
- •Предисловие
- •§1.2. Функции алгебры логики
- •§1.3. Формулы. Реализация булевых функций формулами
- •§1.4. Специальные представления булевых функций
- •§1.5. Полнота, замкнутость. Теорема Поста о полноте
- •§1.6. Дизъюнктивная нормальная форма
- •§1.7. Схемы из функциональных элементов
- •Глава 2. Графы
- •§2.1. Основные определения
- •§2.2. Способы задания графов
- •§2.3. Связность
- •§2.4. Раскраски графов. Планарность
- •§2.5. Потоки в сетях
- •Глава 3. Автоматы
- •§3.1. Определение и примеры автоматов
- •§3.2. Диаграмма Мура и таблица автомата
- •§3.4. Приведённый автомат
- •§3.6. Теоремы Мура
- •§3.7. Ограниченно-детерминированные функции. Информационное дерево
- •§3.8. Синтез автоматов
- •§3.9. Алгебраический подход к теории автоматов
- •Глава 4. Алгоритмы и машины Тьюринга
- •§4.1. О понятии алгоритма. Тезис Чёрча
- •§4.2. Машина Тьюринга
- •§4.3. Рекурсивные функции
- •§4.4. Алгоритмически неразрешимые задачи
- •Содержание
§1.4. Специальные представления булевых функций
Совершенная дизъюнктивная и совершенная конъюнктивная нормальные формы
xσ = x приσ =1,
Ведем обозначение
x приσ = 0.
σ1 |
σn |
, где |
~ |
= (σ1 , K, σ n ) − |
Определение. Выражение x1 |
Kxn |
σ |
какой-либо двоичный набор, причем среди переменных xi могут быть совпадающие, называется элементарной конъюнкцией. Выражения вида xiσi называют буквами. Число букв в элементарной конъюнкции
называют рангом элементарной конъюнкции.
Определение. Элементарная конъюнкция – правильная, если в нее каждая переменная входит не более одного раза (включая и инверсию
переменной); – полная относительно переменных x1 ,K, xn , если в нее
каждая переменная (или ее инверсия) входит ровно один раз; – монотонная, если она не содержит отрицаний переменных.
Определение. Формула вида D = m Ki , где Ki − попарно
i=1
различные элементарные конъюнкции называется дизъюнктивной нормальной формой (сокращенно ДНФ). Число m называется длиной ДНФ.
~ n |
) при любом m (1 ≤ m ≤ n ) |
Теорема. Каждую булеву функцию f (x |
|
можно представить в виде |
|
f (x1 , K, xm , xm+1 , K, xn ) = |
|
= |
x1σ1 Kxmσm f (σ1 ,K,σm , xm+1 , K, xn ). (*) |
(σ1,K, σn ) |
|
Это представление называется разложением функции по m
переменным x1 , K, xm .
Доказательство. Заметим, что xσ =1 x =σ. Далее рассмотрим произвольный набор (α1 , K, αn ) и покажем, что левая и правая часть
формулы ( ) принимают на нем одно и то же значение. Левая часть дает f (α1 , K, αn ) , а правая
α1σ1 Kαmσm
(σ1,K, σn )
=αα1 Kααm f (α ,K,α ,α + ,K,α ) = f (α ,K,α ).
1 m 1 m m 1 n 1 n
Следствие 1. Разложение по переменной xn . Пусть m =1.
f (x1 ,K, xn−1 , xn ) = xn f (x1 ,K, xn−1 ,1) xn f (x1 ,K, xn−1 ,0).
