m ≤ n. Итак, qui = qui+m . Докажем теперь периодичность последовательности q(t). Пусть t ≥ t0 +iτ. Тогда t = t0 + iτ + s, где

s ≥ 0. Получаем:

q(t + mτ) = q(t0 + iτ + s + mτ) = q(t0 + iτ + mτ + s) = = q(t0 )uiu ma(t0 + iτ + mτ +1) ... a(t0 + iτ + mτ + s) =

= q(t0 )ui a(t0 + iτ +1) ... a(t0 + iτ + s) = q(t0 + iτ + s) = q(t).

По условию последовательность a(t) периодическая с периодом τ, по только что доказанному q(t) − периодическая с периодом mτ.

Отсюда, используя канонические уравнения автомата, выведем периодичность выходной последовательности. Действительно, если t ≥ t0 + iτ, то

b(t + mτ) =ψ(q(t + mτ), a(t + mτ)) =ψ(q(t), a(t)) = b(t).

Теорема доказана.

§3.6. Теоремы Мура

Отличимость состояний конечного автомата устанавливают обычно с помощью тестирования. А именно, если автомат, находясь в

состоянии q и находясь в состоянии q′, будет по-разному реагировать на одну и ту же входную последовательность, то состояния q и q′ отличимы. Если на данную тестовую последовательность

w= a(1)a(2) ... a(k) ответ будет одинаковым (т.е.

ψ(q, w) =ψ(q′, w)), то можно либо удлинить входную

последовательность, добавив элементы a(k +1), a(k + 2), ... , либо

сменить входную последовательность, заменив её на

w′ = a′(1)a′(2) ... a′(l), и т.д. Таким способом можно будет установить отличимость состояний q и q′ (если они действительно

отличимы), но неотличимость этот способ доказать не позволит, так как невозможно перебрать бесконечное множество последовательностей. Естественно возникает вопрос: сколько тестовых последовательностей и каких достаточно для установления неотличимости двух состояний?

Ответ даёт первая теорема Мура: если n − количество состояний автомата, то для установления отличимости или неотличимости его состояний достаточно подавать на вход последовательности длины

Для двух автоматов V и V ′, имеющих одинаковые входные и одинаковые выходные алфавиты, справедлива вторая теорема Мура: для отличимости или неотличимости состояний q и q′ этих автоматов достаточно ограничиться входными последовательностями длины

n + n′ −1, где n и n′ − количества состояний автоматов V и V ′. Для дальнейшего нам понадобится ввести некоторые определения и

обозначения. Если A − входной алфавит, то, как обычно, A − множество всех слов (произвольной длины) с буквами из A. Для

w A | w | обозначает длину словаw, т.е. количество входящих в него букв. Определим произведение M1M 2 двух подмножеств

M1 , M 2 множества A , положив

M1M 2 ={ww′ | w M1, w′ M 2 }.

В частности, Ak = A A ... A − множество всех слов длины k.

14243

k

Очевидно, Ai A j = Ai+ j при i, j ≥ 0 (при этом считаем, что

A0 ={λ}, где λ − пустое слово).

Пусть M − подмножество множества A . Будем говорить, что состояния q, q′ автомата V = ( A,Q, B,ϕ,ψ) отличимы множеством

Для автоматов V = ( A,Q, B,ϕ,ψ) и V ′ = ( A,Q′, B,ϕ′,ψ′) с

одинаковыми входными и выходными алфавитами аналогичным образом вводятся понятия отличимости (неотличимости) состояний

q Q и q′ Q′, а также отличимость (неотличимость) множеством

M .

