4. Закон Био-Савара-Лапласа

Обратимся к формуле (12.7). Очевидно, магнитное поле, созданное в пространстве первым элементом тока, не должно зависеть от величины и ориентации элемента, внесенного в это поле (второго элемента). Вычленив в формуле (12.7) часть, не содержащую характеристик второго элемента (т.е. разделив на I₂ dl₂ sin ), получим выражение

(12.9)

которое может служить характеристикой магнитного поля элемента I₁dl₁ на расстоянии r₁₂ от него.

Для произвольного элемента тока это соотношение примет вид (в системе СИ):

(12.10)

или в векторной форме

= ^. (12.11)

Вектор перпендикулярен плоскостиS, в которой лежат векторы и (рис. 12.8); его направление определяется так: если смотреть с конца вектора , то кратчайший поворот от векторак векторубудет виден против часовой стрелки.

Формулы (12.10) и (12.11) выражаютзакон Био-Савара-Лапласа в скалярной и векторной формах, соответственно, (закон

Рис. 12.8

был открыт французскими физиками Ж. Био и Ф. Саваром в 1820 году, и сформулирован в общем виде французским математиком П. Лапласом).

Закон Био-Савара-Лапласа определяет величину и направление индукции магнитного поля, созданного произвольным элементом токав некоторой точке А пространства, определяемой радиус-вектором, проведенным от элемента тока в эту точку. Если подставить (12.9) в закон Ампера (12.7), то получим величину силы, действующей со стороны магнитного поля с индукцией dВ₁ на некоторый элемент тока:

dF₁₂ = (I₂dl₂)(dB₁) sin, (12.12)

где - угол междуи.

Максимальная сила возникает в случае, если ₂ = , т.е. когда. Опуская индексы и выражаяdВ из (12.12), получим

^. (12.13)

Согласно соотношению (12.13), магнитная индукция в данной точке поля численно равна максимальной магнитной силе, действующей на единичный элемент тока, помещенный в эту точку поля (сравните (12.13) и(12.2)).

12.5 Принцип суперпозиции. Применение закона

Био-Савара-Лапласа к расчету магнитных полей

Индукция магнитного поля в какой-либо точке пространства зависит от формы проводов, по которым текут токи, создающие поле, от силы токов, от расположения рассматриваемой точки по отношению к ним.

Опыт показывает, что для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип наложения или суперпозиции: индукциямагнитного поля, порождаемого в данной точке несколькими токами, равна векторной сумме индукций, создаваемых каждым током в отдельности:

(12.14)

В случае постоянных токов мы также можем полагать, что результирующее поле данного тока складывается геометрически из полей , создаваемых отдельными элементами этого тока:

(12.15)

Если форма проводника с током имеет определенную симметрию, то с помощью закона Био-Савара-Лапласа (12.10) или (12.11), применяя принцип суперпозиции (12.15), можно рассчитать индукцию магнитного поля этого тока. Рассмотрим два примера такого расчета.