- •1 Курс, 1 семестр.
- •Лекция 1. Определители. (рассм. На прк)
- •Свойства определителей (справедливы для определителей любого порядка)
- •Вычисление определителей 4-го и более высоких порядков.
- •Лекция 3. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов и их свойства.
- •Лекция 4. Комплексные числа
- •Линейная алгебра
- •Лекция 5. Матрицы: определения, виды матриц.
- •Действия над матрицами.
- •Основные определения
- •Линейные операции над матрицами
- •Транспонирование матриц и его свойства
- •Лекция 6. Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения (формулы Крамера, матричный метод)
- •Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными матричным методом.
- •Лекция 7. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау) методом Гаусса Суть метода Гаусса:
- •Решение однородных слау
- •Лекция 8. Плоскость в пространстве
- •1.1. Общее уравнение плоскости в пространстве
- •1.2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум заданным (неколлинеарным) векторам
- •1.3. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
- •1.4. Уравнение плоскости «в отрезках»
- •1.5. Нормальное уравнение плоскости
- •1.6. Полярные параметры плоскости
- •1.7. Особые случаи расположения плоскости в пространстве относительно системы координат
- •2. Плоскости в пространстве: взаимное расположение
- •2.5. Угол между плоскостями
- •2.6. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •1.1. Уравнение прямой на плоскости,
- •1.10. Полярные параметры прямой
- •2. Прямые на плоскости: взаимное расположение
- •2.1. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой
- •2.2. Взаимное расположение прямой и пары точек
- •2.3. Расстояние от точки до прямой
- •2.4. Пучок прямых
- •2.5. Угол между прямыми
- •2.6. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •2.7. Точка пересечения непараллельных прямых
- •Лекция 10. Прямая в пространстве
- •Лекция 11. Кривые второго порядка
- •Лекция 12. Поверхности второго порядка
- •Математический анализ
1.1. Общее уравнение плоскости в пространстве
Зададим в пространстве декартову прямоугольную систему коорди-
нат (ДПСК). Пусть – фиксированная точка пространства,– ненулевой вектор. Тогдауравнение плоскости в пространстве, проходящей через точку перпендикулярно к векторуможет быть записанов векторной форме:
где векторы и– радиусы-векторы точек(произвольной точки этой плоскости) исоответственно (рис. 1). В этом случае векторназываютнормальным вектором данной плоскости или нормалью. Переписав уравнение (1) в координатной форме, получим:
|
Рис. 1 |
Раскроем скобки в левой части равенства (2) и введем обозначение: , тогда уравнение плоскости можно записать в виде:
Утверждение 1. Если в уравнении (3) хотя бы один из коэффициентов не равен нулю, то уравнение (3) в пространстве определяет некоторую плоскость. Уравнение вида (3) называетсяобщим уравнением плоскости в пространстве.
Замечание. Вывод уравнения (3) позволяет считать, что вектор с координатами является нормальным вектором плоскости, заданной общим уравнением:Например, если плоскость задана уравнениемто вектор нормали будет иметь координаты:.
1.2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум заданным (неколлинеарным) векторам
Пусть в пространстве заданы фиксированная точка и два неколлинеарных вектора –и. Рассмотрим плос- кость в пространстве, проходящую через данную точку параллельно заданным
Рис. 2 |
векторам. Если – произвольная точка плоскости, то векторы,икомпланарны (рис. 2). Условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения, запишем это условие в координатной форме: |
Из уравнения (4), раскрыв определитель и приведя подобные, получим общее уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум неколлинеарным векторам. Уравнение вида (4) называютдетерминантным уравнением плоскости.
1.3. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Рассмотрим три фиксированные точки пространства (рис. 3), не лежащие на одной прямой, и запишем их координаты: ,,. Поскольку точки не лежат на одной прямой, то векторыи
Рис. 3 |
не являются коллинеарными. Таким образом, плоскость, проходящая через точки ,,совпадает с плоскостью, проходящей через точкупараллельно двум заданным (неколлинерным) векторам – |
и . Если– произвольная точка рассматриваемой плоскости, то ее уравнение можно записать, пользуясь формулой (4). В качестве точкивозьмем точку(см. рис. 3), координаты векторовизаменим координатами векторовисоответственно и получим:
Таким образом, уравнение (5) является уравнением плоскости в прост-ранстве, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой.
1.4. Уравнение плоскости «в отрезках»
Пусть плоскость задана своим общим уравнением: . Предположим, что коэффициент. Перепишем данное уравнение плос-кости:разделим обе части полученного равенства наи получим уравнение плоскости в виде:
Введем следующие обозначения: ,,, тогда уравнение (6) примет вид, называемыйуравнением плоскости «в отрезках»:
Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему координат. Очевидно, что точки пространства с координатами ,,принадлежат плоскости, заданной уравнением (7). Следовательно, рассматриваемая плоскость отсекает на осях координат отрезки, значения длины которых соответствуют значениям параметров, взятым по модулю. При этом положительный знак параметра означает, что отрезок отсекается на положительной части соответствующей оси координат, а отрицательный – на отрицательной.
Пример. Записать уравнение плоскости «в отрезках» и построить данную плоскость в ДПСК.
Решение. Перенесем свободный член данного уравнения в его правую часть: После деления уравнения на 6 проведем соответствующие
Рис. 4 |
преобразования коэффициентов и получим: – это и есть требуемое уравнение плоскости«в отрезках». Схематичное изображение плоскости, которая отсекает на положительной части осиотрезок длиной 2, на отрицательной части оси– отрезок длиной 3, на положительной части оси– отрезок длиной 6, приведен на рис. 4. |