Задачи для самостоятельного решения

1. Автомат задан таблицей 3.5. Найти: а) ϕ(q2 , 0120), б) ψ(q3 ,1120).

Рис. 3.13 2. Автомат задан диаграммой Мура, изображенной на рис. 3.13. Найти: а) ϕ(q3 ,baab), б) ϕ(q3 , a200 ), в) ψ(q2 , abab),

г) ψ(q2 ,b10 ).

3. Автомат задан каноническими уравнениями

q(t +1) = q(t) + a(t) +1,b(t) = q(t) + 2a(t),

где Q = A = B ={0, 1, 2} и вычисления производятся по модулю 3.

Найти: а) ϕ(0,1220), б) ψ(1,1021).

Ответы:

1. а) q1; б) abaa. 2. а) q1; б) q2 ; в) bbaa; г) a2b8. 3. а) 2; б)

0020.

§3.4. Приведённый автомат

Назовём состояния q и q′ автомата V = ( A,Q, B,ϕ,ψ)

неотличимыми, если ψ(q, w) =ψ(q′, w) для всех w A+.

Состояния q и q′ отличимы, если ψ(q, w) ≠ψ(q′, w) при

некотором w A+. Положим q ~ q′, если q и q′ неотличичимы. Нетрудно видеть, что отношение неотличимости ~ на множестве Q состояний автомата V является отношением эквивалентности. Это отношение вызывает разбиение множества Q на непересекающиеся классы эквивалентности: Q = Q1 Q2 ... Qk . При этом любые

два состояния q, q′, лежащие в одном классе, неотличимы, а любые два состояния из разных классов отличимы.

Множество классов отношения ~ (фактор-множество Q / ~) обозначим

определение значения ϕ€(q€, a) : взять какой-нибудь элемент q, принадлежащий классу q€, найти ϕ(q, a), а затем класс, в котором лежит элемент ϕ(q, a), объявить значением ϕ€(q€, a). То есть считать, что

Докажем корректность этого определения, т.е. независимость от выбора представителя в классе эквивалентности. Пусть Определение будет некорректным, если окажется, что

Докажем, что определение корректно. Если

Автомат V = ( A,Q, B,ϕ€,ψ€) называется приведённым автоматом,

соответствующим автомату V = ( A,Q, B,ϕ,ψ).

Докажем, что у приведённого автомата все состояния отличимы

совпадающие друг с другом состояния.

Автомат V = ( A,Q, B,ϕ,ψ) и приведённый автомат

b(1) =ψ(q, a(1)) =ψ€(q€, a(1)),

b(2) =ψ(q, a(1)a(2)) =ψ€(q€, a(1)a(2)) и т.д. (здесь q − начальное

состояние).

Типовые задачи

Пример 1. Построить приведённый автомат для автомата, заданного следующей диаграммой Мура, изображенной на рис. 3.14.

Мы докажем, что любой конечный автомат перерабатывает периодическую входную последовательность в периодическую выходную, период которой не превышает nτ, где τ − период входной

последовательности, а n =| Q | − количество состояний автомата.

Доказательство будет основываться на следующем (легко доказываемом) замечании: если входная последовательность имеет

период τ1, а последовательность состояний автомата – период τ2 , то

выходная последовательность будет иметь период НОК(τ1,τ2 ), где

НОК обозначает наименьшее общее кратное.

В теореме этого раздела и во многих других вопросах теории автоматов будет удобно использовать сокращённые обозначения для функций ϕ

и ϕ. А именно, пусть V = ( A,Q, B,ϕ,ψ) − автомат, q Q, a A и w A . Если q′ = ϕ(q, a), то этот факт мы будем записывать просто: q′ = qa. Аналогично этому вместо записи q′′ = ϕ(q, w) будем использовать сокращённую запись q′′ = qw.

Теорема. Если входная последовательность конечного автомата является периодической, то выходная последовательность также периодическая.

Доказательство. Пусть V = ( A,Q, B,ϕ,ψ) − конечный автомат.

Предположим, что на вход автомата поступает периодическая последовательность a(1)a(2)a(3).... Если τ − её период, то

a(t +τ) = a(t) при t ≥ t0 , где t0 − момент времени, с которого начинается период. Введём в рассмотрение следующие слова:

w = a(1)a(2) ... a(t0 −1) −

предпериод входной последовательности и

u = a(t0 )a(t0 +1) ... a(t0 +τ −1) −

период. Пусть q0 − начальное состояние автомата. Положим q = q0 w.

Рассмотрим последовательность состояний q, qu, qu2 , ... qun . Так как число членов этой последовательности равно n +1 >| Q |, то среди них есть совпадающие, т.е. существуют различные i, j ≤ n такие, что

qui = qu j . Можно считать, что j > i. Тогда j = i + m, где m > 0 и