1 x2 x3 ; б) 1 x1 x2 x1 x2 x1 x3 x2 x3 ; в) x1 x1 x3 x1 x2 x3 ;. г) 1 x1 x2 x2 x3 x1 .

11. б) x1x2 x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3 x1 x2 x3 ; в) x1 x2 x4 x1 x2 x2 x4 x2 1 .