Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
389
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
2.43 Mб
Скачать

§1.6. Дизъюнктивная нормальная форма

~3 =

Пример. Рассмотрим функцию f (x ) (01001100) . Приведем несколько различных формул, являющихся д. н. ф. и реализующих функцию f . Это ее СДНФ = x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 и д. н. ф.: f1 = x1 x2 x2 x3 , f2 = x1 x2 x3 x2 x3 , f3 = x1 x2 x1 x2 x3 .

Заметим, что f = f1 = f2 = f3 .

Лемма. Число различных д. н. ф. от переменных x1 , K, xn равно 23n . Доказательство. Действительно, число различных элементарных

конъюнкций K = xiσ1 Kxiσr равно 3n (“пустой” конъюнкции

1

r

сопоставлена константа 1), так как для каждой переменной xi имеется

три возможности: присутствует в конъюнкции, присутствует с отрицанием и отсутствует. Выпишем все элементарные конъюнкции,

поставив между ними дизъюнкции: D = K1 K K n . Удаляя

1442443

3n

различные Ki , получим все возможные д. н. ф. Следовательно, число

различных д. н. ф. равно 23n и одной функции соответствует несколько различных д. н. ф.

Введем функционал L(D) , означающий сложность д. н. ф., обладающий свойствами:

1.L(D) 0 .

2.Если D = Dxiσi K , то L(D) L(DK ) .

3.Если D = D1 D2 и D1 D2 0 , то L(D) L(D1 ) + L(D2 ) .

4.Если D и Dполучены одна из другой переименованием переменных, то L(D) = L(D) .

Примеры: 1) LБ (D) – число букв в д. н. ф.; 2) LK (D) – число элементарных конъюнкций; 3) LO (D) – число знаков отрицаний. Тогда для рассмотренного в начале параграфа примера:

LБ ( f ) = 9 , LБ ( f1 ) = 4 , LБ ( f2 ) = LБ ( f3 ) = 5 ; LK ( f ) = 3 , LK ( f1 ) = LK ( f2 ) = LK ( f3 ) = 2 ; LO ( f ) = 5 , LO ( f1 ) = 2 , LO ( f2 ) = LO ( f3 ) = 3 .

Определение. Д. н. ф. D называется минимальной для данной функции f , если L(D) имеет минимальное значение.

Проблема минимизации д. н. ф. состоит в том, каким образом для произвольной функции f построить минимальную д. н. ф. Конечно,

существует алгоритм, реализующий проблему минимизации, – это алгоритм полного перебора. Однако этот алгоритм занимает слишком много времени и для функций, зависящих от большого числа переменных, реализован быть не может. В связи с этим важное значение приобретают методы, позволяющие за реальное время получить д. н. ф., в той или иной степени приближенные к минимальной.

Процедура упрощения д. н. ф.

1. Удаление элементарной конъюнкции, которая представима в виде

D = DK . D f – реализует функцию f и если Df

– тоже

реализует функцию f , тогда мы можем отбросить K

. L(D) L(D ) .

2. Удаление множителя. Для двух д. н. ф. D = Dxiσ K и DK таких, что (DK ) f = D f , L(D) L(DK ) .

Определение. Д. н. ф., которую нельзя упростить с помощью вышеприведенных методов, называется тупиковой.

~3

 

 

 

 

 

 

 

) = (01001100) д. н. ф. x1 x2 x3 x2 x3

Примеры: Для функции f (x

– не тупиковая, а x1

 

2

 

2 x3

 

x

x

– тупиковая.

Алгоритм получения тупиковой д. н. ф.

1. По функции f строят какую-либо д. н. ф. (с уверенностью можно

говорить о построении хотя бы СДНФ). В д. н. ф. фиксируют порядок слагаемых и в каждом слагаемом порядок множителей.

2. Просматривают слева направо д. н. ф. каждую элементарную конъюнкцию на предмет упрощения:

а) возможность удаления элементарных конъюнкций; б) возможность удаления множителя.

