51. Дифференциал. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Понятие дифференциала подсказывает, что если какой-Либо процесс по характеру своего изменения близок к линейному, то приращение функции мало отличается от дифференциала. Кроме того, если функция имеет конечную производную в некоторой точке х, то ее приращение и дифференциал также бесконечно малы при , стремящемся к нулю:

,

Так как дифференцируемая функция непрерывна,

Потому что произведение ограниченной функции на бесконечно малую при DX, стремящемся к нулю, есть функция бесконечно малая.

Более того, эти две бесконечно малые функции при эквивалентны:

Эквивалентность идает возможность при малых приращениях аргумента приближенно считать

Или

Что может дать эта формула? Пусть в некоторой точке сравнительно просто вычисляются значенияи. Тогда в другой точке, отстоящей недалеко от, возможно представление :

(11. 16)

Здесь остается открытым вопрос о точности получаемого результата. Это обстоятельство снижает ценность данной формулы приближенного вычисления, но в основном она полезна и широко применяется на практике.

Рассмотрим пример. В прямоугольном треугольнике катеты a=5 м и b=12 м. Какой будет гипотенуза этого треугольника, если катет a уменьшить на 0,2 м (рис. 11.5, a)?

Найдем первоначальную длину гипотенузы:

.

После уменьшения катета a на 0,2 м гипотенуза будет равна (рис. 11.5, a)

Применим теперь формулу (11.16) для приближенного нахождения с в связи с уменьшением катета a, рассматривая функцию вида:

(B=Const);

;

В обоих случаях мы получили приближенное значение искомой величины. Но в первом случае погрешность возникает в результате приближенных вычислений, а во втором, сравнительно более простом, – В связи с применением приближенной формулы (к ней также может добавиться погрешность, вызванная приближенными вычислениями). Отметим, что при уменьшении катета a На 0,2 м гипотенуза с уменьшилась примерно на 0,08 м, а полученные нами приближенные значения при этом отличаются лишь на 0,001 м.

Рассмотрим другую ситуацию: в этом же треугольнике уменьшим гипотенузу с на 0,2 м, оставив катет b без изменения (рис. 11.5, б). Определим, как в этом случае изменится катет A:

Пусть дана функция . Известно, что ее приращение в некоторой точке x0, вызванное приращением аргумента, может быть вычислено по формуле:

(11. 10)

Всегда ли удобно пользоваться ею? Можно ли приращение функции преобразовать так, чтобы выделить составляющие, которые в большей или меньшей степени отражали бы его структуру? Предыдущие рассуждения позволяют дать такую оценку.

Из определения производной получаем:

(11. 11)

Если некоторая функция имеет конечный предел, то по необходимому и достаточному условию существования предела она может быть представлена в виде:

(11. 12)

Где – бесконечно малая функция при , то есть

(11. 13)

Из равенства (6.12) получаем:

(11. 14)

Приращение функции состоит из двух слагаемых. Первое из них – – можно найти, вычислив и. Второе– – найти труднее, так как упомянутая выше теорема вовсе не указывает способа отыскания бесконечно малой функции . В случае необходимости ее можно найти как разность между приращением данной функции и первым слагаемым.

Рассмотрим пример. Пусть . Найдем первое и второе слагаемые в приращении функции, определяемые равенствами (11.14), когда, аDX = 3; 1; 0,1; -0,2.

Выполним преобразования:

; ;

При

Произведя расчеты, получим следующие результаты:

3	12	21	9
1	4	5	1
0,1	0,4	0,41	0,01
-0,2	-0,8	-0,76	0,04

Таблица № 12. Сравнение алгебраических слагаемых,

Входящих в приращение функции.

Попробуем уловить закономерности при , стремящемся к нулю. Во-первых, мало будут отличаться от нуля иDY, и , и. Во–Вторых, по мере приближения к нулю DX значимость первого слагаемого , его вклад в приращение функции возрастают, а второе слагаемое– , "теряет в весе", его роль снижается. В–Третьих, (это видно и без расчетов) изменяется линейно по отношению кDX, в то время как изменение величины этим свойством не обладает.

Обобщим результаты вычислительного эксперимента, проведя рассуждения в общем случае.

1. Оба слагаемых ив приращении функции являются бесконечно малыми:

2. Слагаемое является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем первое, приDX, стремящемся к нулю:

Так как функция бесконечно мала приDX, стремящемся к нулю, а ограничена ().

Это означает, что при DX, стремящемся к нулю, основная часть приращения функции приходится на первое слагаемое .

3. Независимо от вида функции и величины ее приращения, слагаемое всегда линейно относительноDX.

Проведенный анализ приращения функции, представленного равенством (11.14), указывает на особую роль в нем первого слагаемого.

Есть ли такая функция, для которой второе слагаемое : А) линейно по отношению к ? Б) тождественно равно нулю?

Линейная по отношению к приращению аргумента часть приращения функции называется ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ функ-ции и обозначается:

(11. 15)

В этой записи принято считать

DX = Dx.

Действительно, если дана функция

То

Но, с другой стороны, по определению дифференциала,

Поэтому

Таким образом, дифференциал аргумента функции равен его приращению. Это и дает возможность записать дифференциал функции в виде (11.15).

Рассмотрим геометрический и физический смысл дифференциала функции.

Пусть дана дифференцируемая функция , график которой изображен на рис. 11.4.

Рис. 11.4. Геометрический и физический смысл Дифференциала.

 

Из рис. 11.4 следует, что дифференциал геометрически означает приращение ординаты касательной к кривой в точке, вызванное приращением аргумента:

Приведите примеры функций, отражающих различные физические процессы, и укажите физический смысл их дифференциала в некоторой точке области определения.

Где J – угол, который образует касательная к кривой в точке.

Если же данная кривая – график функции пути S Материальной точки от времени , то величина– Приращение пути за время в предположении, что, начиная с момента времени, материальная точка движется равномерно со скоростью, которую она имела в начальный момент времени:

.