Следствие 2. Разложение по всем переменным. Пустьm = n . |
||||||
f (x1 ,K, xn ) = |
|
x1σ1 Kxnσn f (σ1 ,K,σ n ). |
||||
|
|
(σ1,K, σn ) |
|
|
|
|
При f (x1 ,K, xn ) ≡/ 0 получаем выражение |
|
|
||||
|
x1σ1 Kxnσn f (σ1 ,K,σn ) = |
|
x1σ1 Kxnσn , |
|||
(σ1,K, σn ) |
|
|
|
(σ1,K, σn ) |
||
|
|
|
|
f (σ1,K,σn )=1 |
||
т.е. |
|
|
x1σ1 Kxnσn . |
|
||
|
f (x1 ,K, xn ) = |
(**) . |
||||
|
|
(σ1,K, σn ) |
|
|
|
|
|
|
f (σ1,K,σn )=1 |
|
|
|
|
Разложение (**) носит название совершенной дизъюнктивной |
||||||
нормальной формы (СДНФ). |
|
|
|
|
Замечания 1. Поскольку существует взаимно однозначное соответствие
~ n |
) , то СДНФ |
между таблицей истинности T f и СДНФ функции f (x |
|
функции единственна. |
|
2.Единственная функция, не имеющая СДНФ – константа 0.
~n
3.Длина СДНФ функции f (x ) равна числу наборов, на которых функция принимает значение, равное 1.
Пример. Построить СДНФ функций:
а) f (x1 , x2 ) = x1 → x2 ;
б) f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 → x2 ) (x3 x2 ) .

|
|
Табл. 1.9 |
|
|
|
x1 |
x2 |
x1 → x2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Решение. а) Из таблицы 1.9 получаем, что
f (x1 , x2 ) =1 на наборах (0, 0), (0, 1), (1,1) .
Поэтому x1 → x2 = x10 x20 x10 x12 x11 x12 =
= x1 x2 x1 x2 x1 x2 .
Табл. 1.10
б) Из таблицы истинности |
x1 |
x2 |
x3 |
( |
|
→ x |
|
) (x |
|
x |
|
) |
|
x |
2 |
3 |
2 |
||||||||||
заданной функции (табл. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
1.10) видим, что значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
функции равно 1 только на |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
двух наборах. СДНФ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
функции имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
f = x1 x2 x3 x1 x2 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
Замечание. По данной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
~ n |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
ДНФ функции f (x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
можно построить ее СДНФ. |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Для этого достаточно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«пополнить» каждую из конъюнкций недостающими буквами xiσi ,
применяя соотношение A = A x A x , а затем устранить повторения
(«привести подобные слагаемые») с помощью эквивалентности
A A = A .
Теорема. Каждая функция алгебры логики может быть выражена в виде отрицания, конъюнкции и дизъюнкции.
Доказательство. Пусть f (x1 ,K, xn ) = 0 . Тогда можно записать f (x1 ,K, xn ) = x1 & x1.
Пусть f (x1 ,K, xn ) ≠ 0 . Представим ее в виде СДНФ:
f (x1 ,K, xn ) = x1σ1 Kxσn n .
(σ1,K, σn )
f (σ1,K,σn )=1
Следовательно, в обоих случаях функция f выражается в виде формулы через отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию.
Определение. Выражение x1σ1 K xσn n , где σ~ = (σ1 , K, σ n ) −
какой-либо двоичный набор, причем среди переменных xi могут быть
совпадающие, называется элементарной дизъюнкцией.
Определение. Элементарная дизъюнкция – правильная, если в нее каждая переменная входит не более одного раза (включая и инверсию
переменной); – полная относительно переменных x1 ,K, xn , если в нее каждая переменная (или ее инверсия) входит ровно один раз.
m
Определение. Формула вида K = & Di , где Di − попарно различные
i=1
элементарные дизъюнкции, называется конъюнктивной нормальной формой (сокращенно КНФ). Число m называется длиной КНФ.