3. Возврат в п.2а, проводя то же (не просматривая множители).

~3 =

Например, для функции f ( x ) (01001100) .

f = x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 = x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 =

= x2 x3 x1 x2 (x3 x3 ) = x2 x3 x1 x2 . Получили тупиковую д. н. ф. при данном порядке следования конъюнкций и букв.

~ n

) P2 (n) и

D – ее

Теорема (без доказательства). Пусть f (x

тупиковая д. н. ф. Тогда существует такое упорядочение СДНФ, что при помощи данного алгоритма получается D .

Рассмотрим также геометрическую интерпретацию построения д. н. ф. на единичном кубе.

Геометрическая интерпретация

Каждой булевой функции

~ n

)

в булевом кубе B

n

можно поставить

f (x

 

в соответствие множество его вершин, называемое носителем f ,

 

 

N f ={(α1 , K, αn )| f (α1 , K, αn ) =1} .

 

Очевидно, множество N f

однозначно определяет функцию f .

Если функция реализуется элементарной конъюнкцией

 

K(x , K, x

n

) = xα1 Kxαr , то соответствующее множество N

K

1

i1

ir

 

 

 

 

 

называется интервалом r -го ранга ( N K есть (n r) -мерная грань

Bn ). Очевидно, что если

f (x1 , K, xn ) =ϕ(x1 , K, xn ) ψ (x1 , K, xn ) , то N f = Nϕ Nψ .

Для функции f , реализуемой д. н. ф. K1 K Km , справедливо равенство N K = N K1 K N Km . Если ri ранг Ki , то число

m

r = ri называется рангом покрытия.

i=1

Примеры. Носитель N f функции

~3

) = (01001100) показан на рис. 1.2.

f (x

1,1,0

1,1,1

0,1,0

 

 

0,1,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,0,0

 

 

1,0,1

0,0,0 0,0,1

Рис. 1.2

Для конъюнкции x1

x

2

 

x

3

носитель – точка (x1 =1, x2 = 0, x3 = 0)

( n = 3, r = 3 определяют нулевую грань) (см. рис. 1.3а).

 

 

Для конъюнкции x1 x3 ранг равен 2, поэтому носитель – ребро

(x1 =1, x3 = 0) (см. рис. 1.3б). Для конъюнкции x2

ранг равен 1;

 

 

 

 

 

1,1,0

1,1,1

 

 

 

 

1,1,0

 

1,1,1

 

0,1,0

 

1,1,0

 

 

 

1,1,1

0,1,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1,1

0,1,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1,1

 

 

 

1,0,0

 

 

 

 

 

 

 

 

1,0,0

 

 

 

 

 

 

 

 

1,0,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,0,1

0,0,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,0,1

 

 

 

 

 

0,0,0

 

 

 

 

0,0,1

 

 

 

0,0,0

 

 

 

 

 

0,0,1

 

 

 

 

 

x1

x2x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

носитель – плоскость ( x2 =1 )(см. рис. 1.3в).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства носителя.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Если

f (x1 ,K, xn ) = g(x1 ,K, xn ) h(x1 ,K, xn ) , то:

 

 

 

 

 

 

 

 

а) N g N f , Nh N f ;

 

б) N f = Ng Nh .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

m

3. Для функции, представленной д. н. ф. f = Ki ,

N f = UN Ki .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание. Проблема построения д. н. ф. сводится к покрытию

носителя f гранями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~3

)

= (01001100) покрывается

Пример. Носитель функции f (x

а) x1

 

2

 

3 x1

 

 

 

2 x3

 

1 x2 x3 (рис. 1.4а); б) x1

 

2

 

1

 

2 x3

 

 

x

x

x

x

x

x

x

(рис.

 

 

x1

 

 

2

 

 

3

 

 

2 x3

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

x3 (рис. 1.4г).

