x1 x2 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x1 x3 x4 x2 x1 x3 x2 − сокращенная д. н.

ф., x1 x2 −ядровая д. н. ф. 5. а) 2n−1 ; б) 2n−1 .

§1.7. Схемы из функциональных элементов

Каждой бинарной операции в алгебре логики соответствует функциональный элемент с двумя

FF входами и одним выходом, унарной – с одним входом и одним выходом (см. рис. 1.7). Если набор функциональных элементов (ФЭ)

Определение. Логическая схема Σ(x1 , K, xn ) , выходные сигналы zq

которой описываются системой булевых функций zq = fq (x1 , K, xn ) ,

где xi − входные сигналы логической схемы (1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ q ≤ k )

называется схемой функциональных элементов (СФЭ).

Теорема. Для того, чтобы для произвольной системы

z1 = f1 (x1 , K, xn ),

KKKKK

zk = fk (x1 , K, xn )

существовала схема Σ(x1 , K, xn ) из ФЭ с n входами x1 , K, xn и k выходами z1 , K, zk необходимо и достаточно, чтобы набор ФЭ

соответствовал полной системе функций.

Обычно для построения схем используются базис { , &, ¬} (этот базис называется стандартным или булевым) или { , &} (базис Жегалкина).

Определение. Обозначим через L(Σ) функционал, равный числу

элементов в схеме Σ, означающий сложность схемы.

Проблема синтеза – построить схему с минимальной сложностью.

Решение типовых примеров

1. Представить формулой функцию, заданную схемой

f = c d. Отсюда

f (x, y, z) = c d = x a x(a b) = x a x(a b) =

= x yz x( yz y z) = x( y z) xyz x y z =

= x y x z xyz x y z = y(x xz) x z xyz =

=y(x z) x z xyz = x y y z x z xyz.

2.Построить схему, реализующую функцию

f (x, y, z) = x( y z) xyz.

Решение. Требуется построить схему с меньшим числом функциональных элементов, реализующую ту же функцию f (x, y, z).

Задачи для самостоятельного решения

1. Представить формулой функцию, заданную схемой (рис. 1.12).

&

§1.8. Функции k -значной логики

Рассмотрим множество Ek ={0,1, K, k −1} .

Определение. Функция f : Ekn → Ek называется функцией k -значной логики от n переменных.

Для задания функции f (x1 , K, xn ) достаточно указать ее значения на каждом наборе переменных из Ekn .

Имея ввиду стандартное расположение наборов (в соответствии с увеличением их номера), наборы представляют собой разложения в k -

ичной системе счисления чисел 0,1, K, k n −1.

Обозначим Pk (n) − множество всех функций k -значной логики от n - переменных, а Pk − множество всех функций k -значной логики.

Аналогично тому, как поступали при подсчете числа булевых функций, зависящих от n переменных, можно доказать следующую теорему.

Теорема. | Pk (n) | = k k n .

Замечание. Видно, что в отличие от булевой алгебры в Pk при k ≥ 3 существенно возрастают сложности в эффективном использовании

табличного задания функций. Так, уже в простейшем случае

| P3 (2) |= 332 = 39 =19683 .

В Pk часто используют вместо табличного задания функций задание при помощи алгоритма вычислимости функций. Например,

max(x1 ,K, xn ) .

Вводя (по аналогии с P2 ) понятие существенной и фиктивной

переменной, а также понятие равенства функций, можно рассматривать все функции с точностью до фиктивной переменной.

Рассмотрим примеры некоторых считаемых элементарными функций

Pk .

1)0,1, K, k −1 – константы.

2)x = x +1 (mod k) , где x представляет собой обобщение отрицания в

смысле “циклического” сдвига значений, – отрицание Поста.

3) Nx = k −1 − x , где Nx (часто обозначают ~ x ) представляет собой обобщение отрицания в смысле “зеркального” отображения значений, –

отрицание Лукашевича.

7)x1 x2 (mod k) – другое обобщение конъюнкции – произведение x1

и x2 по модулю k .

8)max(x1 , x2 ) – обобщение дизъюнкции (другое обозначение

x1 x2 ) – максимум x1 и x2 .

9) x1 + x2 (mod k) – сумма x1 и x2 по модулю k .

Следующие равенства вводятся по определению.

