- •1 Курс, 1 семестр.
- •Лекция 1. Определители. (рассм. На прк)
- •Свойства определителей (справедливы для определителей любого порядка)
- •Вычисление определителей 4-го и более высоких порядков.
- •Лекция 3. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов и их свойства.
- •Лекция 4. Комплексные числа
- •Линейная алгебра
- •Лекция 5. Матрицы: определения, виды матриц.
- •Действия над матрицами.
- •Основные определения
- •Линейные операции над матрицами
- •Транспонирование матриц и его свойства
- •Лекция 6. Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения (формулы Крамера, матричный метод)
- •Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными матричным методом.
- •Лекция 7. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау) методом Гаусса Суть метода Гаусса:
- •Решение однородных слау
- •Лекция 8. Плоскость в пространстве
- •1.1. Общее уравнение плоскости в пространстве
- •1.2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум заданным (неколлинеарным) векторам
- •1.3. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
- •1.4. Уравнение плоскости «в отрезках»
- •1.5. Нормальное уравнение плоскости
- •1.6. Полярные параметры плоскости
- •1.7. Особые случаи расположения плоскости в пространстве относительно системы координат
- •2. Плоскости в пространстве: взаимное расположение
- •2.5. Угол между плоскостями
- •2.6. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •1.1. Уравнение прямой на плоскости,
- •1.10. Полярные параметры прямой
- •2. Прямые на плоскости: взаимное расположение
- •2.1. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой
- •2.2. Взаимное расположение прямой и пары точек
- •2.3. Расстояние от точки до прямой
- •2.4. Пучок прямых
- •2.5. Угол между прямыми
- •2.6. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •2.7. Точка пересечения непараллельных прямых
- •Лекция 10. Прямая в пространстве
- •Лекция 11. Кривые второго порядка
- •Лекция 12. Поверхности второго порядка
- •Математический анализ
1.10. Полярные параметры прямой
Полярными параметрами можно задать положение всякой прямой на плоскости.
Рис. 4 |
Полярным расстоянием прямой (рис. 4) называется длина p перпендикуляра ОК, опущенного на прямую из начала координат О. Полярное расстояние может быть положительным или равным нулю (). Полярным углом прямой называется уголмежду положительным направлением
|
(10) |
2. Прямые на плоскости: взаимное расположение
Утверждение 2. Пусть на плоскости заданы две прямые: иВ этом случае выполняется одно и только одно из трех условий:
1) прямые не имеют общих точек при этом система линейных алгебраических уравненийнесовместна (имеет пустое множество решений);
2) прямые имеют единственную общую точку при этом система линейных алгебраических уравненийимеет единственное решениекоторое может быть найдено, например, по формулам Крамера:
(11) |
(12) |
3) прямые совпадают при этом система линейных алгебраических уравненийне определена (имеет бесконечно много решений).
2.1. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой
Три точки ,,лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда определитель
. |
(13) |
Равенство нулю определителя (13) означает, что площадь «треугольника» равна нулю.
2.2. Взаимное расположение прямой и пары точек
Пусть заданы точки и общее уравнение некоторой прямой:Ax + By + C = 0. Вычислим значения величин ипо формулам:
(14) |
(15) |
Взаимное расположение точек иотносительно заданной прямой можно определить по следующим признакам:
1) числа иимеют одинаковые знаки, в этом случае точкиилежат по одну сторону от прямой;
2) числа иимеют противоположные знаки, в этом случае точкиилежат по разные стороны от прямой;
3) одно из чисел ,равно нулю (или оба равны нулю), в этом случае точкаилисоответственно (или обе) принадлежит прямой.
2.3. Расстояние от точки до прямой
Рис. 5 |
Расстояние d от точки до прямойAx + By + C = 0 (рис. 5) вычисляется по формуле: . (16) |
2.4. Пучок прямых
Через одну фиксированную точку (рис. 6) на плоскости можно провести бесконечное множество прямых. Это множество называетсяцент-ральным пучком (пучком) прямых, а точка называетсяцентром пучка. Каждую из прямых пучка (кроме той, которая параллельна оси
ординат) можно представить уравнением:
(17) |
где tg– угловой коэффициент прямой (см. рис. 6). Уравнение вида (17) называется уравнением пучка прямых с центром в точке |
Рис. 6 |
2.5. Угол между прямыми
Если пара прямых на плоскости задана общими уравнениями: (рис. 7, прямаяf) и (рис. 7, прямаяg), то косинус угла между этими прямыми может быть вычислен по формуле: |
Рис. 7 |
(18) |
Если пара прямых на плоскости задана уравнениями «с угловым коэффициентом»: и, то тангенс угла между этими прямыми рассчитывается по уравнению:
tg |
(19) |
Если пара прямых на плоскости задана своими каноническими уравнениями: ито косинус угла между этими прямыми определяется по формуле:
(20) |