Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
390
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
2.43 Mб
Скачать

23. Черный «Бьюик». 24. Третий учащийся изучал логику. 25. Сидоров. 29. а) нет; б) да; в) нет.

§1.2. Функции алгебры логики

Определение. Прямым (декартовым) произведением множеств

~

= A1

× A2

×K× An ) называется

A1 , A2 , K, An (обозначается A

множество всех векторов (a1 , a2 , K, an )

таких, что ai Ai , 1 i n .

Если все множества Ai совпадают и равны A , то используют

обозначение An = A × A ×K× A .

1442443

n раз

Основные понятия и факты, связанные с булевым кубом

В дальнейшем в качестве множества Ai будет использоваться множество E2 ={0, 1}.

Определение. Набор (α1 , α2 , K, αn ) , где αi {0, 1}, 1 i n ,

называется булевым или двоичным набором (вектором). Элементы набора называют компонентами или координатами. Число n

 

 

 

 

 

~

~ n

.

называют длиной набора. Кратко (α1 , K, αn ) обозначают α

или α

 

~ n

называют число его координат, равных

Весом (или нормой) набора α

 

~ n

n

~

n

nk

 

 

 

|| = αi . Число ν

 

называют номером

 

1, т.е. ||α

(α) = αk 2

 

 

~

i=1

 

k =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

набора α .

 

 

 

 

 

 

 

Замечание. Набор (α1 , K, αn ) есть разложение числа ν(σ~) в двоичной системе и находится следующим образом: а) делим ν(σ~) на 2, остаток есть αn частное σ n ; б) делим σ n на 2, остаток есть αn1 частное σn1 ; и т. д. до тех пор пока не получим частное, равное 0.

 

 

 

 

 

~ n

длины n

Определение. Множество всех булевых векторов α

называется n -мерным кубом ( E2n = E2 ×K× E2 ). Сами векторы

 

 

 

 

 

14243

 

 

 

 

 

 

 

n раз

 

 

называются вершинами n -мерного куба.

 

 

Кроме обозначения E2n

для n -мерного куба используют обозначение

B

n

~ n

B

n

называют вершинами куба B

n

.

 

, а наборы α

 

 

Геометрическая реализация. На рисунке 1.1. изображены проекции, соответственно, 1-мерного, 2-мерного, 3-мерного и 4-мерного кубов на плоскость.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,1,0

1,1,1

0

1

1,0

 

 

 

 

 

 

1,1

 

0,1,0

 

 

0,1,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,0,0

1,0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,0

 

 

 

 

 

 

 

0,1

 

 

 

 

 

 

E1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E2

 

 

 

 

0,0,0

E3

 

0,0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,1,1,0

 

 

1,1,1,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,0,1,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1,1,0

 

 

 

 

 

 

 

 

1,0,1,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1,1,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,0,1,0

 

 

0,0,1,1

 

 

 

 

1,1,0,0

 

 

1,1,0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,0,0,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1,0,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,0,0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1,0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,0,0,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,0,0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение. Пусть σi

, σi

2

, K, σi

фиксированная система чисел

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

из 0 и 1 (1 i1 < i2 <K< ik n ). Множество всех вершин (α1 , K, αn )

куба Bn таких, что

αi1 =σi1 , αi2 =σi2 , K, αik =σik ,

называется (n k) -мерной гранью.

Замечание. (n k) -мерная грань является (n k) -мерным подкубом

куба Bn .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение. Расстоянием (Хемминга) между вершинами α и β

 

 

 

n

 

 

 

~

~

 

n

 

 

 

куба B

называется число ρ

 

= |αi βi | (т.е. число

 

 

(α

, β )

 

 

 

 

 

 

 

 

~

~

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отличаются друг от друга).

 

координат, в которых наборы α

и β

 

 

 

 

 

 

 

~

 

~

куба B

n

соседние, если

 

Определение. Вершины α и

 

β

 

 

ρ

~

~

 

 

 

 

 

 

 

 

~

~

 

(α,

β )

=1, и противоположные; если ρ(α, β ) = n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

~

 

Определение. Говорят, что набор α предшествует набору β

 

 

 

 

 

~

~

 

βi для всех i =

~

~

(обозначают αp β ), если αi

 

1, K, n . Если αp

β и

~

~

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

~

и

α

β , то говорят, что набор α

строго предшествует набору β

 

 

 

 

~

~

~

~

 

 

 

 

 

 

обозначают α p β . Наборы α и β называют сравнимыми, если либо

~

~

 

 

~

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

αp β

 

либо β pα .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ n

) = f (x1 , K, xn )

такая, что

 

Определение. Функция f (x

 

 

f : E2n

E2 называется булевой функцией (или функцией алгебры

логики) от n переменных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание. Булевы функции являются удобными для описания, анализа и синтеза переключательных схем, выходные сигналы которых характеризуются лишь двумя уровнями напряжения: высоким (1) и низким (0). Поэтому в практических приложениях их еще называют

переключательными.

