§1.5. Полнота, замкнутость. Теорема Поста о полноте

Замечание. Класс Ψ может быть конечным или бесконечным.

Примеры полных классов: а) Ψ = P2 ; б) Ψ ={x, x1 & x2 , x1 x2 } (любая булева функция выражается формулой в виде конъюнкции, дизъюнкции и инверсии); в) Ψ ={0, 1, x1 & x2 , x1 x2 } − для любой

булевой функции можно привести ее полином Жегалкина. Определение. Пусть K − некоторый класс булевых функций. Замыканием K называется множество всех булевых функций, получающихся в виде формул над K (обозначается [K] ).

Свойства:

1.K1 K2 [K1 ] [K2 ] .

2.K [K] .

3.[[K]]=[K].

Определение. Класс K называется: – замкнутым, если [K] = K ; – полным, если [K] = P2 ; – предполным, если K не полный, но для любой функции f K класс K1 = K { f } − полный.

Важнейшие замкнутые классы

Обозначим через T0 ={ f | f (0, K, 0) = 0} ; T1 ={ f | f (1, K, 1) =1} ;

L ={ f | f (x1 , K, xn ) =α0 α1 x1 K αn xn } − класс линейных функций, а f L называется линейной.

Следовательно, класс S замкнут.

д) Класс L замкнут, так как линейное выражение, составленное из линейных выражений, является линейным.

Лемма (о несамодвойственной функции). Если f (x1 , K, xn ) S , то из нее путем подстановки функций x и x вместо xi можно получить несамодвойственную функцию одного переменного, т.е. константу. Доказательство. Так как f (x1 , K, xn ) S , то существует такой

набор (α1 , K, αn ) такой, что f (α1 , K, αn ) = f (α1 , K, αn ) . Рассмотрим функцию ϕi (x) = xαi , 1 ≤ i ≤ n . Пусть

ϕ(x) = f (ϕ1 (x), K, ϕn (x)) .

Тогда

ϕ(0) = f (ϕ1 (0), K, ϕn (0)) = f (0α1 , K, 0αn ) = f (α1 , K, αn ) = = f (α1 , K, αn ) = f (1α1 , K,1αn ) = f (ϕ1 (1), K, ϕn (1)) =ϕ(1).

(1 ≤ m ≤ n ), то меняя по одной координате между ними можно вставить

Пусть эти наборы различаются в i - ой координате:

α~k = (α1, K, αi−1, 0, αi+1, K, αn )

α~k +1 = (α1 , K, αi−1 , 1, αi+1 , K, αn ) .

Рассмотрим функцию

ϕ(x) = f (α1 , K, αi−1 , x, αi+1 , K, αn ) .

выполнение отношения α f 0,0 pα f 0,1 , и в случае положительного

результата вторую. Если хотя бы для одной пары отношение не выполняется, то функция немонотонная. В противном случае этот алгоритм продолжаем дальше.

Лемма (о нелинейной функции). Если f (x1 , K, xn ) L , то из нее

путем подстановки констант 0 , 1 и функций x и x , а также, быть может, инвертированием f , можно получить функцию x1 & x2 . Доказательство. Возьмем полином Жегалкина для f :

В силу нелинейности полинома в нем найдется член, содержащий не менее двух множителей. Без ограничения общности можно считать, что

среди этих множителей присутствуют x1 и x2 . Тогда можно преобразовать полином следующим образом:

ai1Kis xi1 Kxis = x1 x2 f1 (x3 ,K, xn )

(i1 ,K,is ) 0≤i1<K<is ≤n

x1 f2 (x3 ,K, xn ) x2 f3 (x3 ,K, xn ) f4 (x3 ,K, xn ) ,

где в силу единственности полинома f1 (x3 ,K, xn ) ≡/ 0 .

Пусть α3 ,K, αn таковы, что f1 (α3 ,K,αn ) =1. Тогда

ϕ(x1 , x2 ) = f (x1 , x2 ,α3 ,K,αn ) = x1 x2 α x1 β x2 γ ,

где α, β,γ – константы, равные 0 или 1. Рассмотрим функцию

ψ(x1 , x2 ) , получаемую из ϕ(x1 , x2 ) следующим образом:

ψ(x1 , x2 ) =ϕ(x1 β, x2 α) αβ γ .

Очевидно, что

ϕ(x1 β, x2 α) αβ γ = (x1 β)(x2 α)

α(x1 β) β(x2 α) γ αβ γ = x1 x2 .

Следовательно, ψ (x1 , x2 ) = x1 & x2 .