В соответствии с принципом двойственности для функции можно получить следующее выражение для f :
f (x1 ,K, xm , xm+1 ,K, xn ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(** *) |
= |
σ |
1 |
K x |
σ |
m f (σ |
|
,K,σ |
|
, x |
|
,K, x |
|
||||||
x |
|
m |
1 |
m |
m+1 |
n |
) . |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(σ1,K, σm ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для доказательства этого рассмотрим функцию, двойственную к функции f . В соответствии с формулой (*) для нее получим:
f * (x1 ,K, xm , xm+1 ,K, xn ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
x1σ1 Kxmσm f * (σ1 ,K,σm , xm+1 ,K, xn ). |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(σ1,K, |
σm ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из тождества для двойственных формул получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
f * *(x1 ,K, xm , xm+1 ,K, xn ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По |
||
= |
|
|
σ1 |
|
K x |
σm |
|
f * *(σ |
|
,K,σ |
|
, x |
|
|
,K, x |
|
||||||||||||||
x |
|
|
m |
1 |
m |
m+1 |
n |
) . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(σ1,K, σm ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
скольку |
xiσi |
= x |
σi i |
|
и |
f |
* * = f , то получаем формулу (***). |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Для f (x1 ,K, xn ) ≡/ 1 и m = n получаем выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
f (x ,K, x |
|
) |
= |
|
|
σ1 |
K x |
σn |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
x |
|
|
|
n |
, |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(σ1,K, σn ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (σ1,K,σn )=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

которое носит название совершенной конъюнктивной нормальной формы (СКНФ).
Замечания 1. СКНФ функции единственна.
2.Единственная функция, не имеющая СКНФ – константа 1.
~n
3.Длина СКНФ функции f (x ) равна числу наборов, на которых
функция принимает значение, равное 0.
Пример. Построить СДНФ функции f (x1 , x2 ) = x1 → x2 .
Решение. Исходя из таблицы 1 получим, что f (x1 , x2 ) = 0 на одном
наборе (1, 0) . Поэтому x1 → x2 = x11 x20 = x10 x12 = x1 x2 .
Замечание. По данной КНФ функции ~ n можно построить СКНФ f (x )
функции. Для этого достаточно «пополнить» каждую из дизъюнкций недостающими буквами xiσi , применяя соотношение
A = ( A x) ( A x) , а затем устранить повторения с помощью эквивалентности A A = A .
Полином Жегалкина
Определение. Полиномом Жегалкина (полиномом по модулю 2) от переменных x1 , K, xn называется выражение вида
ai1Kis xi1 Kxis = a0 a1 x1 K an xn a12 x1 x2 K
(i1,K,is ) 0≤i1<K<is ≤n
an−1n xn−1 xn K a1Kn x1 Kxn ,
где ai1Kis {0, 1}.
Наибольший из рангов элементарных конъюнкций входящих в полином, называется степенью этого полинома. Степень полинома 0 принимается равной − ∞ . Число слагаемых в формуле полинома называется длиной полинома.
Теорема. Каждая функция из P2 представляется в виде полинома Жегалкина и это представление единственно.

Доказательство. Существование полинома для каждой булевой функции, отличной от константы 0, следует из того, что ее СДНФ применением равенств
a b = a b ab, aa = a, a a = 0, a = a 1
сводится к полиному.
Для доказательства единственности подсчитаем число полиномов Жегалкина от переменных x1 , K, xn , т.е. число выражений вида
ai1 Kis xi1 Kxis .
(i1,K,is ) 0≤i1<K<is ≤n
|
|
Число |
слагаемых |
ai |
Ki |
xi |
Kxi |
в указанной сумме равно |
|||
|
|
|
|
|
1 |
s |
1 |
s |
|
|
|
количеству подмножеств (i1, K, is ) из n |
чисел |
(1, 2, K, n) , |
т.е. 2n . |
||||||||
Каждому |
полиному |
в |
соответствие |
можно |
поставить |
вектор |
|||||
(a |
0 |
, a , K, a |
) длины 2n , |
компонентами которого являются числа |
|||||||
|
1 |
1Kn |
|
|
|
|
|
|
|
|
ai1 Kis , равные 0 или 1. Следовательно, искомое число полиномов равно
22n или числу всех булевых функций от переменных x1 , K, xn .
Следствие. Из доказанной теоремы вытекает единственность представления булевых функций посредством полинома Жегалкина.
Приведем основные методы построения полиномов Жегалкина от заданной функции.