Для задания булевой функции

~ n

) требуется указать ее значения на

f (x

n

. При

n 1

 

~ n

) можно задать

каждом наборе E2

функцию f (x

таблицей T f (табл. 1.1), называемой таблицей истинности функции,

в которой наборы ~ K выписываются в порядке

σ = (σ1 , , σn )

возрастания их номеров (сверху вниз).

Табл. 1.1.

x1

x2

K

xn1

xn

~ n

)

f (x

0

0

K

0

0

f (0, 0, K, 0, 0)

0

0

K

1

1

f (0, 0, K, 0, 1)

0

0

K

1

0

f (0, 0, K, 1, 0)

K

K

K

K

K

K

 

 

 

 

 

 

 

0

1

K

1

1

f (0, 1, K, 1, 1)

1

1

K

1

1

f (1, 1, K, 1, 1)

При стандартном расположении наборов (в соответствии с увеличением

их номера), функцию ~ n можно задавать вектором ее значений f (x )

~ 2n

= (α0 , α1 ,K, α2n 1 )

~

 

 

 

 

 

 

α f

(или α f ), где координата αi равна

 

 

 

 

~ n

)

в i -ой строке таблицы ( i = 0,1, K, 2

n

1 ),

значению функции f (x

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

т.е. на наборе σi . При этом значение переменной xk i -ой строке

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

таблицы есть компонента σ k набора σi , которая определяются как

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

соответствующая k -я цифра в записи числа i =ν(σ ) .

 

 

 

 

Обозначим P2 (n) множество всех булевых функций от n

 

 

 

 

переменных, а P2 множество всех булевых функций.

 

 

 

 

Теорема. Число функций в P (n) равно 22 n .

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ n

) задается вектором

 

Доказательство. Поскольку функция f (x

 

 

 

~

 

, α2n 1 ) , где αi

{0,1} , 0 i 2

n

1 , то

значений α f = (α0 , α1 ,K

 

различных булевых функций от n переменных столько же, сколько различных 2n -разрядных двоичных векторов, т.е. 22 n .

Фиктивные и существенные переменные

Для сравнения булевых функций от одного количества переменных вводятся следующие понятия.

Определение. Переменная xi для функции f (x1 , K, xn ) называется существенной ( f зависит от xi существенно), если существует такой набор (β1 , K, βi1 , βi+1 ,K, βn ) , что

f(β1 , K, βi1 , 0, βi+1 ,K, βn ) f (β1 , K, βi1 ,1, βi+1 ,K, βn ) .

Впротивном случае переменная xi фиктивная, т.е. функция f не

зависит от xi .

Процедура удаления (введения) фиктивных переменных

 

Пусть переменная xi для функции

 

~ n

) – фиктивная. Тогда для ее

 

 

 

f (x

 

 

 

удаления вычеркиваем все строки таблицы, в которых xi

=1 и столбец

 

переменной xi . В итоге получаем функцию от n 1 переменной.

 

 

 

 

Определение. Две функции f1 и

f2 от разного количества

 

 

 

 

 

 

переменных равны, если одна получается из другой путем удаления или

 

введения фиктивных переменных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~3

) задана таблицей 1.2. Определить фиктивные

 

Пример. Функция f (x

 

переменные функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 функции

 

 

Решение. Убеждаемся, сначала в том, что переменная

 

 

 

 

 

 

 

~3

)

 

является

фиктивной.

Удаляя

 

ее,

 

 

 

 

Табл.

 

 

f (x

 

 

1.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ 2

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получим

функцию

 

(табл.

1.3).

 

 

 

 

 

 

 

f (x

 

 

 

 

 

 

 

Переменная

 

x

также является фиктивной. В

 

x1

x2

x3

~3

)

 

 

f (x

 

 

 

 

 

 

1

~

3

) = x2 (табл. 1.4).

 

 

 

 

0

0

0

1

 

 

итоге получаем

 

 

 

 

 

 

f (x

 

 

 

 

 

 

0

0

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблл.1.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Табл. 1.4

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

x2

 

 

~3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

1

0

 

 

 

 

 

 

f (x

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

~

3

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

1

 

 

 

0

 

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

f (x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Благодаря введенному понятию конечную совокупность булевых функций можно считать зависящей от одного и того же числа

переменных, являющегося объединением множеств переменных всех функций совокупности.