Определение.

max(x1 , x2 , K, xn−1 , xn ) = max(max(x1 , x2 , K, xn−1 ), xn ), n ≥ 3;

min(x1 , x2 , K, xn−1 , xn ) = min(min( x1 , x2 , K, xn−1 ), xn ), n ≥ 3;

0, если x = 0,

− x =

k − x, если x ≠ 0.

По аналогии с булевой алгеброй в k -значной логике:

–вводится понятие формулы над множеством функций Φ ;

–каждой формуле U (x1 ,K, xn ) ставится в соответствие функция f (x1 ,K, xn ) и говорится, что формула U реализует функцию f ;

–формулы U и V считаются эквивалентными, если соответствующие им функции fU и fV равны.

Обратим внимание на то, что

1.в k -значной логике сохраняются многие свойства и результаты, которые имеют место в двузначной логике;

2.в k -значной логике при k ≥ 3 имеются принципиальные

отличия от алгебры логики. Так, имеют место равенства: 1. Коммутативность

x1 o x2 = x2 o x1 , где o {min, max, +, }. 2. Ассоциативность

(x1 o x2 ) o x3 = x1 o(x2 o x3 ) , где o {min, max, +, }. 3. Дистрибутивность умножения относительно сложения

(x1 + x2 ) x3 = (x1 x3 ) + (x2 x3 ) .

4.Дистрибутивность операции max относительно операции

min

max(min(x1 , x2 ), x3 ) = min(max(x1 , x3 ), max (x2 , x3 )) .

5.Дистрибутивность операции min относительно операции max

min(max(x1 , x2 ), x3 ) = max(min(x1 , x3 ), min (x2 , x3 )) .

6. Идемпотентность операций max и min max(x, x) = x, min(x, x) = x .

7. Аналоги правил де Моргана в P2

max(~ x1 , ~ x2 ) =~ min(x1 , x2 ), min(~ x1 , ~ x2 ) =~ max(x1 , x2 ) .

Следующее важное тождество, доказываемое непосредственной проверкой, представляет собой аналог СДНФ

2. min(x1 , x2 ) ≠ max(x1 , x2 ) , но ~ min(x1 , x2 ) = max(~ x1 , ~ x3 )

Определение. Класс функций Ψ ={ f1 , K, fm , K} из Pk называется

Доказательство. Пусть f (x1 , K, xn ) – произвольная функция Pk . Для нее имеет место разложение

f (x1 , K, xn ) = Jσ1 (x1 ) & K& Jσn (xn ) & f (σ1 , K, σn ).

(σ1, K, σn )

Данная формула (правая часть) построена из функций, входящих в систему Ψ . Такое представление функции f (x1 , K, xn ) называется

первой формой.

Для функций из Pk справедливо еще одно представление, называемое

второй формой

f (x1 , K, xn ) = ∑ f (σ1 , K, σ n ) jσ1 (x1 ) K jσn (xn ) .

(σ1, K, σn )

Если k = p − простое число, то, как и в случае двузначной логики,

каждая функция представима, и притом единственным образом, в виде полинома Жегалкина

f (x , ... , x ) = ∑Aσ σ xσ1 ... xσn ,

1 n σ1,...,σn 1 ... n 1 n

где Aσ1 ...σn E p−1 = {0,1,..., p −1}, а операции сложения и умножения производятся по модулю p; символ xσ понимается в обычном смысле: x0 =1, xσ = xσ −1 σ.

Наконец, если k = pn , где p − простое число, то можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством

заданы операции сложения и умножения, превращающие это множество в поле из pn элементов (эти операции не следует путать со сложением и умножением по модулю pn , ведь кольцо Z pn не является полем).

Теперь мы можем представлять функции в виде полиномов Жегалкина

где α1, ... ,αm , Aα1...αm {0,1,..., pn −1}, а операции такие, как в

поле GF( pn ).

Пример. Представим функцию 3-значной логики

0, если x ≤ y, f (x, y) =

x, если x > y

в СДНФ и в виде полинома Жегалкина. Решение. Составим таблицу значений функции:

Рассматривая только те строки таблицы, где f = 0, получаем:

f(x, y) =

=(J1 (x) J 0 ( y) 1) (J 2 (x) J 0 ( y) 2) (J 2 (x) J 2 ( y) 2)=

=(J1 (x) J 0 ( y) 1) (J 2 (x) J 0 ( y)) (J 2 (x) J 2 ( y)).

Подставляя значения x, y {0,1, 2} и используя таблицу, получим: