8. Геометрический смысл координат вектора. Проекция вектора на координатные оси. Направляющие косинусы вектора

Рассмотрим вектор плоскости , заданный своими координатами в ортонормированном базисе. Для удобства я отложу его от начала координат:

Проекцией вектора на координатную осьявляется в точности его первая координата:(красная черта). Обозначим черезугол между вектороми координатным вектором:(красная дуга). Тогда:(определение косинуса в прямоугольном треугольнике недавно упоминалось).

Аналогично со второй координатой: проекцией вектора на координатную осьявляется его вторая координата:(малиновая черта). Обозначим черезугол между вектороми координатным вектором:(двойная малиновая дуга). Тогда:

Косинусы называютсянаправляющими косинусамивектора. Причём, для любого ненулевого вектора справедливо равенство. Проверим его справедливость для рассматриваемого вектора:, что и требовалось проверить.

Заметьте, что приведённые выше выкладки не изменятся, если вектор отложить от любой другой точки плоскости.

Итак, координаты вектора в ортонормированном базисе – это его проекции на направления соответствующих координатных векторов (координатные оси).

Направляющие косинусы ненулевого вектора, заданного в ортонормированном базисе, выражаются формулами , а сами координаты вектора можно выразить через его длину и данные косинусы: , то есть:.

Кроме того, вектор с координатами из соответствующих направляющих косинусов:

– коллинеарен исходному вектору «вэ»;

– его длина равна единице(так называемый единичный вектор).

С пространственными векторами, заданными в ортонормированном базисе ,  разборки точно такие же. Рассмотрим произвольный ненулевой вектор. Его координаты представляют собой проекции вектора на осисоответственно. Обозначим углы данного вектора с ортами через:. Тогданаправляющие косинусы вектора выражаются формулами:, и справедливым является равенство.

В практических задачах чаще всего требуется найти направляющие косинусы вектора, заключительный пример урока:

9. Деление отрезка в данном отношении.

Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки (,) и (,), и дано отношение , в котором точка М делит отрезок, то координаты точки М определяются по формулам

, .

Если точка М является серединой отрезка , то ее координаты определяются по формулам

, .

10. Скалярное произведение векторов, его свойства.

6.1. Определение скалярного произведения

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними.

Обозначается ab,а* b(или( а, b)).Итак, по определению,

Формуле   (6.1)   можно   придать   иной   вид.   Так   как | a| cos=пр _ba, (см. рис.14), a |b| cos = пр _ab, то получаем:

     

 т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

6.2. Свойства скалярного произведения

    1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

Решение:                         

5. Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а 0 b, то а  b

.

6.3. Выражение скалярного произведения через координаты

Пусть заданы два вектора

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:

  

    т.е

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

Пример 6.2.

Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(-4;-4;4), В(-3;2;2),C(2; 5;1), D(3;-2;2), взаимно перпендикулярны.

Решение: Составим вектора АС и BD, лежащие на диагоналях данного четырехугольника. Имеем: АС = (6;9;-3) и BD = (6;-4;0). Найдем скалярное произведение этих векторов:

АС • BD = 36 - 36 - 0 = 0.

Отсюда следует, что ACBD. Диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.