Функции от одной переменной

В таблице 1.5 представлены все булевы

Табл. 1.5

функции одной переменной.

 

Функции f0 и f3 называются

соответственно (тождественным) нулем и (тождественной) единицей.

Функция f1 называется

тождественной функцией и обозначается x .

Функция f2 называется отрицанием обозначается x или ¬x и читается «не x ».

x1

f0

f1

f2

f3

 

0

0

0

1

1

 

1

0

1

0

1

 

(или

инверсией) x ,

Функции от двух переменных

В таблице 1.6 представлены все булевы функции от двух переменных.

Табл. 1.6

x1

x2

f0

f1

f2

f3

f4

f5

f6

f7

f8

f9

f10

f11

f12

f13

f14

f15

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

Функция f1 называется конъюнкцией x1 и x2 , обозначается x1 & x2 или x1 x2 , или x1 x2 , и часто читается « x1 и x2 ».

Функция f6 называется суммой по модулю 2 x1 и x2 , обозначается x1 x2 или x1 + x2 , и часто читается « x1 плюс x2 ».

Функция f7 называется дизъюнкцией x1 и x2 , обозначается x1 x2 ,

и часто читается « x1 или x2 ».

 

 

Функция f8 называется стрелкой Пирса x1 и

x2 ,

обозначается

x1 x2 , и часто читается «ни x1 , ни x2 » или «ни

x1

и ни x2 ». В

технической литературе ее обычно называют антидизъюнкцией или

функцией Вебба (а также функцией Даггера).

Функция f9 называется эквиваленцией (или эквивалентностью) x1 и x2 , обозначается x1 ~ x2 или x1 x2 , или x1 x2 , и читается « x1 эквивалентно x2 ».

Функция

f13

называется импликацией

x1 и x2 ,

обозначается

x1 x2 или x1 x2 , и часто читается « x1 имплицирует x2

» или «из

x1 следует x2 ».

 

 

 

 

 

Функция

f14

называется штрихом

Шеффера

x1

и x2 ,

обозначается x1 |

x2

и часто читается «не x1 или не x2 » или « x1 и x2

не совместны». В технической литературе ее обычно называют

антиконъюнкцией.

Символы из множества B = {¬, &, , , ~, , , |} , в алгебре

логики участвующие в обозначениях элементарных функций, называют

логическими связками.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти номера следующих двоичных наборов:

а) (1010); б) (1001001); в) (0011001110); г) (10 K01), k 1 ;

123

 

 

k раз

д) (1K10 K0), m, k 1

; е) (10 K01K10 K01), k 1 .

{ 123

123

{123

m раз k раз

k раз

k раз k раз

2.

Найти двоичный набор длины k , являющийся разложением числа n :

а) k = 6, n = 54 ; б) k =11, n = 2000 ;

в) k = m +1, n = 2m +1 ; (m 1) ; г) k = m, n = 3 2m2 1 (m 2) .

3.

Для сравнимых наборов множества A из Bn выписать их в порядке

предшествования ( p ). Выяснить, имеются ли в множестве A соседние

и противоположные наборы, и, если они имеются, выписать их:

а) A = {(001), (010), (101), (100), (110), (111)};

б) A = {(00111), (01011), (00110), (10110), (11010), (01010), (11100), (11011)}.

4. Найти:

 

 

 

 

 

 

~ n

из B

n

, имеющих вес k ( n k 0, n 1 );

а) число наборов α

 

 

 

 

 

 

 

 

~ n

из B

n

, удовлетворяющих условию

б) число наборов α

 

 

2

n1

 

~ n

) < 2

n

( n 1 );

 

 

 

 

 

 

ν(α

 

 

 

 

 

 

в) число упорядоченных пар соседних наборов в B n ( n 1 );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ n

~ n

) наборов из B

n

, таких, что

г) число упорядоченных пар (α

, β

 

 

~ n

~ n

) = k ( n

k 1 );

 

 

 

 

 

ρ(α

 

, β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ n

из B

n

веса k , у которых между любыми

д) число наборов α

 

 

единичными компонентами находится не менее r нулевых компонент

( n 2 r 0, n k 2 ). 5. Показать, что:

а) два различных набора в Bn , имеющих одинаковый нес, несравнимы; б) в Bn существуют только два сравнимых противоположных набора;

в) всякое подмножество наборов в B n , содержащее не менее n + 2 наборов, содержит пару несравнимых наборов ( n 2 );

г) число наборов в B

n

 

 

~ n

,

 

, не сравнимых с фиксированным набором α

имеющим вес k , равно 2n 2nk 2k +1 ( n k 0, n 1 ).

