Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
394
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
2.43 Mб
Скачать

x1 x2 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x1 x3 x4 x2 x1 x3 x2 сокращенная д. н.

ф., x1 x2 ядровая д. н. ф. 5. а) 2n1 ; б) 2n1 .

§1.7. Схемы из функциональных элементов

Каждой бинарной операции в алгебре логики соответствует функциональный элемент с двумя

FF входами и одним выходом, унарной – с одним входом и одним выходом (см. рис. 1.7). Если набор функциональных элементов (ФЭ)

а)

б)

соответствует полной системе в P2 , то любую

 

Рис. 1.7

булеву функцию можно выразить формулой через

 

функции полной системы и реализовать ее с

 

 

помощью соответствующих ФЭ.

Определение. Логическая схема Σ(x1 , K, xn ) , выходные сигналы zq

которой описываются системой булевых функций zq = fq (x1 , K, xn ) ,

где xi входные сигналы логической схемы (1 i n , 1 q k )

называется схемой функциональных элементов (СФЭ).

Теорема. Для того, чтобы для произвольной системы

z1 = f1 (x1 , K, xn ),

KKKKK

zk = fk (x1 , K, xn )

существовала схема Σ(x1 , K, xn ) из ФЭ с n входами x1 , K, xn и k выходами z1 , K, zk необходимо и достаточно, чтобы набор ФЭ

соответствовал полной системе функций.

Обычно для построения схем используются базис { , &, ¬} (этот базис называется стандартным или булевым) или { , &} (базис Жегалкина).

Определение. Обозначим через L(Σ) функционал, равный числу

элементов в схеме Σ, означающий сложность схемы.

Проблема синтеза – построить схему с минимальной сложностью.

Решение типовых примеров

1. Представить формулой функцию, заданную схемой

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Имеем: a = yz,

b = y z, c =

 

 

 

,

 

 

d = x(a b),

 

x a

 

 

 

f = c d. Отсюда

f (x, y, z) = c d = x a x(a b) = x a x(a b) =

= x yz x( yz y z) = x( y z) xyz x y z =

= x y x z xyz x y z = y(x xz) x z xyz =

=y(x z) x z xyz = x y y z x z xyz.

2.Построить схему, реализующую функцию

f (x, y, z) = x( y z) xyz.

Решение. Положим a = y z, b = xa,

c = x y z.

Схема, реализующая

функцию, выглядит так:

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

y

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

z

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

&

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.9

 

 

 

 

 

3. Упростить схему (рис. 1.10).

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

&

a

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

b

 

 

z

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Требуется построить схему с меньшим числом функциональных элементов, реализующую ту же функцию f (x, y, z).

Для этого выразим f

формулой и упростим формулу. Имеем:

f = a by = x y (xz z) y = x y (x z) y = x y xy yz =

x

 

 

 

 

 

 

= x( y y) yz = x yz.

y

 

 

 

 

 

 

Следовательно, функция f

 

 

 

 

 

 

может быть реализована схемой

z

 

 

 

 

 

f

из 2 функциональных элементов

&

 

 

(рис. 1.11).

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.11

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Представить формулой функцию, заданную схемой (рис. 1.12).

&

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.12

 

 

 

 

 

2. Представить схемой функцию

f =

x y x yz

.

 

 

 

 

 

3. Упростить схему (рис. 1.13).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

&

 

&

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.13

Ответы

1. f = xy (x y) x y z xy (выражение не упрощено). 2. Схема изображена на рис. 1.14.

x

y

z

&

 

 

 

&

&

 

f

Рис. 1.14

3. Схема изображена на рис. 1.15.

x y

z

&

 

 

 

f

 

 

 

Рис. 1.15

 

 

 

§1.8. Функции k -значной логики

Рассмотрим множество Ek ={0,1, K, k 1} .

Определение. Функция f : Ekn Ek называется функцией k -значной логики от n переменных.

Для задания функции f (x1 , K, xn ) достаточно указать ее значения на каждом наборе переменных из Ekn .

 

 

 

 

 

Табл. 1.12

 

 

 

 

 

 

x1

x2

K

xn1

xn

f (x1 , K, xn )

0

0

K

0

0

f (0, 0, K, 0, 0)

0

0

K

0

1

f (0, 0, K, 0,1)

K

K

K

K

K

K

 

 

 

 

 

 

0

0

K

0

k 1

f (0, 0, K, 0, k 1)

0

0

K

1

0

f (0, 0, K,1, 0)

K

K

K

K

K

K

 

 

 

 

 

 

0

0

K

k 1

k 1

f (0, 0, K, k 1, k 1)

K

K

K

K

K

K

 

 

 

 

 

 

k 1

k 1

K

k 1

k 1

f (k 1, k 1, K, k 1, k 1)

Имея ввиду стандартное расположение наборов (в соответствии с увеличением их номера), наборы представляют собой разложения в k -

ичной системе счисления чисел 0,1, K, k n 1.

