- •1. Определение вектора. Длина вектора. Коллинеарность, компланарность векторов.
- •2. Умножение вектора на число. Свойства операции.
- •3. Сложение векторов, вычитание векторов.
- •4. Базис на плоскости. Теорема о разложении любого вектора по трём базисным векторам.
- •5. Базис в пространстве. Теорема о разложении любого вектора по трем базисным векторам.
- •6. Линейная зависимость векторов.
- •7. Декартова система координат на плоскости и в пространстве, координаты вектора.
- •8. Геометрический смысл координат вектора. Проекция вектора на координатные оси. Направляющие косинусы вектора
- •9. Деление отрезка в данном отношении.
- •6.4. Некоторые приложения скалярного произведения
- •11. Выражение скалярного произведения вектора через координаты сомножителей. Теорема.
- •12. Длина вектора, длина отрезка, угол между векторами, условие перпендикулярности векторов.
- •13. Векторное произведение векторов, его свойства. Площадь параллелограмма.
- •14. Смешанное произведение векторов, его свойства. Условие компланарности вектора. Объем параллелепипеда. Объём пирамиды.
- •15. Способы задания прямой на плоскости.
- •16. Нормальное уравнение прямой на плоскости (вывод). Геометрический смысл коэффициентов.
- •17. Уравнение прямой на плоскости в отрезках (вывод).
- •Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках.
- •18. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом (вывод).
- •19. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки (вывод).
- •20. Угол между прямыми на плоскости (вывод).
- •21. Расстояние от точки до прямой на плоскости (вывод).
- •22. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости (вывод).
- •23. Уравнение плоскости. Нормальное уравнение плоскости (вывод). Геометрический смысл коэффициентов.
- •24. Уравнение плоскости в отрезках (вывод).
- •25. Уравнение плоскости, проходящей через три точки (вывод).
- •26. Угол между плоскостями (вывод).
- •27. Расстояние от точки до плоскости (вывод).
- •28. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей (вывод).
- •29. Уравнения прямой в r3. Уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки (вывод).
- •30. Канонические уравнения прямой в пространстве (вывод).
- •Составление канонических уравнений прямой в пространстве.
- •Частные случаи канонических уравнений прямой в пространстве.
- •Канонические уравнения прямой проходящей через две заданные точки пространства.
- •Переход от канонических уравнений прямой в пространстве к другим видам уравнений прямой.
- •31. Угол между прямыми (вывод).
- •32. Расстояние от точки до прямой на плоскости (вывод).
- •Расстояние от точки до прямой на плоскости – теория, примеры, решения.
- •Первый способ нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.
- •Второй способ, позволяющий найти расстояние от заданной точки до заданной прямой на плоскости.
- •Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения.
- •Первый способ нахождения расстояния от точки до прямойaв пространстве.
- •Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямойaв пространстве.
- •33. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
- •34. Взаимное расположение прямых в пространстве и прямой с плоскостью.
- •35. Классическое уравнение эллипса (вывод) и его построение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид , где– положительные действительные числа, причём.Как построить эллипс?
- •36. Классическое уравнение гиперболы (вывод) и его построение. Асимптоты.
- •37. Каноническое уравнение параболы (вывод) и построение.
- •38. Функция. Основные определения. Графики основных элементарных функций.
- •39. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
- •40. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Теорема о связи между ними, свойства.
- •41. Теоремы о действиях над переменными величинами, имеющими конечные пределы.
- •42. Число e.
- •Содержание
- •Способы определения
- •Свойства
- •История
- •Приближения
- •43. Определение предела функции. Раскрытие неопределённостей.
- •44. Замечательные пределы, их вывод. Эквивалентные бесконечно малые величины.
- •Содержание
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •45. Односторонние пределы. Непрерывность и разрывы функции. Односторонние пределы
- •Левый и правый пределы функции
- •Точка разрыва первого рода
- •Точка разрыва второго рода
- •Точка устранимого разрыва
- •46. Определение производной. Геометрический смысл, механический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой и точке.
- •47. Теоремы о производной обратной, сложной функций.
- •48. Производные простейших элементарных функций.
- •49. Дифференцирование параметрических, неявных и степенно-показательных функций.
- •21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
- •21.1. Неявно заданная функция
- •21.2. Функция, заданная параметрически
- •50. Производные высших порядков. Формула Тейлора.
- •51. Дифференциал. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •52. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.
