13.6. Расчет магнитного поля длинного стержневого проводника с током

Предположим, что по цилиндрическому проводу радиуса R течет ток силой I, равномерно распределенный с плотностью по сечению (рис.13.3). Найдем напряженность магнитного поля, создаваемого током в точке, отстоящей от оси на расстоянииr. Для этого воспользуемся теоремой о циркуляции (13.22)

применив ее к воображаемому контуруL в виде окружности радиуса r с центром на оси стержня в плоскости, перпендикулярной оси.

Рис. 13.3

Сначала определим поле внутри стержня, поэтому положим r  R, L = L_1. (см. рис. 13.3).

В силу симметрии задачи такая окружность совпадает с одной из силовых линий поля тока, поэтому в любой точке контура векторы исовпадают по направлению, причем= const. Кроме того, на любом элементеповерхности натянутой на контур, вектор плотности тока=const и совпадает с направлением нормали (т.е. с направлением). Выполнив интегрирование, получим

где ,(r  R).

Отсюда находим:

Н _внутри = (13.24)

Поскольку сила тока , (=S -площадь сечения стержня), то формулу (13.24) можно записать в виде

Н _внутри = (13.25)

Из формул (13.24) и (13.25) следует, что магнитное поле внутри стержня линейно нарастает от нуля (на оси) до максимального значения Н _max =(на поверхности, т.е. приr = R).

Для расчета поля вне стержня, т.е. в точках r  R, следует рассмотреть вспомогательный контур L = L₂ радиуса большего, чем радиус R проводника. В этом случае применение теоремы о циркуляции дает:

HL₂ = j S₂,

где L₂ = 2r и S₂= R², поэтому

Н _вне = илиН_вне =.

Эти формулы показывают, что магнитное поле вне стержня с током оказывается таким, как если бы полный ток протекал по оси стержня (см. формулу (12.22)). Характер зависимости напряженности Н магнитного поля стержня с током от расстояния r до оси стержня иллюстрирует рисунок 13.4.

Рис. 13.4

7. Граничные условия для векторов и

При переходе из вещества с магнитной проницаемостью в вещество с магнитной проницаемостьювекторные характеристики магнитного поляиизменяются по величине и по направлению. Найдем граничные условия, определяющие эти изменения.

Рассмотрим границу раздела указанных сред (рис. 13.5). Векторы магнитной индукции в этих средах ₁ и ₂ разложим на составляющие: нормальные _1n и _2n (перпендикулярные границе раздела сред) и тангенциальные _1 и _2 (параллельные границе). Воспользуемся теоремой Гаусса для вектора (формула 13.17)). Для этого построим вспомогательную поверхностьS в форме цилиндра высотой h с основаниями (S₁= S₂), параллельными границе раздела, но находящимися в разных средах.

Рис. 13.5

Запишем соотношение (13.17), учитывая, что потоки через основания цилиндрической поверхности создаются только нормальными составляющими векторов индукции, а поток через боковую поверхность S_{бок } только тангенциальными:

В пределе (при h 0) S_бок обращается в ноль, а в интегралах по основаниям нормальные составляющие В_1n и В_2n принимают граничные значения. Учитывая направления внешних нормалей и к основаниям, получим

-

Отсюда получаем первое граничное условие:

В_1n = В_2n . (13.26)

Заменив согласно (13.14) проекции вектора проекциями вектора, умноженными на, получим второе граничное условие:

(13.27)

Если воспользоваться теоремой о циркуляции вектора (13.21) для прямоугольного замкнутого контураL на границе раздела (см. рис. 13.5), то в итоге, т.к. контур L не охватывает макротоков, получим третье граничное условие:

. (13.28)

Применив формулу (13.14), найдем четвертое граничное условие:

(13.29)

Таким образом, при переходе через границу раздела двух магнетиков нормальная составляющая (т.е.В_n) и тангенциальная составляющая ( т.е. Н_) не изменяются, что следует из (13.26) и (13.28); в тоже время нормальная составляющая ( т.е.Н_n) и тангенциальная составляющая(т.е.В_) меняются скачком, определяемым условиями (13.27) и (13.29). В итоге линии векторов ииспытывают излом на границе двух сред. Как и в случае диэлектриков, можно найти закон преломления силовых линий магнитного поля (см. рис. 13.5):

Из этого соотношения следует, что входя в магнетик с большей магнитной проницаемостью, линиииотклоняются от нормали и “прижимаются”к границе раздела. Этот факт используется для формирования магнитных пучков (т.е. для придания им необходимого направления и формы). В частности, для защиты (экранировки) чувствительного прибора от влияния внешних магнитных полей его окружают слоем ферромагнетика, например, железной оболочкой (рис. 13.6).

Рис. 13.6