Обозначим Pk (n) множество всех функций k -значной логики от n - переменных, а Pk множество всех функций k -значной логики.

Аналогично тому, как поступали при подсчете числа булевых функций, зависящих от n переменных, можно доказать следующую теорему.

Теорема. | Pk (n) | = k k n .

Замечание. Видно, что в отличие от булевой алгебры в Pk при k 3 существенно возрастают сложности в эффективном использовании

табличного задания функций. Так, уже в простейшем случае

| P3 (2) |= 332 = 39 =19683 .

В Pk часто используют вместо табличного задания функций задание при помощи алгоритма вычислимости функций. Например,

max(x1 ,K, xn ) .

Вводя (по аналогии с P2 ) понятие существенной и фиктивной

переменной, а также понятие равенства функций, можно рассматривать все функции с точностью до фиктивной переменной.

Рассмотрим примеры некоторых считаемых элементарными функций

Pk .

1)0,1, K, k 1 константы.

2)x = x +1 (mod k) , где x представляет собой обобщение отрицания в

смысле “циклического” сдвига значений, – отрицание Поста.

3) Nx = k 1 x , где Nx (часто обозначают ~ x ) представляет собой обобщение отрицания в смысле “зеркального” отображения значений, –

отрицание Лукашевича.

4)

1 при x = i,

(0

i k 1) характеристическая

ji (x) =

 

 

0 при x i

 

 

 

функция (первого рода) числа i .

 

5)

k 1 при x = i,

(0 i

k 1) характеристическая

Ji (x) =

0 при x i

 

 

 

 

функция (второго рода) числа i .

 

6)

min(x1 , x2 ) – обобщение конъюнкции (другие обозначения x1x2 ,

x1 & x2 , x1 x2 ) – минимум x1 и

x2 .

7)x1 x2 (mod k) – другое обобщение конъюнкции – произведение x1

и x2 по модулю k .

8)max(x1 , x2 ) – обобщение дизъюнкции (другое обозначение

x1 x2 ) – максимум x1 и x2 .

9) x1 + x2 (mod k) сумма x1 и x2 по модулю k .

 

x1 −&

x2

0, если x1 < x2 ,

 

 

 

 

 

 

 

10)

= x

x

2

, если x

2

x

 

усеченная разность.

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

11)

max(x1 , x2 ) +1(mod k) =

 

 

 

 

 

 

 

 

= x

 

x

 

=

x1 x2 , если x2 x1 ,

< x

разность x и x

 

по

1

 

2

 

k

(x

2

x ), если x

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

2

 

 

модулю k (функция Вебба).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12)

x1 x2

k

1,

если x

< x

2

,

 

импликация.

 

=

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(k 1) x1 + x2 , если x2 x1

 

 

Следующие равенства вводятся по определению.

Определение.

max(x1 , x2 , K, xn1 , xn ) = max(max(x1 , x2 , K, xn1 ), xn ), n 3;

min(x1 , x2 , K, xn1 , xn ) = min(min( x1 , x2 , K, xn1 ), xn ), n 3;

0, если x = 0,

x =

k x, если x 0.

По аналогии с булевой алгеброй в k -значной логике:

вводится понятие формулы над множеством функций Φ ;

каждой формуле U (x1 ,K, xn ) ставится в соответствие функция f (x1 ,K, xn ) и говорится, что формула U реализует функцию f ;

формулы U и V считаются эквивалентными, если соответствующие им функции fU и fV равны.

Обратим внимание на то, что

1.в k -значной логике сохраняются многие свойства и результаты, которые имеют место в двузначной логике;

2.в k -значной логике при k 3 имеются принципиальные

отличия от алгебры логики. Так, имеют место равенства: 1. Коммутативность

x1 o x2 = x2 o x1 , где o {min, max, +, }. 2. Ассоциативность

(x1 o x2 ) o x3 = x1 o(x2 o x3 ) , где o {min, max, +, }. 3. Дистрибутивность умножения относительно сложения

(x1 + x2 ) x3 = (x1 x3 ) + (x2 x3 ) .

4.Дистрибутивность операции max относительно операции

min

max(min(x1 , x2 ), x3 ) = min(max(x1 , x3 ), max (x2 , x3 )) .

5.Дистрибутивность операции min относительно операции max

min(max(x1 , x2 ), x3 ) = max(min(x1 , x3 ), min (x2 , x3 )) .