 

6. Найти число функций в P2 (n) , удовлетворяющих условиям:

 

а) на данных k

наборах значения функции фиксированы, а на

 

остальных произвольные ( 2n1 k 1, n 1 );

 

 

 

 

 

 

~ n

 

из B

n

, удовлетворяющих условию

 

б) число наборов α

 

 

 

 

2

n1

~ n

) 2

n

( n 1 );

 

 

 

ν(α

 

 

 

в) число упорядоченных пар соседних наборов в B n ( n 1 ).

 

7. Найти число функций в P2 (n) , удовлетворяющих условию:

 

а) на данных k

наборах значения функции фиксированы, а на

 

остальных произвольные ( 2n 1 k 1, n 1);

б) на противоположных наборах функция принимает одинаковые значения ( n 1 );

в) на каждой паре соседних наборов функция принимает противоположные значения ( n 1 );

г) функция равна 0 не менее чем на половине наборов ( n 1 ).

8. а) На аварийном пульте системы расположены четыре сигнальные лампочки L1 , L2 , L3 , L4 . Система выключается только в том случае, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий: а) загорелась лампочка L1 , но не загорелась лампочка L2 ; б) загорелись лампочки

L2 и L3 , но не загорелась лампочка L4 ; в) загорелась лампочка L4 и

 

 

~

булевой

не горит лампочка L1 . Построить вектор значений α f

 

~ 4

) , характеризующей условия выключения системы, т.е.

функции f (x

~ 4

) =1 тогда и только тогда, когда справедливо хотя бы одно из

f (x

условий а), б), в); при этом предполагается, что xi =1 , если лампочка Li горит, и xi = 0 , если лампочка Li не горит.

б) Четырем членам B1 , B2 , B3 , B4 некоторой комиссии

сформулированы следующие условия посещения заседаний (хотя бы одно из них они должны выполнить): а) в заседании не участвует ни

B1 , ни B2 , но должен быть B3 ; б) в заседании принимают участие B2 и B4 , но отсутствует B3 ; в) на заседании должны присутствовать B1 и B4 . Обязан ли присутствовать на заседании член B3 ; если в нем не участвует B2 ?

9. Указать все фиктивные переменные у функции f :

~3

) = (10101010)

~ 4

) = (1011010110110101) ;

а) f (x

; б) f (x

~ 4 =

в) f (x ) (0101111101011111) .

10. Через P2c (n) обозначим множество всех булевых функций , зависящих от переменных x1 , x2 , K, xn и притом от каждой из них существенным образом.

а) Выписать все функции множества P2c (2) .

б) Найти число элементов множества Pc (3) .

 

2

 

в) Доказать, что число элементов множества

Pc (n) равно

 

2

n

 

(1)k Cnk 22nk .

 

k =0

 

Ответы

 

1. а) 10; б) 73; в) 206; г) 2k +1 +1; д) 2m+k 2k ; е)

23k +1 + 22k +1 2k +1 +1 . 2. а) (110110); б) (11111010000); в)

n = (10 K01)

; г) при m 4

n = 2m1 + 2m2 1 и n = (10 1K1 ) ;

123

 

{

k1 раз

 

k 2 раз

при m = 3 n = (101) ; при m = 2 n = (10) . 3. а) (001) p (101) p (111); (010) p (110)}; (101) p (111); соседние: (001) и (101), (010) и (110), (101) и (100), (101) и (111), (110) и (111); противоположные (001) и (110), (010) и (101); б) (00110) p (00111), (00110) p (10110),

(01010) p (01011) p (11011), (01010) p (11010) p (11011); шесть пар соседних наборов; противоположных наборов нет. 4. а) Cnk ; б) 2n1 ;

в) n 2n1 ; г) Cnk 2n . Указание. Любой набор, отстоящий от

~ n

~ n

фиксированного набора α

на расстоянии k , получается из α

подходящей заменой некоторых k компонент на противоположные. д)

C k− − . n r(k 1)

6. а) Cnk ; б) 2n1 ; в) n 2n . 7. а) 22 n k ; б) 22 n1 ; в) 2;

 

 

2 n

1

 

1

 

2 n1

~

 

г)

2

 

 

+

 

C

 

n

. 8. а) α f

= (0101011111110010) ; б) Нет.

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Указание. Предполагая, что xi =1 , если член Bi присутствует на заседании, и xi = 0 , если отсутствует, условия задачи с помощью булевой функции можно представить в виде

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.