1.4б); в)

x

x

x

(рис. 1.4в); г)

x2

x2

x1x2x3

x1x2x3

x1x2

x1x2x3

x1x2

 

 

 

x2x3

x2x3

x1x2x3 x1x2x3

а)

б)

в)

г)

Рис. 1.4

Сокращенная д. н. ф.

Определение. Конъюнкция K(x , K, x

n

) = xσ1 Kxσr называется

1

i1

ir

импликантой для функции f , если N K

N f .

Определение. Импликанта называется простой, если из

соответствующей конъюнкции K = xiσ1 Kxiσr

нельзя вычеркнуть ни

1

 

r

 

одной переменной, чтобы оставшееся выражение было импликантой.

~3

 

 

 

 

 

 

) = (01001100) конъюнкция

K = x1 x2 x3

Пример. Для функции f (x

(это импликанта, так как носителем является точка) не является

простой, так как K ′ = x1 x2 – простая импликанта. В геометрической интерпретации импликанта – наибольшая грань.

Определение. Сокращенная д. н. ф. – это дизъюнкция всех простых импликант (она единственна).

Пример. Для функции

~3

) = (01001100) это два ребра

 

 

f (x

 

 

 

x1

 

 

2

 

2 x3 .

 

 

 

 

 

 

 

1,1,0

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

0,1,0

1,1,1

~

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для функции f (x

 

) =

(10011011)

(рис.

 

 

 

 

 

0,1,1

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5) сокращенная д. н. ф. имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,0,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 x3 x1 x3 x1 x2 x2 x3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,0,1

Теорема. Минимальная д. н. ф.

 

 

 

 

 

 

 

0,0,0

0,0,1

 

получается из сокращенной

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.5

 

 

вычеркиванием из нее некоторых простых

 

 

 

 

импликант.

Аналитические методы построения сокращенной д. н. ф. Метод Нельсона

1.

~ n

) строят СКНФ. Например, для

~3

) = (10011011)

По f (x

f (x

 

СКНФ = (x1 x2

 

3 )(x1

 

2 x3 )(

 

1 x2

 

3 ) .

 

x

x

x

x

2.

Раскрывют скобки.

 

 

 

 

 

(x1 x1 x1 x2 x1 x3 x2 x1 x2 x2 x2 x3 x3 x1 x3 x1

x3 x3 ) (x1 x2 x3 ) = (x1 x2 x3 x3 x2 ) (x1 x2 x3 ) = = x1 x1 x1 x2 x1 x3 x2 x3 x1 x2 x3 x2 x2 x3 x3

x3 x2 x1 x3 x2 x2 x3 x2 x3 = x1 x2 x1 x3 x2 x3 x2 x3 . 3. Производим упрощение по следующим правилам:

K K = K ,

K K = K ,

K

 

= 0 ,

K 0 = K , K1K2 K1 = K1 .

K

 

 

 

Метод Квайна

1. По f (x1 , K, xn ) строим СДНФ. Например, для функции

f (x1 , x2 , x3 ) = (01001100) . СДНФ= x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 . 2. Применяем операцию неполного склеивания

xK xK = K xK xK .

3. После того как такая операция применена к каждой паре конъюнкций из СДНФ, к которой она применима, с помощью операции поглощения

( K xσ K = K ) удаляются те конъюнкции ранга n , которые можно удалить таким образом. В итоге получаем некоторую д. н. ф. D1 . 4. Если проведено k 1 этапов, то на (k +1) -м этапе операции

неполного склеивания и поглощения применяются к конъюнкции ранга n k д. н. ф. Dk . Получаем д. н. ф. Dk +1 .

Алгоритм завершается, если Dk+1 = Dk .

Пример. Построить сокращенную д. н. ф. функции f (x1 , x2 , x3 ) = (11001101) .

Решение. D0 = x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 .

