43. Определение предела функции. Раскрытие неопределённостей.

Раскрытие неопределённостей— методы вычисленияпределовфункций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

(Здесь — бесконечно малая величина, а— бесконечно большая величина)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислитьпредел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлорав окрестностипредельной точки. Для раскрытия неопределённостей видов,,пользуются следующим приёмом: находятпредел(натурального)логарифмавыражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахожденияпределаот него берутэкспоненту.

Для раскрытия неопределённостей типа используется следующий алгоритм:

1. Выявление старшей степени переменной;

2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа существует следующий алгоритм:

1. Разложение на множители числителя и знаменателя;

2. Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей типа иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть и

Пример

• «Замечательный предел»— пример неопределённости вида. Поправилу Лопиталя

Однако стоит отметить, что приведенное равенство нельзя рассматривать в качестве доказательства первого замечательного предела. Поскольку данный предел используется в доказательстве формулы производной функции .

Пусть функция f (x) определена на некотором открытом интервале X, содержащем точку x = a. (При этом не требуется, чтобы значение f (a) было обязательно определено.) Число L называется пределом функции f (x) при , если для каждогосуществует такое число, что

при условии

Данное определение предела известно как - определение или определениеКоши. Существует также определение предела функции по Гейне, согласно которому функция f (x) имеет предел L в точке x = a, если для каждой последовательности , сходящейся к точкеa, последовательность сходится кL. Определения предела функции по Коши и Гейне эквивалентны.

Односторонние пределы

Символом обозначается левосторонний предел, в котором переменнаяx, приближаясь к a, принимает значения x < a. Соответствующий предел называетсялевосторонним пределом функции f (x) в точке x = a. Аналогично, символом обозначается правосторонний предел, в котором переменнаяx, приближаясь к a, принимает значения x > a. Соответствующий предел называетсяправосторонним пределом функции f (x) в точке x = a. Отметим, что двусторонний предел существуют лишь тогда, когда существуют оба односторонних предела, которые равны друг другу, то есть. В этом случае