1. Метод неопределенных коэффициентов. Пусть
искомый полином |
Жегалкина, реализующий заданную |
|
~ n |
) . |
|
f (x |
|
|
Запишем его в виде |
||
~ n |
) = β0 β1 x1 |
K βn xn K β2n −1 x1 Kxn . |
P(x |
~ n
P(x ) –
функцию
длины 2n назовем вектором
~ n |
) . Найдем его компоненты. Для этого |
|
коэффициентов полинома P(x |
||
заметим, что если переменным x1 |
, K, xn придать значения σ1 , K, σ n |
|
|
~ n |
) будет равно сумме β0 с |
из i -ой строки таблицы, то значение P(x |

~
компонентами вектора βP , соответствующими ненулевым
конъюнкциям σi Kσi |
s |
(1 ≤ i1 < K < is ≤ n ). В итоге получим систему из |
1 |
|
2n уравнений с 2n неизвестными, имеющую единственное решение.
Решив ее, находим коэффициенты полинома ~ n
P(x ) .
2. Метод, основанный на преобразовании формул над множеством связок {&, ¬} . Строят некоторую формулу Ф над множеством связок
~ n |
) . Затем заменяют |
{&, ¬} , реализующую данную функцию f (x |
всюду подформулы вида A на A 1 , раскрывают скобки, пользуясь дистрибутивным законом A (B C) = A B A C , и применяют эквивалентности A A = A, A 1 = A, A A = 0, A 0 = A .
Пример. Построить полином Жегалкина функции f (x1 , x2 ) = x1 → x2 .
Решение. 1. (метод неопределенных коэффициентов). Запишем искомый полином в виде P(x1 , x2 ) = β0 β1 x1 β2 x2 β3 x1 x2 .
|
|
|
Табл. 1.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
x1 |
x2 |
x1 |
→ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
f (0, 0) = β0 β1 0 β2 0 β3 0 =1, |
|
|
0 |
0 |
|
1 |
||
|
|
f (0, 1) = β0 |
β1 1 β2 0 β3 0 =1, |
|||
|
|
|
|
|
||
|
0 |
1 |
|
1 |
f (1, 0) = β0 β1 1 β2 0 β3 0 = 0, |
|
|
|
|
|
|
f (1, 1) = β0 β1 1 β2 1 β3 1 =1. |
|
|
1 |
0 |
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
β0 =1. |
|
1 |
1 |
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
β0 β2 =1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Или |
β0 β1 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β1 β2 β3 =1. |
|
|
|
|
|
β0 |
|
Из системы уравнений находим β0 =1, β1 =1, β2 = 0, β3 =1. |
||||||
Следовательно, |
x1 → x2 =1 x1 x1 x2 . |
2. (Метод преобразования формул). Имеем
x1 → x2 = x1 x2 = x1 x2 = (x1 (x2 1)) 1 =1 x1 x1x2 .
Задачи для самостоятельного решения
1. Представить в виде СДНФ следующие функции:
~ 3 |
~ 3 |
) = (11010100) ; |
а) f (x |
) = (01010001) ; б) f (x |
|
~ 4 |
) = (0101000100010001) ; |
|
в) f (x |
||
~ 3 |
) = (1001000011010011) . |
|
г) f (x |
2. Представить в виде СКНФ следующие функции:
~ 3 |
~ 3 |
) = (01010111) ; |
а) f (x |
) = (11010011) ; б) f (x |
|
~ 4 |
) = (0111000111110111) ; |
|
в) f (x |
||
~ 3 |
) = (1101101101110111) . |
|
г) f (x |
~n
3.Подсчитать число функций f (x ) , у которых СДНФ удовлетворяет
следующему условию:
а) содержит не более двух элементарные конъюнкций; б) отсутствуют элементарные конъюнкции, у которых число букв с отрицаниями равно числу букв без отрицаний;
в) каждая элементарная конъюнкция содержит хотя бы две буквы с отрицаниями ( n ≥ 2 );
г) отсутствуют элементарные конъюнкции, содержащие нечетное число букв с отрицаниями; д) в каждой элементарной конъюнкции число букв с отрицаниями не
больше числа букв без отрицаний.
