55. Выпуклость и вогнутость кривых. Точки перегиба. Теоремы о необходимом и достаточном условиях существования точек перегиба.

Кривая обращена выпуклостью Вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется Выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется Вогнутой.

у

x

На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.

Теорема 1. Если во всех точках интервала (A, B) вторая производная функции F(X) отрицательна, то кривая Y = F(X) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

Доказательство. Пусть х0 Î (a, b). Проведем касательную к кривой в этой точке.

Уравнение кривой: y = f(x);

Уравнение касательной:

Следует доказать, что .

По теореме Лагранжа для f(x) – f(x0): , x0 < c < x.

По теореме Лагранжа для

Пусть х > x0 тогда x0 < c1 < c < x. Т. к. x – x0 > 0 и c – x0 > 0, и кроме того по условию

, следовательно, .

Пусть x < x0 тогда x < c < c1 < x0 и x – x0 < 0, c – x0 < 0, т. к. по условию То

.

Аналогично доказывается, что если f¢¢(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b).

Теорема доказана.

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется Точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением Y = F(X). Если вторая производная F¢¢(A) = 0 или F¢¢(A) не существует и при переходе через точку х = а F¢¢(X) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

Доказательство. 1) Пусть f¢¢(x) < 0 при х < a и f¢¢(x) > 0 при x > a. Тогда при

X < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т. е. точка х = а – точка перегиба.

2) Пусть f¢¢(x) > 0 при x < b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба.

Теорема доказана.

Если точка —точка перегибафункциии еслив некоторой окрестности точки(непрерывная в точке), то.

 

Доказательство

Докажем методом от противного, т.е предположим, что . Тогдалибо. По условиюнепрерывна в точкепо свойству сохранения знака непрерывной функции получим::,, т.е по достаточному условию строгой выпуклости(функция выпукла вниз) или(функция выпукла вверх). Это противоречит определению точки перегиба, которое гласит, что при переходе через точкунаправление выпуклости меняется.

Теорема (достаточное условие точки перегиба)

Если функция непрерывнав точкеи имеет в этой точке конечную или бесконечную производную и еслименяет знак при переходе через точку, то точка—точка перегибафункции.

Доказательство

Пусть меняет знак с «-» на «+», тогда по достаточному условию строгой выпуклости функцияна интервалефункция будет строго выпукла вверх, на интервале— строго выпукла вниз, т.е при переходе через точкунаправление выпуклости изменяетсяпо определению- точка перегиба.

Пример:

Найти точки перегиба функции .

Решение:

Найдем вторую производную функции: , значит. Найдем промежутки знакопостоянства функции:

При переходе через точку функция изменяет направление выпуклости, значит— точка перегиба графика функции.

56. Асимптоты кривых. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Следует отличать минимумы и максимумы функций от наибольшего и наименьшего ее значений на заданном отрезке. Функция может не иметь экстремумов в исследуемой области, а наименьшее и наибольшее в этой области значения она имеет всегда.

Чтобы определить наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке, необходимо подсчитать значения функции в точках экстремума, входящих в исследуемую область, а также в граничных ее точках и выбрать среди них наименьшее и наибольшее значения.

Определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Находим точки, в которых производная обращается в нуль:

, получаем две точки, одна из которых не входит в исследуемую область, добавляем к ним граничные точки, тогда.

Определяем в этих точках значения функции .

Таким образом, наименьшее в заданной области значение функции реализуется при, наибольшеепри.

Задача о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции одного вещественного переменного на отрезке с развитием компьютерных технологий перестает быть очень актуальной. С помощью программ MAXIMA мы можем легко построить график исследуемой функции и найти на нем все интересующие нас точки. Для того, чтобы построить график функции на отрезке [1,4], следует ввести командуplot2d(x^3-3*x^2+1,[x,1,4])и нажать Shift+Enter.

graph.wxm

Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точкиM кривой до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю.

На двух следующих рисунках асимптоты окрашены в красный цвет

 

 

 

Асимптоты бывают вертикальными, они показывают поведение функции в окрестности особой точки, когда , и наклонными, дающими представление о поведении функции при.

Если особая точка, уравнение вертикальной асимптоты.

Теорема. Кривая имеет наклонную асимптоту при, уравнение которой, если существуют пределы:и.

Доказательство. Из определения асимптоты следует , гдебесконечно малая при, то есть. Остается определить параметры уравнения асимптоты. Для этого вычислим,. Итак, если оба предела существуют и конечны, параметры прямойиопределены, причем точки этой прямой бесконечно сближаются с точками кривой при.

Пример. . Ясно, что– уравнение вертикальной асимптоты.

Определим ,

.

Наклонная асимптота при имеет уравнение.