![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1 Курс, 1 семестр.
- •Лекция 1. Определители. (рассм. На прк)
- •Свойства определителей (справедливы для определителей любого порядка)
- •Вычисление определителей 4-го и более высоких порядков.
- •Лекция 3. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов и их свойства.
- •Лекция 4. Комплексные числа
- •Линейная алгебра
- •Лекция 5. Матрицы: определения, виды матриц.
- •Действия над матрицами.
- •Основные определения
- •Линейные операции над матрицами
- •Транспонирование матриц и его свойства
- •Лекция 6. Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения (формулы Крамера, матричный метод)
- •Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными матричным методом.
- •Лекция 7. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау) методом Гаусса Суть метода Гаусса:
- •Решение однородных слау
- •Лекция 8. Плоскость в пространстве
- •1.1. Общее уравнение плоскости в пространстве
- •1.2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум заданным (неколлинеарным) векторам
- •1.3. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
- •1.4. Уравнение плоскости «в отрезках»
- •1.5. Нормальное уравнение плоскости
- •1.6. Полярные параметры плоскости
- •1.7. Особые случаи расположения плоскости в пространстве относительно системы координат
- •2. Плоскости в пространстве: взаимное расположение
- •2.5. Угол между плоскостями
- •2.6. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •1.1. Уравнение прямой на плоскости,
- •1.10. Полярные параметры прямой
- •2. Прямые на плоскости: взаимное расположение
- •2.1. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой
- •2.2. Взаимное расположение прямой и пары точек
- •2.3. Расстояние от точки до прямой
- •2.4. Пучок прямых
- •2.5. Угол между прямыми
- •2.6. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •2.7. Точка пересечения непараллельных прямых
- •Лекция 10. Прямая в пространстве
- •Лекция 11. Кривые второго порядка
- •Лекция 12. Поверхности второго порядка
- •Математический анализ
1.1. Уравнение прямой на плоскости,
проходящей через данную точку параллельно заданному вектору
Пусть
– фиксированная точка плоскости,
– ненулевой вектор. Тогдауравнение
прямой на
плоскости, проходящей через точку
параллельно вектору
(рис. 1),в
векторной форме запишется
так:
|
(1) |
где
параметр
|
Рис. 1 |
1.2. Параметрические уравнения прямой на плоскости
Перепишем уравнение (1) в координатной форме:
|
(1а) |
Выполнив элементарные преобразования, получим параметрические уравнения прямой:
|
(2) |
1.3. Каноническое уравнение прямой на плоскости
Исключив из системы
уравнений (2) параметр t,
получим
каноническое
уравнение прямой
на плоскости, проходящей через заданную
точку
параллельно вектору
|
(3) |
1.4. Уравнение прямой на плоскости,
проходящей через две заданные точки
Предположим, что
на плоскости заданы две различные точки:
и
В этом случае вектор
будет направляющим вектором единственной
прямой,проходящей
через две заданные точки,
каноническое уравнение такой прямой
запишем в виде:
|
(4) |
1.5. Общее уравнение прямой на плоскости
Используя свойство пропорции, преобразуем уравнение (4):
|
(4а) |
Раскроем скобки
и перепишем уравнение (4а), введя следующие
обозначения:
в результате чего получим:
Ax + By + C = 0. |
(5) |
Утверждение 1.
Если в
уравнении (5)
или
то уравнение (5) на плоскости определяет
некоторую прямую и называется при этомобщим
уравнением прямой на плоскости.
1.6. Уравнение прямой «с угловым коэффициентом»
Из общего уравнения прямой (5) легко получить уравнение вида
|
(6) |
т. е. уравнение
прямой на плоскости «с угловым
коэффициентом
»,
где
tg
(
– угол,
образованный данной прямой с положительным
направлением оси абсцисс). Величина b
в уравнении (6) называется начальной
ординатой,
так как это число по абсолютной величине
равно длине отрезка, отсекаемого прямой
на оси ординат. Если прямая проходит
через начало координат
то
1.7. Особые случаи расположение прямой на плоскости
Исследуем общее уравнение прямой (5):
1) при
прямая проходит через начало координат;
2) при
прямая параллельна осиОх;
3) при
прямая параллельна осиОу;
4) при
получаем уравнение осиОу;
5) при
получаем уравнение осиОх.
1.8. Построение прямой на плоскости.
Уравнение прямой на плоскости «в отрезках»
Помимо известных способов построения прямой на плоскости – по двум точкам, по данной точке и «наклону» прямой – удобно пользоваться так называемым уравнением прямой «в отрезках» на координатных осях:
|
(7) |
которое может быть составлено для любой прямой, не проходящей через начало координат.
Пример.
Построить прямую, заданную уравнением
«в отрезках» на осях:
Решение.
|
Рис. 2 |
1.9. Нормальное уравнение прямой
Пусть
– фиксированная точка плоскости,
– вектор, заданный своими направляющими
косинусами, тогда уравнение вида
задает прямую на плоскости, проходящую
через точку
перпендикулярно вектору
,
который называетсянормальным
вектором этой прямой. Запишем скалярное
произведение вектора
и вектора
в координатной форме:
|
(8) |
Теперь, введя
обозначение
получимнормальное
уравнение прямой:
|
(9) |
Рис. 3 |
где
Общее уравнение
прямой Ax
+ By
+ C
= 0
может быть
приведено к нормальному виду при
умножении его на нормирующий множитель
|
взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена.