Тема 8. Идентификация систем одновременных уравнений.

Наиболее распространенные методы оценки параметров системы одновременных уравнений:

• косвенный метод наименьших квадратов;

• двухшаговый метод наименьших квадратов;

• трехшаговый метод наименьших квадратов;

• метод максимального правдоподобия с полной информацией;

• метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.

Для оценки параметров идентифицируемой системы применяется косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), а для оценки коэффициентов сверхидентифицируемой системы применяется двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Процедура применения КМНК состоит из следующих этапов:

1. структурная модель преобразовывается в приведенную форму модели;

2. для каждого уравнения приведенной формы модели оцениваются приведенные коэффициенты (δ_ij) обычным МНК;

3. коэффициенты приведенной формы модели преобразовываются в параметры структурной формы.

Основная идея ДМНК – на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения.

1. составляется приведенная форма модели, и определяются численные значения параметров каждого уравнения обычным МНК;

2. выявляются эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяются двухшаговым МНК, и находятся расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;

3. обычным МНК определяются параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

Таким образом, метод наименьших квадратов применяется дважды: при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических значений эндогенных переменных.

ДМНК является более общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений. Для точно идентифицируемых уравнения ДМНК дает тот же результат, что и КМНК, поэтому в ряде компьютерных программ реализован только ДМНК.

Трехшаговый метод наименьших квадратов заключается в том, что на первом шаге к исходной модели применяется обобщенный метод наименьших квадратов с целью устранения корреляции случайных членов. Затем к полученным уравнениям применяется двухшаговый метод наименьших квадратов. Если случайные члены в модели не коррелируют, то трехшаговый метод наименьших квадратов сводится к двухшаговому.

Пример 7. Рассмотрим систему линейных одновременных уравнений, структурная форма которой приведена в примере 6:

Задание:

1. Определите метод оценки параметров модели.

2. Изложите методику оценки структурных параметров модели.

Решение.

Проверка модели на идентифицируемость показала, что первое уравнение является сверхидентифицируемым, а второе – точно идентифицируемым (см. пример 6). Следовательно, для оценки параметров первого уравнения следует применять двухшаговый метод наименьших квадратов, а для оценки параметров второго уравнения - косвенный метод наименьших квадратов.

Методика оценки параметров первого уравнения.

1. В соответствии со схемой ДМНК на первом этапе запишем приведенную форму модели:

Параметры δ_ij каждого уравнения приведенной формы определяются обычным методом наименьших квадратов.

2. На втором этапе выявляются эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяются двухшаговым МНК, и нахо-дятся расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели.

В нашем примере это переменная S_t, расчетные значения которой можно определить из второго уравнения приведенной формы модели.

3. В первое структурное уравнение, которое является сверхидентифицируемым, вместо фактических значений переменной S_t, подставляем расчетные значения , найденные на втором шаге. Таким образом, получаем уравнение:

.

Параметры этого уравнения уже можно оценивать обычным методом наименьших квадратов.

Методика оценки параметров второго уравнения.

Параметры приведенной формы модели δ_ij уже были определены на первом этапе.

Сравнивая второе уравнение структурной формы модели и второе уравнение приведенной формы, видно, что для получения соответствия между ними необходимо из второго уравнения приведенной формы исключить переменную P_t и ввести переменную R_t.

Для этого из третьего уравнения приведенной формы модели выражаем переменную P_t:

P_t = 1/δ₃₂(R_t – δ₃₀ – δ₃₁R_t-1 – δ₃₃t –ν₃)

и подставляем ее во второе уравнение приведенной формы:

S_t = δ₂₀ + δ₂₁R_t-1 + δ₂₂/δ₃₂(R_t – δ₃₀ – δ₃₁R_t-1 – δ₃₃t –ν₃) + δ₂₃t +ν₂.

Теперь раскрываем скобки:

S_t = δ₂₀ + δ₂₂/δ₃₂∙R_t + (δ₂₁ – δ₃₁δ₂₂/δ₃₂)R_t-1 + (δ₂₃ – δ₃₃δ₂₂/δ₃₂)t +ν₂ – δ₂₂/δ₃₂∙ν₃.

Сопоставляя полученной уравнение со вторым уравнением структурной формы, определяем коэффициенты:

a₂ = δ₂₀ – δ₃₀/δ₃₂;

b₂₁ = δ₂₂/δ₃₂;

b₂₂ = δ₂₁ – δ₃₁δ₂₂/δ₃₂;

b₂₃ = δ₂₃ – δ₃₃δ₂₂/δ₃₂;

ε₂ = ν₂ – δ₂₂/δ₃₂∙ν₃.

Таким образом, все параметры структурной формы модели определены. 