- •1 Курс, 1 семестр.
- •Лекция 1. Определители. (рассм. На прк)
- •Свойства определителей (справедливы для определителей любого порядка)
- •Вычисление определителей 4-го и более высоких порядков.
- •Лекция 3. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов и их свойства.
- •Лекция 4. Комплексные числа
- •Линейная алгебра
- •Лекция 5. Матрицы: определения, виды матриц.
- •Действия над матрицами.
- •Основные определения
- •Линейные операции над матрицами
- •Транспонирование матриц и его свойства
- •Лекция 6. Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения (формулы Крамера, матричный метод)
- •Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными матричным методом.
- •Лекция 7. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау) методом Гаусса Суть метода Гаусса:
- •Решение однородных слау
- •Лекция 8. Плоскость в пространстве
- •1.1. Общее уравнение плоскости в пространстве
- •1.2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум заданным (неколлинеарным) векторам
- •1.3. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
- •1.4. Уравнение плоскости «в отрезках»
- •1.5. Нормальное уравнение плоскости
- •1.6. Полярные параметры плоскости
- •1.7. Особые случаи расположения плоскости в пространстве относительно системы координат
- •2. Плоскости в пространстве: взаимное расположение
- •2.5. Угол между плоскостями
- •2.6. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •1.1. Уравнение прямой на плоскости,
- •1.10. Полярные параметры прямой
- •2. Прямые на плоскости: взаимное расположение
- •2.1. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой
- •2.2. Взаимное расположение прямой и пары точек
- •2.3. Расстояние от точки до прямой
- •2.4. Пучок прямых
- •2.5. Угол между прямыми
- •2.6. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •2.7. Точка пересечения непараллельных прямых
- •Лекция 10. Прямая в пространстве
- •Лекция 11. Кривые второго порядка
- •Лекция 12. Поверхности второго порядка
- •Математический анализ
Лекция 3. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов и их свойства.
|
Скалярное произведение |
Векторное произведение |
Смешанное произведение |
Определение |
Скалярным произведением называется (число) произведение длин векторов на косинус угла между ними |
Векторным произведением векторов называется вектор, который:
|
Смешанным произведением векторов ,,называется векторно-скалярное произведение. Результатом смешанного произведения векторов является число. Смешанное произведение векторов,,обозначается |
Алгебраические свойства |
|
|
|
Геометрические свойства |
|
|
Если , то тройка правая, если, то тройка левая. |
Физический смысл |
Работа силы |
Момент силы |
Не определен |
Условие ра- венства нулю |
|
и в том случае, если |
если ,, - компланарные векторы |
Вычисление в декартовой системе координат |
Правило вычисления векторного произведения векторов :
Результирующий вектор имеет направление поступательного движения буравчика при вращении его ручки по направлению от первого вектора ко второму. На рисунке показана левая тройка векторов.
Вывод формул скалярного, векторного и смешанного произведении векторов в декартовой системе координат (ДСК).
Скалярное произведение вектора на вектор
Найдем скалярное произведение соответствующих ортов:
, так как орты – единичные векторы по определению
, так как орты перпендикулярны друг другу.
С учетом этого найдем скалярное произведение на :
Векторное произведение векторов:
; ;;.
Перемножая вектор на вектор, получим:
Смешанное произведение векторов
, ,,
найдем по правилам вычисления векторного и скалярного произведения векторов.
Лекция 4. Комплексные числа
Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел (КЧ).
Под комплексным числом (КЧ) мы будем понимать абстрактное выражение , где, а. Числоназывают «мнимой единицей». Выражение вида-алгебраическая форма записи комплексного числа.
а – действительная часть КЧ, b – мнимая часть КЧ. Таким образом, если комплексное число z представить как , то, а.
Тригонометрическая и показательная форма записи КЧ.
Пусть дано комплексное число, тогда можно его представить как. Такой вид записи КЧ называется тригонометрическим. МножительR называется модулем КЧ, а число- аргументом. Они определяются из следующих соотношений:
,
Обратно к алгебраической форме записи можно перейти по формулам:
, причем ( иногда бывает удобнее использовать эти формулы наоборот, чтобы записывать КЧ в тригонометрическом виде).
В показательном виде КЧ можно записать с помощью формулы Эйлера: , тогда.
Пример: записать комплексное число в тригонометрической и показательной форме.
Найдем модуль и аргумент этого КЧ:
Окончательно запишем:
.
Сложение и умножение комплексных чисел. Их свойства.
Пусть даны два комплексных числа и. Найдем их сумму и произведение:
в алгебраической форме:
в тригонометрической и показательной формах записи:
Свойства сложения и умножения комплексных чисел:
Свойства сложения:
Свойства умножения:
: для всякого ненулевого комплексного числа z существует такое число z1, равное частному от деления комплексно-сопряженного числа на модуль z, произведение которого на само число равно 1
- дистрибутивность умножения КЧ
Сопряжение КЧ. Деление КЧ.
Пусть дано комплексное число , тогда проведя операцию сопряжения комплексных чисел ( обозначается знаком) , получим:. В тригонометрической и показательной форме соответственно имеем:,.
Свойства сопряжения:
Деление комплексных чисел
Комплексные числа можно делить в алгебраической, тригонометрической и показательной форме. Пусть имеются два комплексных числа и. Частное этих чисел в алгебраическом виде находится по формуле. В показательной и тригонометрической форме частное найдем по формуле
Пример:
Разделить в алгебраической форме.
.
Проверка:
Формула Муавра. Нахождение корней из комплексных чисел.
Пусть .
Формула Муавра:
Корни из комплексного числа – решения уравнения . Их существует ровноn (). Пусть, тогда