Лемма. Классы T0 , T1 S, M , L попарно различны.

Доказательство. Для доказательства леммы приведем функции, лежащие в классах, но так, чтобы классы взаимно не поглощались.

Рассмотрим функции 0,1, x и построим таблицу принадлежности

классам. В таблице будем ставить «+», если функция принадлежит классу, и «–» в противном случае.

Если бы какие-нибудь два класса совпадали, то совпадали и соответствующие столбцы таблицы. Так как они не совпадают, делаем вывод о попарном различии классов.

Теорема Поста (о полноте). Для того чтобы система функций Φ была полной необходимо и достаточно, чтобы она целиком не содержалась

ни в одном из пяти замкнутых классов T0 , T1 S, M , L . Доказательство. Необходимость. Пусть система Φ полна. Тогда [Φ] = P2 . Допустим, что Φ содержится целиком, в каком из пяти классов (обозначим его через R ), т.е. Φ R . В этом случае

P2 =[Φ] [R] = R . Получаем противоречие с только что доказанной

леммой.

Достаточность. Пусть Φ не содержится целиком ни в одном из пяти классов Поста. Выделим из нее подсистему функций, зависящих от

переменных x1 , K, xn , Φ′ ={ f1 , f2 , f3 , f4 , f5 } , где f1 T0 , f2 T1 , f3 S, f4 M , f5 L , и на ее основе построим полную систему.

(а) Рассмотрим функцию ϕ(x) = f1 (x, K, x) . Из цепочки равенств

ϕ(0) = f1 (0, K, 0) =1 = f1 (1, K,1) =ϕ(1) следует, что ϕ(x) ≡1. (б) В этом случае для функции ϕ(x) = f1 (x, K, x) получаем

ϕ(0) = f1 (0, K, 0) =1 = f1 (1, K,1) =ϕ(1) , т.е. ϕ(x) ≡ x .

Вторую константу получаем, используя функцию f2 .

Если же константы построить не удалось, то, взяв полученную функцию

x строим с помощью x и f3 (лемма о несамодвойственной функции) константы.

2. Если же константы построить удалось, то, используя функцию f4

(лемма о немонотонной функции) строим x .

3. При помощи 0, 1, x и f5 (лемма о нелинейной функции) строим

функцию x1 & x2 .

Система Φ′′ ={x, x1 & x2 } − полная. Тогда и Φ′ − полная.

Следствие 1. Из всякой полной системы можно выделить полную подсистему, содержащую не более пяти функций.

Лемма. Из всякой полной системы можно выделить полную подсистему, содержащую не более четырех функций.

Доказательство. Так как f1 T0 , то либо f1 S либо f1 M . Тогда полная система будет состоять из функций { f1 , f2 , f4 , f5} либо

{ f1 , f2 , f3 f5 } .

Пример 1. Определить количество функций классов T0 и T1 , зависящих от переменных x1 , K, xn .

Решение. Вектор значений функции f T0 имеет вид

Пример 2. Определить количество самодвойственных функций, зависящих от n переменных.

Решение. Функция f S принимают противоположные значения на

противоположных наборах переменных. Поэтому для ее задания достаточно задать первую половину ее вектора значений

~

α f = (α0 , α1 ,K, α2n−1−1 , α2n−1−1 , K, α0 ) . Следовательно, различных

144424443

2n−1

самодвойственных функций, зависящих от переменных n , 22n−1 . Пример 3. Определить количество линейных функций, зависящих от переменных x1 , K, xn .

Решение. Различных линейных функций от переменных x1 , K, xn

столько же, сколько различных векторов (α0 , α1 , K, αn ) , т.е. 2n+1 .

Задачи для самостоятельного решения.

1.Привести все самодвойственные функции от двух переменных.

2.Выяснить, является ли самодвойственной функция f :

3. Выяснить, является ли самодвойственной функция f , заданная

1≤i< j≤n

6.Привести все линейные функции от двух переменных.

7.Представив функцию f полиномом, выяснить, является ли она

линейной:

а) f = x → y x y ; б) f = xy x y z ; в) f = (x → y) ( y → x)) ~ z .

8. Выяснить, является ли линейной функция f , заданная векторно:

9. Подставляя на места переменных нелинейной функции ~ n f (x )

функции из множества {0,1, x, y} , получить хотя бы одну из функций

13.Приведите все монотонные функции от двух переменных.

14.Выяснить, является ли монотонной функция f :

18. Подсчитать число функций, зависящих от переменных x1 , K, xn и принадлежащих множеству A :

всех n ≥ 4 .