- •53. Теорема о необходимом и достаточном условиях монотонности функции.
- •54. Определение максимума, минимума функции. Теоремы о необходимом и достаточном условиях существования экстремума функции.
- •Теорема (необходимое условие экстремума)
- •55. Выпуклость и вогнутость кривых. Точки перегиба. Теоремы о необходимом и достаточном условиях существования точек перегиба.
- •Доказательство
- •57. Определители n-ого порядка, их свойства.
- •58. Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы.
- •Определение
- •Связанные определения
- •Свойства
- •Линейное преобразование и ранг матрицы
- •59. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы.
- •60. Системы линейных уравнений. Матричное решение систем линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений, методы решения, примеры.
- •Определения, понятия, обозначения.
- •Решение элементарных систем линейных алгебраических уравнений.
- •Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений общего вида.
- •Теорема Кронекера – Капелли.
- •Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида.
- •Запись общего решения однородных и неоднородных систем линейных алгебраических с помощью векторов фундаментальной системы решений.
- •Решение систем уравнений, сводящихся к слау.
- •Примеры задач, сводящихся к решению систем линейных алгебраических уравнений.
31. Угол между прямыми (вывод).
Пример 10
Найти угол между прямыми
РешениеиСпособ первый
Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями в общем виде:
Если прямые не перпендикулярны, тоориентированныйуголмежду ними можно вычислить с помощью формулы:
Самое пристальное внимание обратим на знаменатель – это в точности скалярное произведениенаправляющих векторов прямых:
Если , то знаменатель формулы обращается в ноль, а векторы будут ортогональны и прямые перпендикулярны. Именно поэтому сделана оговорка о неперпендикулярности прямых в формулировке.
Исходя из вышесказанного, решение удобно оформить в два шага:
1) Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых: , значит, прямые не перпендикулярны.
2) Угол между прямыми найдём по формуле:
С помощью обратной функции легко найти и сам угол. При этом используем нечётность арктангенса (см. Графики и свойства элементарных функций):
Ответ:
В ответе указываем точное значение, а также приближённое значение (желательно и в градусах, и в радианах), вычисленное с помощью калькулятора.
Ну, минус, так минус, ничего страшного. Вот геометрическая иллюстрация: Неудивительно, что угол получился отрицательной ориентации, ведь в условии задачи первым номером идёт прямаяи «открутка» угла началась именно с неё.
Если очень хочется получить положительный угол, нужно поменять прямые местами, то есть коэффициенты взять из второго уравнения, а коэффициентывзять из первого уравнения. Короче говоря, начать необходимо с прямой.
Утаивать не буду, сам подбираю прямые в том порядке, чтобы угол получился положительным. Так красивее, но не более того.
Для проверки решения можно взять транспортир и измерить угол.
Способ второй
Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом ине перпендикулярны, тоориентированныйуголмежду ними можно найти с помощью формулы:
Условие перпендикулярности прямых выражается равенством , откуда, кстати, следует очень полезная взаимосвязь угловых коэффициентов перпендикулярных прямых:, которая используется, в частности при нахожденииуравнения нормали.
Алгоритм решения похож на предыдущий пункт. Но сначала перепишем наши прямые в нужном виде:
Таким образом, угловые коэффициенты:
1) Проверим, будут ли прямые перпендикулярны: , значит, прямые не перпендикулярны.
2) Используем формулу:
Ответ:
Второй способ уместно использовать тогда, когда уравнения прямых изначально заданы с угловым коэффициентом. Следует отметить, что если хотя бы одна прямая параллельна оси ординат, то формула не применима вообще, поскольку для таких прямых угловой коэффициент не определён (см. статью Уравнение прямой на плоскости).
Есть и третий способ решения. Идея состоит в том, чтобы вычислить угол между направляющими векторами прямых с помощью формулы, рассмотренной на уроке Скалярное произведение векторов:
Здесь уже речь идёт не об ориентированном угле, а «просто об угле», то есть результат заведомо будет положительным. Загвоздка состоит в том, что может получиться тупой угол (не тот, который нужен). В этом случае придётся делать оговорку, что угол между прямыми – это меньший угол, и из «пи» радиан (180-ти градусов) вычитать получившийся арккосинус.
Желающие могут прорешать задачу третьим способом. Но я рекомендую всё-таки придерживаться первого подхода с ориентированным углом, по той причине, что он широко распространён.