6. Идемпотентность операций max и min max(x, x) = x, min(x, x) = x .

7. Аналоги правил де Моргана в P2

max(~ x1 , ~ x2 ) =~ min(x1 , x2 ), min(~ x1 , ~ x2 ) =~ max(x1 , x2 ) .

Следующее важное тождество, доказываемое непосредственной проверкой, представляет собой аналог СДНФ

f (x1 , K, xn ) =

 

Jσ1 (x1 ) & K& Jσn (xn ) & f (σ1 , K, σ n ) .

 

(σ1, K, σn )

Приведем примеры отличия k -значной логики (при k 3 ) от

двузначной:

 

 

1. При k 3

 

x

x , но ~ (~ x) = x при всех k ;

2. min(x1 , x2 ) max(x1 , x2 ) , но ~ min(x1 , x2 ) = max(~ x1 , ~ x3 )

Определение. Класс функций Ψ ={ f1 , K, fm , K} из Pk называется

функционально полным, если любая функция из Pk

может быть

представлена в виде формулы над Ψ .

 

Пример. Система Ψ = Pk полная.

 

Теорема. Система функций

 

Ψ ={0, 1, K, J 0 (x), K, J k 1 (x), min(x1 , x2 ),

max(x1 , x2 )}

является полной в Pk .

 

Доказательство. Пусть f (x1 , K, xn ) – произвольная функция Pk . Для нее имеет место разложение

f (x1 , K, xn ) = Jσ1 (x1 ) & K& Jσn (xn ) & f (σ1 , K, σn ).

(σ1, K, σn )

Данная формула (правая часть) построена из функций, входящих в систему Ψ . Такое представление функции f (x1 , K, xn ) называется

первой формой.

Для функций из Pk справедливо еще одно представление, называемое

второй формой

f (x1 , K, xn ) = f (σ1 , K, σ n ) jσ1 (x1 ) K jσn (xn ) .

(σ1, K, σn )

Если k = p простое число, то, как и в случае двузначной логики,

каждая функция представима, и притом единственным образом, в виде полинома Жегалкина

f (x , ... , x ) = Aσ σ xσ1 ... xσn ,

1 n σ1,...,σn 1 ... n 1 n

где Aσ1 ...σn E p1 = {0,1,..., p 1}, а операции сложения и умножения производятся по модулю p; символ xσ понимается в обычном смысле: x0 =1, xσ = xσ 1 σ.

Наконец, если k = pn , где p простое число, то можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством

Ek

={0,1,..., k 1} = {0,1,..., pn 1} и полем F = GF( pn ) (из

pn

элементов). Отождествим соответствующие элементы множеств

Ek

и F, т.е. будем считать, что на множестве Ek ={0,1,..., pn 1}

заданы операции сложения и умножения, превращающие это множество в поле из pn элементов (эти операции не следует путать со сложением и умножением по модулю pn , ведь кольцо Z pn не является полем).

Теперь мы можем представлять функции в виде полиномов Жегалкина

f (x1

,..., xm ) = Aα

...α

m

xα1

... xαmm ,

 

1

 

1

 

 

α1 ...αm

 

 

 

 

где α1, ... ,αm , Aα1...αm {0,1,..., pn 1}, а операции такие, как в

поле GF( pn ).

Пример. Представим функцию 3-значной логики

0, если x y, f (x, y) =

x, если x > y

в СДНФ и в виде полинома Жегалкина. Решение. Составим таблицу значений функции:

 

 

Табл. 1.13

 

 

 

 

x

y

 

f

0

0

 

0

0

1

 

0

0

2

 

0

1

0

 

1

1

1

 

0

1

2

 

0

2

0

 

2

2

1

 

2

2

2

 

0

Рассматривая только те строки таблицы, где f = 0, получаем:

f(x, y) =

=(J1 (x) J 0 ( y) 1) (J 2 (x) J 0 ( y) 2) (J 2 (x) J 2 ( y) 2)=

=(J1 (x) J 0 ( y) 1) (J 2 (x) J 0 ( y)) (J 2 (x) J 2 ( y)).

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

Полином Жегалкина имеет вид

f (x, y) = aij xi y j . Запишем это

 

 

 

 

 

 

 

 

i, j=0

 

 

выражение в матричной форме:

 

 

 

 

 

 

 

a

00

a

01

a

02

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

= (1

 

 

f = (1 x x2 ) a10 a11

a12

y

 

x x2 )A y

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21

 

 

 

2

 

 

2

a20

a22 y

 

 

y

 

Подставляя значения x, y {0,1, 2} и используя таблицу, получим:

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.