16. Нормальное уравнение прямой на плоскости (вывод). Геометрический смысл коэффициентов.

Нормальное уравнение прямой

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называетсянормирующем множителем , то получим

 

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.

уравнение этой прямой в отрезках:

уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

нормальное уравнение прямой:

 

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см².

Решение.Уравнение прямой имеет вид:, ab /2 = 8; a = 4; -4. a = -4 не подходит по условию задачи. Итого:или х + у – 4 = 0.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.

Решение.Уравнение прямой имеет вид:, где х₁= у₁= 0; x₂= -2; y₂= -3.

 

17. Уравнение прямой на плоскости в отрезках (вывод).

  Уравнение плоскости в отрезках

где a, b, c - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.

     Нормальное уравнение плоскости

где - углы, образуемые нормальным вектором плоскости с осями координат;p - расстояние от начала координат до плоскости.

     Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду:

Здесь - нормирующий множитель плоскости, знак которого выбирается противоположным знакуD, если произвольно, еслиD = 0.

     Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

     В векторном виде

     В координатах

     Уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам

     В векторном виде

     В координатах

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координатOxyz.

В прямоугольной системе координат Oxyzв трехмерном пространстве уравнение вида, гдеa,bиc– отличные от нуля действительные числа, называетсяуравнением плоскости в отрезках. Такое название не случайно. Абсолютные величины чиселa,bиcравны длинам отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осяхOx,OyиOzсоответственно, считая от начала координат. Знак чиселa,bиcпоказывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) откладываются отрезки на координатных осях. Действительно, координаты точекудовлетворяют уравнению плоскости в отрезках:

Посмотрите на рисунок, поясняющий этот момент.

Рассмотрим пример.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxyzплоскость проходит через точки на координатных осяхи. Напишите уравнение этой плоскости в отрезках.

Решение.

Заданная плоскость отсекает отрезок длиной 2единицы в отрицательном направлении оси абсцисс, длиной- в положительном направлении оси ординат, длинойв отрицательном направлении оси аппликат, считая от начала координат. Таким образом, уравнение этой плоскости в отрезках имеет вид.

Ответ:

Из приведенной информации видно, что уравнение плоскости в отрезках очень удобно использовать при изображении плоскости на чертеже. Покажем это на примере.

Пример.

Постройте плоскость, определенную в прямоугольной системе координат Oxyуравнением плоскости в отрезках.

Решение.

Сначала изображаем координатные оси, обозначаем начало координат, задаем единичные отрезки на каждой оси. Отмечаем точку, удаленную на 5единиц от начала координат в отрицательном направлении оси абсцисс, на4единицы в отрицательном направлении оси ординат и на4единицы в положительном направлении оси аппликат. Осталось соединить эти точки прямыми линиями. Плоскость полученного треугольника и есть плоскость, соответствующая заданному уравнению плоскости в отрезках.

Ответ:

Если же стоит задача изобразить на чертеже плоскость, заданную уравнением другого вида, то целесообразно сначала получить уравнение этой плоскости в отрезках (об этом мы поговорим в следующем пункте), отметить точки и провести через них плоскость (построить треугольник, считая эти три точки его вершинами).

К началу страницы