~n
4.Подсчитать число функций f (x ) , у которых СКНФ является
одновременно и ДНФ (необязательно совершенной).
5. Найти длину СДНФ функции ~ n f (x ) :
~ n |
) = |
|
xi x j ; |
а) f (x |
|||
|
|
1≤i< j≤n |
|
~ n |
) = |
& (xi → x j ). |
|
б) f (x |
|||
|
|
1≤i< j≤n |
6. С помощью эквивалентных преобразований построить ДНФ функции
~ n
f (x ) :

~ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
) = (x1 x2 x3 )(x1 x2 x3 ) ; |
||||||||
а) f (x |
||||||||
~ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
) = (x1 x2 x3 ) (x1 x3 → x2 ) ; |
||||||||
б) f (x |
||||||||
~ 3 |
) = (x1 ~ x2 ) (x1 x3 (x2 → x3 ) ; |
|||||||
в) f (x |
||||||||
~ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
) = (x1 ↓ x2 x3 ) | ((x1 | x2 ) ↓ x3 ) . |
||||||||
г) f (x |
7. С помощью эквивалентных преобразований построить КНФ функции
~ n |
) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
~ 2 |
) = (x1 x2 ) (x1 | x2 ) ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
а) f (x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
~ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
) = x1 x2 x2 x3 (x1 → x2 x3 ) ; |
||||||||||||||||||||||||
б) f (x |
||||||||||||||||||||||||
~ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
) = (x1 → (x2 → x3 )) x1 x2 x3 . |
||||||||||||||||||||||||
в) f (x |
||||||||||||||||||||||||
8. Применяя преобразования вида A = A |
|
A x и A A = A , |
||||||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||||||
построить из заданной ДНФ функции f |
~ n |
) ее СДНФ: |
||||||||||||||||||||||
(x |
||||||||||||||||||||||||
~ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
) = x1 x2 x3 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
а) f (x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
~ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
) = x1 x2 x2 x3 x1 x3 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
б) f (x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
~ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
) = (x1 x2 ) (x2 x3 ) x3 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
в) f (x |
|
|
|
|
9. Применяя преобразования вида A = ( A x) ( A x) и A A = A ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ n |
) ее СКНФ: |
|
построить из заданной КНФ функции f (x |
|||||||||||||||
~ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = (x1 x2 ) x3 ; |
|
||||||||||||||
а) f (x |
|
||||||||||||||
~ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = (x1 x2 ) (x2 x3 ) (x3 x1 ) ; |
|||||||||||||||
б) f (x |
|||||||||||||||
~ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = (x1 x2 x3 ) x2 (x2 x3 ) . |
|
||||||||||||||
в) f (x |
|
10. Методом неопределенных коэффициентов найти полиномы Жегалкина для следующих функций:
~ 3 |
) = (01010001) ; б) |
~ 3 |
) = (11010100) ; |
|
|||
а) f (x |
f (x |
|
|||||
~ 3 |
|
|
|
|
~ 3 |
|
|
) = x1 (x2 x3 ) ; |
|
) = x1 → (x2 |
→ x3 ) |
||||
в) f (x |
|
г) f (x |
11. Используя метод, основанный на преобразовании формул над множеством связок {&, ¬} , найти полиномы Жегалкина для
следующих функций:

~ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
~ 3 |
|
|
) |
= x1 (x2 x3 ) ; |
|
) = x1 → (x2 |
→ x3 ) . |
||||||
а) f (x |
|
б) f (x |
||||||||
~ 3 |
) |
= (x1 ↓ x2 ) | (x2 ↓ x3 ) ; |
|
|
|
|
||||
в) f (x |
|
|
|
|
||||||
~ 4 |
) |
= x1 (x2 → ((x3 → x2 ) |
→ x4 )) . |
|
|
|||||
г) f (x |
|
|
||||||||
12. Найти число: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) полиномов Жегалкина степени k |
над множеством переменных |
|||||||||
X n ={x , K, x |
n |
} (n ≥ k ≥ 0); |
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) полиномов Жегалкина степени k |
над множеством X n , |
|
||||||||
|
|
|
|
~ |
|
≥ k ≥1); |
|
|
||
обращающихся в 1 на наборе 1 (n |
|
|
||||||||
в) полиномов Жегалкина длины k |
над множеством X n , (n ≥ k ≥1); |
|||||||||
г) полиномов Жегалкина длины k |
над множеством X n , |
|
удовлетворяющих условию: в полиноме не могут содержаться одновременно (в качестве слагаемых) конъюнкции одинакового ранга
(n ≥ k ≥1).
