36. Классическое уравнение гиперболы (вывод) и его построение. Асимптоты.

Гиперболой называют геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (меньшая, чем расстояние между фокусами).

 

Пусть 2с – расстояние между фокусами;

2а – постоянная величина (2a < 2c);

r₁ – первое расстояние (левый фокальный радиус);

r₂ – второе расстояние (правый фокальный радиус).

Очевидно, что c>0, a>0, r₁>0, r₂>0.

Тогда уравнение гиперболы (по определению):

, причем .

 

Получим уравнение гиперболы в д.п.с.к. X0Y.

Расположим ось 0Х так, чтобы фокусы F₁ и F₂ принадлежали ей, ось и начало координат0 – являлось серединой отрезка [F₁;F₂].

Тогда координаты фокусов – F₁(-c;0), F₂(c;0).

Пусть т. M(x;y) –«текущая» точка гиперболы.

 

 

 

По теореме Пифагора из прямоугольного ΔF₁ MN:

.

Из прямоугольного ΔF₂ MN:

.

Учитывая, что , получим, или

.

.

 

37. Каноническое уравнение параболы (вывод) и построение.

Параболой называют геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до прямой, называемой директрисой.

 

Пусть r – расстояние от точки параболы до фокуса;

d – расстояние от точки параболы до директрисы.

Тогда, по определению, уравнение параболы

.

Получим уравнение параболы, расположенной в плоскости с д.п.с.к. X0Y.

Пусть фокус F принадлежит оси 0X. Директрису проведем перпендикулярно оси 0Х на расстоянии p от фокуса F. Пусть начало координат т.0 – является серединой этого расстояния.

Пусть т. M(x;y) – «текущая» точка параболы.

Пусть r – расстояние от т. M(x;y) до фокуса ;

d – расстояние от т. M(x;y) до директрисы .

 

По определению параболы .

По теореме Пифагора из прямоугольного ΔF MN:

.

Расстояние от т. M(x;y) до директрисы

.

Таким образом, .

Возведя обе части в квадрат, получим

.

Откуда – каноническое (простейшее) уравнение параболы.

 

Note 1

Дома или на п/з доказать, что парабола – кривая второго порядка.

Так как по определению расстояние , то из уравнения параболыследует, что.

Так как в уравнении параболы ордината «текущей» точки M(x;y) y входит во второй степени, то парабола симметрична относительно оси 0Х. При этом верхнюю и нижнюю части кривой называют ветвями параболы, а начало координат т. О(0;0) – ее вершиной.

 

Note 2

Дома или на п/з обосновать различные виды парабол:

 

			Парабола симметричная оси 0Y, .
			Парабола симметричная оси 0Y, .
			Парабола симметричная оси 0X, .

 

Note 3

Дома или на п/з доказать, что , т.е.для параболы.

 

Note 4

Дома или на п/з (с помощью параллельного переноса системы координат на a по оси 0Х и на b по оси 0Y) доказать, что – уравнениепараболы с вершиной в т.С(a;b).

 

 

 

Note 5

Таким образом, основной характеристикой кривой второго порядка является ее эксцентриситет , т.е. если–окружность, –парабола, –гипербола, –эллипс.