![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1 Курс, 1 семестр.
- •Лекция 1. Определители. (рассм. На прк)
- •Свойства определителей (справедливы для определителей любого порядка)
- •Вычисление определителей 4-го и более высоких порядков.
- •Лекция 3. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов и их свойства.
- •Лекция 4. Комплексные числа
- •Линейная алгебра
- •Лекция 5. Матрицы: определения, виды матриц.
- •Действия над матрицами.
- •Основные определения
- •Линейные операции над матрицами
- •Транспонирование матриц и его свойства
- •Лекция 6. Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения (формулы Крамера, матричный метод)
- •Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными матричным методом.
- •Лекция 7. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау) методом Гаусса Суть метода Гаусса:
- •Решение однородных слау
- •Лекция 8. Плоскость в пространстве
- •1.1. Общее уравнение плоскости в пространстве
- •1.2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум заданным (неколлинеарным) векторам
- •1.3. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
- •1.4. Уравнение плоскости «в отрезках»
- •1.5. Нормальное уравнение плоскости
- •1.6. Полярные параметры плоскости
- •1.7. Особые случаи расположения плоскости в пространстве относительно системы координат
- •2. Плоскости в пространстве: взаимное расположение
- •2.5. Угол между плоскостями
- •2.6. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •1.1. Уравнение прямой на плоскости,
- •1.10. Полярные параметры прямой
- •2. Прямые на плоскости: взаимное расположение
- •2.1. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой
- •2.2. Взаимное расположение прямой и пары точек
- •2.3. Расстояние от точки до прямой
- •2.4. Пучок прямых
- •2.5. Угол между прямыми
- •2.6. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •2.7. Точка пересечения непараллельных прямых
- •Лекция 10. Прямая в пространстве
- •Лекция 11. Кривые второго порядка
- •Лекция 12. Поверхности второго порядка
- •Математический анализ
Лекция 12. Поверхности второго порядка
Общий
вид уравнения поверхности второго
порядка:
Классификация поверхностей
Основные виды невырожденных поверхностей и метод сечений
Невырожденные цилиндрические поверхности
Признаком цилиндрической поверхности ( в каноническом уравнении) является отсутствие одной из координат.
Например, на
плоскости уравнение
задает параболу, а в пространстве –
параболический цилиндр. Лучше всего
эту поверхность можно представить как
«след» параболы, «протянутой» по осиOz.
Если в сечении цилиндра получается окружность, то он называется круговым, если эллипс – то эллиптическим, если гипербола – то гиперболическим.
Эллиптический
цилиндр задается каноническим
уравнением,
параболический
– уравнением
(а также любыми другими уравнениями,
задающим параболы на плоскости, например,
,
так как все три направления равноправны,
поэтому в любом уравнении пространственной
кривой можно менять оси координат
местами, от этого изменится только ее
ориентация в пространстве).Гиперболический
цилиндр
задается каноническим
уравнением
.
Образующие цилиндрической поверхности параллельны отсутствующей оси координат.
Пример: параболический
цилиндр, заданный уравнением
Конические поверхности, или конусы
Каноническое
уравнение конической поверхности
.
Если в каноническом уравнении поверхностиa=b,
то конус называется круговым.
При построении пространственных фигур методом сечений мы рассматриваем сечение поверхности координатными плоскостями , а если они вырождаются в точки или не существуют, то рассматривают сечения плоскостями, параллельными координатным.
Рассмотрим сечение
конической поверхности координатной
плоскостью
.
Уравнение сечения найдем как решение
системы уравнений, одно из которых –
уравнение поверхности, другое – уравнение
секущей плоскости. В простейшем случае
(сечения координатными плоскостями и
плоскостями параллельными координатным)
достаточно просто подставить значение
координаты в уравнение. Имеем:
Полученное уравнение
определяет пару пересекающихся прямых
,
лежащих в плоскости
.
Проведя аналогичные
рассуждения для секущей плоскости
,
найдем уравнение сечения:
,
которое задает эллипс, лежащий в секущей
плоскости
.
График конической поверхности выглядит так :
Для наглядности конус изображен слегка развернутым.
Невырожденные поверхности второго порядка общего вида
Для поверхностей второго порядка справедливы все свойства соответствующих плоских кривых, с учетом того, что поверхности заданы в пространстве, а кривые – на плоскости.
Эллипсоид
Каноническое
уравнение
.
Если в уравнении эллипсоида
,
то оно задает эллипсоид вращения. Если
,
то уравнение задает сферу единичного
радиуса.
Сфера
произвольного радиуса задается уравнением
Гиперболоиды (однополостной и двуполостной).
Каноническое
уравнение однополостного гиперболоида
.
Сечения поверхности координатными
плоскостями имеют такой вид:
- эллипс
- гипербола
- гипербола.
Если
в уравнении
,
то оно задает гиперболоид вращения.
Каноническое
уравнение двуполостного гиперболоида
.
Сечения поверхности плоскостями имеют
такой вид:
- эллипс
- гипербола
- гипербола.
Вид поверхности представлен на рисунке:
Параболоиды (эллиптический и гиперболический)
Каноническое
уравнение эллиптического параболоида
,
где
- параметр.
Линии пересечения поверхности с координатными плоскостями имеют следующие уравнения:
- точка
- эллипс
- парабола
- парабола.
Вид поверхности представлен на рисунке.
Каноническое
уравнение гиперболического параболоида
,
где
- параметр (эта поверхность по форме
напоминает седло).
Линии пересечения поверхности с координатными плоскостями имеют следующие уравнения:
- пара пересекающихся
прямых
- гипербола
- парабола, ветви
направлены вверх
- парабола, ветви
направлены вниз
Вид поверхности представлен на рисунке.