- •1 Курс, 1 семестр.
- •Лекция 1. Определители. (рассм. На прк)
- •Свойства определителей (справедливы для определителей любого порядка)
- •Вычисление определителей 4-го и более высоких порядков.
- •Лекция 3. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов и их свойства.
- •Лекция 4. Комплексные числа
- •Линейная алгебра
- •Лекция 5. Матрицы: определения, виды матриц.
- •Действия над матрицами.
- •Основные определения
- •Линейные операции над матрицами
- •Транспонирование матриц и его свойства
- •Лекция 6. Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения (формулы Крамера, матричный метод)
- •Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными матричным методом.
- •Лекция 7. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау) методом Гаусса Суть метода Гаусса:
- •Решение однородных слау
- •Лекция 8. Плоскость в пространстве
- •1.1. Общее уравнение плоскости в пространстве
- •1.2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум заданным (неколлинеарным) векторам
- •1.3. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
- •1.4. Уравнение плоскости «в отрезках»
- •1.5. Нормальное уравнение плоскости
- •1.6. Полярные параметры плоскости
- •1.7. Особые случаи расположения плоскости в пространстве относительно системы координат
- •2. Плоскости в пространстве: взаимное расположение
- •2.5. Угол между плоскостями
- •2.6. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •1.1. Уравнение прямой на плоскости,
- •1.10. Полярные параметры прямой
- •2. Прямые на плоскости: взаимное расположение
- •2.1. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой
- •2.2. Взаимное расположение прямой и пары точек
- •2.3. Расстояние от точки до прямой
- •2.4. Пучок прямых
- •2.5. Угол между прямыми
- •2.6. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •2.7. Точка пересечения непараллельных прямых
- •Лекция 10. Прямая в пространстве
- •Лекция 11. Кривые второго порядка
- •Лекция 12. Поверхности второго порядка
- •Математический анализ
Лекция 6. Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения (формулы Крамера, матричный метод)
Формулы Крамера для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
В общем случае система из трех линейных уравнений имеет следующий вид:
В этом случае ее решения находятся по следующим формулам:
Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными матричным методом.
Общий вид СЛАУ (это частный случай, система из 3 уравнений с 3-мя неизвестными):
Можно записать данную систему в виде
, где ,,
Найдя решение этого матричного уравнения по известной формуле , мы сразу получим значения всех трех неизвестныхx1,x2,x3.
Пример:
Решить СЛАУ:
В данной системе ,,.
Лекция 7. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау) методом Гаусса Суть метода Гаусса:
Пусть имеется СЛАУ из mуравнений сnнеизвестных.
Метод Гаусса позволяет решать любую СЛАУ, а не только квадратную (т.е. СЛАУ из mуравнений сmнеизвестных); он гораздо проще алгоритмизуем (для программирования на ЭВМ).
Рассмотрим матрицу системы:
Расширенная матрица системы:
MERGEFORMAT
Суть метода Гаусса (МГ) состоит в том, чтобы с помощью элементарных преобразований привести к верхнетреугольному виду расширенную матрицу системы. При этом из каждой строчки последовательно исключаются неизвестные.
здесь знаками * обозначены ненулевые элементы
Если матрица системы приводится к следующему виду:
, то система неразрешима.
Элементарные преобразовании допустимые при решении:
Пусть имеется СЛАУ. Следующие преобразования являются элементарными и сохраняют множество решений системы:
Перестановка строк в расширенной матрице системы ( но не столбцов !)
Умножение строки матрицы на любое отличное от 0 действительное число
Сложение строк
Элементарные преобразования матрицы обозначаются знаком . К ним не относятся: перемножение, деление двух строк, умножение строки матрицы на разные числа..
Пример решения СЛАУ методом Гаусса:
Преобразование расширенной матрицы системы:
Таким образом, с помощью метода Гаусса найдены решения исходной системы уравнений, равные .
Решить СЛАУ методом Гаусса:
Преобразование расширенной матрицы системы:
Третье уравнение системы является следствием первых двух, поэтому его можно исключить из рассмотрения. Разделив вторую строчку на 7, получим:
Мы получили систему уравнений, равносильную исходной:
В данном случае решение системы можно записать через независимые переменные и:
Найдем частное решение данной системы. Пусть , тогда.
Решение однородных слау
При решении однородных СЛАУ матрицу системы можно не расширять, т.к. , а вести преобразование только матрицы коэффициентов – матрицыA.
Пример:
Решить однородную СЛАУ
Преобразуем матрицу системы:
. Вторую строчку матрицы можно исключить из рассмотрения, так как из нее очевидно, что . Подставив в первую строку, получим уравнение, имеющее решение
Аналитическая геометрия
Лекция 8. Плоскость в пространстве
ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ: ВИДЫ УРАВНЕНИЙ