После первого этапа имеем D1 = x1 x2 x1 x2 x1 x2 x3 . После второго этапа имеем D2 = x1 x1 x2 x3 .

Определение. Простая импликанта K называется ядровой, если

существует набор (α1 , K, αn ) Bn такой, что K(α1 , K, αn ) =1, но K (α1 , K, αn ) = 0 для всех K , входящих в сокращенную д. н. ф.

Геометрическая интерпретация: K – ядровая импликанта, если

существует точка, принадлежащая N f

Bn , которая покрывается

только N K .

~3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) = (10011011) сокращенная д. н. ф. =

Пример. Для функции f (x

 

 

 

 

 

 

x1

 

3 x1 x2

x2 x3

 

=

 

x

x

x

.

 

123

 

 

 

 

{

 

 

ядровая импликант

 

 

 

ядровая импликанта

 

Определение. Ядровая д. н. ф. (ЯДНФ) – это дизъюнкция всех ядровых импликант.

Пример. На рис. 1.6 представлен носитель функции, у которой нет ядровой д. н. ф.

1,1,0

1,1,1

0,1,0

0,1,1

 

1,0,0

 

1,0,1

0,0,0

0,0,1

Рис. 1.6

Задачи для самостоятельного решения

1. Из заданного множества A элементарных конъюнкция выделить простые импликанты функции f :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~3

 

 

 

а)

A ={x1 , x3 , x1 x2 , x2 x3},

) = (00101111) ;

f (x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~3

 

 

б)

A ={x1 x2 , x2 x3 , x1 x2 x3},

) = (01111110) ;

f (x

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ 4

) = (1010111001011110) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A ={x1 , x4 , x2 x3 , x1 x2 x4 }, f (x

2.

Построить сокращенную д. н. ф. по заданной к. н. ф.:

а) (x1 x2 x3 )(x1 x2 x3 )(x2 x3 ) ;

б) (x1 x2 x3 )(x1 x2 x4 )(x2 x3 x4 )(x1 x4 ) .

3. Используя алгоритм Квайна построить сокращенную д. н. ф. функции f :

а)

~3

) = (11001110) ; б)

~

4

) = (1100111110011101) .

f (x

f (x

 

 

4.

Изобразив множество N f

 

функции f в B n , найти ее простые

импликаты, построить сокращенную и ядровую д. н. ф.:

 

 

а)

~3

) = (11110100) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

~ 4

) = (1111100001001100) .

 

 

 

 

 

 

f (x

 

 

 

 

 

 

5.

Найти длину сокращенной д. н. ф. функции f

:

 

 

 

 

~ n

) = x1 x2 K xn ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) f (x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) = (x1 x2 x3 )(x1 x2 x3 ) x4

K

xn .

 

б) f (x

 

6.

Показать, что число функций, для которых фиксированная

элементарная конъюнкция ранга r является импликантой, равно

22n 2nr .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Показать, что любая функция от n переменных может быть

реализована д. н. ф., содержащей не более 2n1 элементарных

конъюнкций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Показать, что число конъюнкций в тупиковых д. н. ф. не превосходит

2n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ n

 

 

9.

Показать, что число ядровых импликант функции

)

не

f (x

превосходит 2n1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ n

 

10. Показать, что вякая простая импликанта функции

) :

f (x

 

 

 

а) ранга n является ядровой;

 

 

 

 

 

 

б) ранга меньше 2 является ядровой.

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы

 

 

 

 

1. а) x1 , x2 x3 ; б) x1 x2 ; в) x2 x3 , x1 x2 x4 . 2. а) x1 x3 x1 x2 x3 ; б) x1 x2 x1 x2 x4 x1 x3 x4 . 3. а) x2 x1 x3 ; б) x1 x2 x1 x3

x2 x4 x3 x4 x1 x2 x4 . 4. а) сокращенная, она же ядровая д. н. ф. x1 x2 x3 ; б)

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.