Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида.

Методом Гаусса можно решать системы линейных алгебраических уравнений любого вида без предварительного их исследования на совместность. Процесс последовательного исключения неизвестных переменных позволяет сделать вывод как о совместности, так и о несовместности СЛАУ, а в случае существования решения дает возможность отыскать его.

С точки зрения вычислительной работы метод Гаусса является предпочтительным.

Смотрите его подробное описание и разобранные примеры в статье метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида.

К началу страницы

Запись общего решения однородных и неоднородных систем линейных алгебраических с помощью векторов фундаментальной системы решений.

В этом разделе речь пойдет о совместных однородных и неоднородных системах линейных алгебраических уравнений, имеющих бесконечное множество решений.

Разберемся сначала с однородными системами.

Фундаментальной системой решенийоднородной системы изpлинейных алгебраических уравнений сnнеизвестными переменными называют совокупность(n – r)линейно независимых решений этой системы, гдеr– порядок базисного минора основной матрицы системы.

Если обозначить линейно независимые решения однородной СЛАУ как X⁽¹⁾, X⁽²⁾, …, X^(n-r)(X⁽¹⁾, X⁽²⁾, …, X^(n-r)– это матрицы столбцы размерностиnна1), то общее решение этой однородной системыпредставляется в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы решений с произвольными постоянными коэффициентамиС₁, С₂, …, С_(n-r), то есть,.

Что обозначает термин общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений (орослау)?

Смысл прост: формула задает все возможные решения исходной СЛАУ, другими словами, взяв любой набор значений произвольных постоянныхС₁, С₂, …, С_(n-r), по формулемы получим одно из решений исходной однородной СЛАУ.

Таким образом, если мы найдем фундаментальную систему решений, то мы сможем задать все решения этой однородной СЛАУ как .

Покажем процесс построения фундаментальной системы решений однородной СЛАУ.

Выбираем базисный минор исходной системы линейных уравнений, исключаем все остальные уравнения из системы и переносим в правые части уравнений системы с противоположными знаками все слагаемые, содержащие свободные неизвестные переменные. Придадим свободным неизвестным переменным значения 1,0,0,…,0и вычислим основные неизвестные, решив полученную элементарную систему линейных уравнений любым способом, например, методом Крамера. Так будет полученоX⁽¹⁾- первое решение фундаментальной системы. Если придать свободным неизвестным значения0,1,0,0,…,0и вычислить при этом основные неизвестные, то получимX⁽²⁾. И так далее. Если свободным неизвестным переменным придадим значения0,0,…,0,1и вычислим основные неизвестные, то получимX^(n-r). Так будет построена фундаментальная система решений однородной СЛАУ и может быть записано ее общее решение в виде.

Для неоднородных систем линейных алгебраических уравнений общее решение представляется в виде , где- общее решение соответствующей однородной системы, а- частное решение исходной неоднородной СЛАУ, которое мы получаем, придав свободным неизвестным значения0,0,…,0и вычислив значения основных неизвестных.

Разберем на примерах.

Пример.

Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .

Решение.

Ранг основной матрицы однородных систем линейных уравнений всегда равен рангу расширенной матрицы. Найдем ранг основной матрицы методом окаймляющих миноров. В качестве ненулевого минора первого порядка возьмем элемент a_{1 1} = 9основной матрицы системы. Найдем окаймляющий ненулевой минор второго порядка:

Минор второго порядка, отличный от нуля, найден. Переберем окаймляющие его миноры третьего порядка в поисках ненулевого:

Все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, ранг основной и расширенной матрицы равен двум. Базисным минором возьмем . Отметим для наглядности элементы системы, которые его образуют:

Третье уравнение исходной СЛАУ не участвует в образовании базисного минора, поэтому, может быть исключено:

Оставляем в правых частях уравнений слагаемые, содержащие основные неизвестные, а в правые части переносим слагаемые со свободными неизвестными:

Построим фундаментальную систему решений исходной однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений данной СЛАУ состоит из двух решений, так как исходная СЛАУ содержит четыре неизвестных переменных, а порядок ее базисного минора равен двум. Для нахождения X⁽¹⁾придадим свободным неизвестным переменным значенияx₂ = 1, x₄ = 0, тогда основные неизвестные найдем из системы уравнений.

Решим ее методом Крамера:

Таким образом, .

Теперь построим X⁽²⁾. Для этого придадим свободным неизвестным переменным значенияx₂ = 0, x₄ = 1, тогда основные неизвестные найдем из системы линейных уравнений.

Опять воспользуемся методом Крамера:

Получаем .

Так мы получили два вектора фундаментальной системы решений и, теперь мы можем записать общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений:, гдеC₁иC₂– произвольные числа.

Пример.

Найдите общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений .

Решение.

Общее решение этой системы уравнений будем искать в виде .

Исходной неоднородной СЛАУ соответствует однородная система общее решение которой мы нашли в предыдущем примере.

Следовательно, нам осталось найти частное решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений .

Ранг основной матрицы системы равен двум, ранг расширенной матрицы системы также равен двум, так как все миноры третьего порядка, окаймляющие минор , равны нулю. Также примем минорв качестве базисного, исключим третье уравнение из системы и перенесем слагаемые со свободными неизвестными в правые части уравнений системы:

Для нахождения придадим свободным неизвестным переменным значенияx₂ = 0 и x₄ = 0, тогда система уравнений примет вид, откуда методом Крамера найдем основные неизвестные переменные:

Имеем , следовательно,гдеC₁иC₂– произвольные числа.

Следует заметить, что решения неопределенной однородной системы линейных алгебраических уравнений порождают линейное пространстворазмерности(n – r), базисом которого является фундаментальная система решений.

К началу страницы