Пусть V = ( A,Q, B,ϕ,ψ) − конечный автомат. Для подмножества

M A обозначим через R(M ) отношение неотличимости с помощью M , т.е. (q, q′) R(M ) в случае, когда q и q′ неотличимы с помощью M . Ясно, что R(M ) − отношение эквивалентности. Обычная неотличимость – это неотличимость с помощью A , т.е. R( A ). Очевидно,

M1 M 2 R(M1 ) R(M 2 ), т.е. разбиение множества Q, определяемое отношением R(M 2 ) − это измельчение разбиения,

определяемого R(M1 ) (каждый R(M1 ) -класс является объединением одного или нескольких R(M 2 ) -классов). Итак, наиболее мелким

(дробным) из рассматриваемых разбиений является R( A ). Доказательства теорем Мура будут основываться на двух леммах. Лемма 1. Пусть M A и λ M . Если R(M ) = R(M AM ), то неотличимость состояний q, q′ Q равносильна их неотличимости с помощью множества M . (Другими словами, при выполнении условий леммы мы имеем равенство R(M ) = R( A )).

Доказательство. Положим M ′ = M AM . Так как λ M , то A M ′. Предположим, что утверждение леммы неверно, а значит, существуют состояния q, q′ Q, неотличимые с помощью M , но

отличимые каким-нибудь словом w A . Будем считать, что q, q′, w выбраны так, что слово w является наиболее коротким из всех

возможных. Имеем: ψ(q, w) ≠ψ(q′, w). Заметим, что слово w не может состоять из одной буквы. Действительно, если | w |=1, то

M n = M AM ... An M . Очевидно, M i+1 = M i AM i при всех i. Так как M i M i+1, то

R(M 0 ) R(M1 ) R(M 2 ) ... R(M n ).

Докажем, что в этой цепочке включений обязательно есть точное равенство. Действительно, пусть R(M 0 ) R(M1 ) ... R(M n ).

Обозначим через ki количество классов, на которые множество Q

разбивается отношением R(M i ). Очевидно, k0 ≥1. Так как R(M1 ) R(M 0 ), то k1 > k0 , а значит, k1 ≥ 2. Рассуждая аналогично, получим: k2 ≥ 3, k3 ≥ 4, ... , kn ≥ n +1. Однако, это невозможно, так как | Q |= n. Мы получили противоречие.

Следовательно, R(M i ) = R(M i+1 ) при некотором i ≤ n −1. Это означает, что R(M i ) = R(Mi AMi ). По лемме 1 мы получаем теперь, что R(M i ) = R( A ).

Замечание. Ранее было отмечено, что R( A ) осуществляет наиболее мелкое разбиение множества Q. Следовательно, если в цепочке R(M 0 ) R(M1 ) ... в каком-нибудь месте будет иметь место равенство: R(Mi ) = R(M i+1 ), то все остальные включения также будут равенствами: R(M i+1 ) = R(M i+2 ) = ...

Первая теорема Мура. Если состояния q, q′ Q автомата

V = ( A,Q, B,ϕ,ψ) отличимы, то они отличимы словом длины n −1,

где n =| Q | . То есть существует такое w An−1, что

ψ(q, w) ≠ψ(q′, w).

Доказательство. Положим M ={λ}, M1 = M AM = A {λ},

M 2 = M AM A2 M ={λ} A A2 и т.д. По лемме 2 существует i ≤ n −1 такое, что R(M i ) = R( A ). Но Mi M n−1 A . Следовательно, R(M n−1 ) = R( A ). Отсюда вытекает, что

R( An−1 ) = R({λ} An−1 ) = R( A ). Таким образом, любые два отличимых состояния являются отличимыми с помощью множества

An−1 слов длины n −1. Теорема доказана.

Вторая теорема Мура. Пусть V = ( A,Q, B,ϕ,ψ) и

V ′ = ( A,Q′, B,ϕ′,ψ′) − два автомата с одними и теми же входным и выходным алфавитами. Состояния q Q и q′ Q′ являются

отличимыми в том и только том случае, если они отличимы множеством An+n′−1, где n =| Q |, n′ =| Q′| .

Доказательство второй теоремы Мура проведём, сведя её к первой теореме. Очевидно, мы можем считать, что Q ∩Q′ = . Построим новый автомат V ′′ = ( A,Q Q′, B,ϕ′′,ψ′′), полагая