13. Выяснить, на скольких наборах из Bn обращается в единицу
|
~ n |
) : |
|
|
|
полином P(x |
|
|
|||
~ n |
n |
|
|
|
|
) = x1 xi , (n ≥ 2) ; |
|||||
а) P(x |
|||||
|
i=2 |
|
|
|
|
~ n |
|
|
n |
|
|
) = x1 x2 |
xi , (n ≥ 3) . |
||||
б) P(x |
|||||
|
|
|
i=3 |
|
|
14. Найти функцию |
~ n |
) , у которой длина полинома Жегалкина в |
|||
f (x |
|||||
2n раз превосходит длину ее СДНФ ( n ≥1 ). |
|||||
|
|
|
|
Ответы |
1. а) x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 ; б) x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3x1 x2 x3 ; в) x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 ;
г) x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 .

2. а) (x1 x2 x3 )(x1 x2 x3 )(x1 x2 x3 ) ; б) (x1 x2 x3 )
(x1 x2 x3 )(x1 x2 x3 ) ; в) (x1 x2 x3 x4 )(x1 x2
x3 x4 )(x1 x2 x3 x4 )(x1 x2 x3 x4 ); г) (x1 x2 x3
x4 )(x1 x2 x3 x4 )(x1 x2 x3 x4 )(x1 x2 x3 x4 ) . 3.
а) n + C 2 ; б) если n − четное, то 22n −Cn / 2 −1; если n − нечетное, то
n n
22n −1 ; в) 22n −n−1 ; г) если n − четное, то |
22n −L , где |
L = Cn1 +K+ Cnn−1 ; если n − нечетное, то 2 |
2n −L , где |
L = Cn1 +K+ Cnn ; д) 22n−1 −1. 4. 2n . 5. а) 2n − n −1 ; б) n +1 . 6. а) x1 x3 x1 x2 x2 x3 ; б) x2 x3 x1 x2 x3 ; в) x2 x1 x2 x1 x2
x1 x3 ;. г) x1 x2 x3 . 7. а) (x1 x2 ) (x1 x2 ) ; б) x1 x2 x3 ;
8. а) x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 ;
б) x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 ; в) x1 x2 x3 .
9.а) (x1 x2 x3 )(x1 x2 x3 )(x1 x2 x3 )(x1 x2 x3 )(x1
x2 x3 ) ; б)
10. а) x3 x1 x3 x1 x2 x3 ; б) 1 x1 x2 x1 x2 x1 x3 x2 x3 ; в) x1 x1 x3 x1 x2 x3 ;. г) 1 x1 x2 x2 x3 x1 .
11. б) x1x2 x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3 x1 x2 x3 ; в) x1 x2 x4 x1 x2 x2 x4 x2 1 .
12. |
а) 1 при k = 0 ; (2Cnk |
−1) 2 L , где L = Cn0 + Cn2 +K+ Cnk −1 при |
|||||||||||
|
|
2 |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
k −1 |
|
k ≥1 ; б) (2Cnk −1) |
|
|
; в) C kn ; г) Cnk ∏(1 + Cni ) . |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
i=0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
а) 2n−2 ; б) 2n−1 . 14. |
|
|
|
|
K |
|
|
. |
||||
x |
x |
2 |
x |
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|